W'keit mit Baumdiagramm < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:29 Mi 06.05.2009 | | Autor: | matheman |
| Aufgabe | | Ich habe zwei Kisten K1 und K2 mit Glühbirnen. In K1 liegen 100 Glühbirnen. In K2 liegen 200 Glühbirnen. Von den 100 Glühbirnen aus K1 sind 90% heile. Von den 200 aus K2 sind 80% heile. Alle anderen sind kaputt. Ein Elektriker baut 2 Glühbirnen, die er vorher aus den Kästen entnommen hat, in eine Reihenschaltung ein. Die Schaltung funktioniert nur dann, wenn beide Glühbirnen heile sind. Mit welcher W'keit funktioniert die Reihenschaltung? |
Hallo,
ich habe mir dazu ein Baumdiagramm überlegt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich muss zuerst eine heile Birne ziehen. Also nach Pfadregel
1/3*0,9 + 2/3*0,8 = 0,83
Jetzt muss ich das Ganze nochmal machen. Also 0,83*0,83=0,69
Ist das so korrekt?
matheman
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Ich habe zwei Kisten K1 und K2 mit Glühbirnen. In K1 liegen
> 100 Glühbirnen. In K2 liegen 200 Glühbirnen. Von den 100
> Glühbirnen aus K1 sind 90% heile. Von den 200 aus K2 sind
> 80% heile. Alle anderen sind kaputt. Ein Elektriker baut 2
> Glühbirnen, die er vorher aus den Kästen entnommen hat, in
> eine Reihenschaltung ein. Die Schaltung funktioniert nur
> dann, wenn beide Glühbirnen heile sind. Mit welcher W'keit
> funktioniert die Reihenschaltung?
> Hallo,
>
> ich habe mir dazu ein Baumdiagramm überlegt:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich muss zuerst eine heile Birne ziehen. Also nach
> Pfadregel
>
> 1/3*0,9 + 2/3*0,8 = 0,83
>
> Jetzt muss ich das Ganze nochmal machen. Also
> 0,83*0,83=0,69
>
> Ist das so korrekt?
>
> matheman
Hallo matheman,
eigentlich müsste man hier noch etwas darüber wissen,
wie der Elektriker den Kasten bzw. die Kästen auswählt,
aus welchem oder welchen er dann die Birnen nimmt.
Wäre ich der Elektriker, so würde ich wohl beide aus
dem gleichen Kasten nehmen, vorzugsweise aus dem
mit der besseren Qualität, wenn mir dieser Unterschied
bekannt wäre ... 
Möglicherweise ist in der Aufgabe aber gemeint (und
leider nicht klar mitgeteilt !), dass er für jede Birne
unabhängig voneinander einen Kasten wählt, jeweils
mit der Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ...
Da 100 und 200 doch relativ "große" Zahlen sind,
darf man sich aber wohl erlauben, auf die exakte
Rechnung für Ziehungen ohne Zurücklegen zu
verzichten. Sonst ergibt sich ein vierstufiger Baum,
längs dessen Pfad "K1,gute Birne,K1,guteBirne" man
z.B. die Pfadwahrscheinlichkeit
[mm] \bruch{1}{2}* \bruch{90}{100}* \bruch{1}{2}* \bruch{89}{99}
[/mm]
bekäme.
Dein Ergebnis ist vermutlich nicht das gesuchte.
Es wäre dann plausibel, wenn zuerst die aus den
verschiedenen Kästen stammenden Birnen in zufälliger
Anordnung in einen neuen Behälter gelegt würden
und dann eine zufällige Auswahl daraus erfolgt. Darin
wären dann 300 Birnen, wovon 250 gute. Daraus
zwei herausgegriffene sind beide gut mit
[mm] P=\bruch{250}{300}* \bruch{249}{299}\approx [/mm] 0.69
was recht genau deinem Ergebnis entspricht.
LG
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mi 06.05.2009 | | Autor: | matheman |
Hallo Al-Chwarizmi,
in der Aufgabenstellung steht nach "... zufälliger Entnahme". Es steht dort weder, dass er alle Birnen vorher zusammentut und gut durchmischt, noch dass er sie in den Kisten läßt.
Ich habe deine Lösung mal nachgerechnet:
Bei meiner kommt 25/36=0.6944444444 raus und bei deiner 415/598=0.6939799331
Woher kommt die Abweichung?
matheman
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> in der Aufgabenstellung steht nach "... zufälliger
> Entnahme". Es steht dort weder, dass er alle Birnen vorher
> zusammentut und gut durchmischt, noch dass er sie in den
> Kisten läßt.
Dann ist wohl eben gemeint, dass beide Kisten die
Wahrscheinlichkeit 0.5 haben, d.h. du müsstest in deinem
Baum die Werte 1/3 bzw. 2/3 durch 1/2 ersetzen. Dies
führt dann auf ein anderes Ergebnis, nämlich etwa 0.72 !
> Ich habe deine Lösung mal nachgerechnet:
>
> Bei meiner kommt 25/36=0.6944444444 raus und bei deiner
> 415/598=0.6939799331
>
> Woher kommt die Abweichung?
Nun, die ist ja winzig und für praktische Zwecke ver-
nachlässigbar. Sie kommt daher, dass ich dann doch
berücksichtigt habe, dass ja, nachdem man eine
Birne entfernt hat, in dem verbleibenden Haufen
nicht mehr 300 Stück, sondern eben nur noch 299
sind.
Schönen Abend !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 06.05.2009 | | Autor: | matheman |
Ich hatte vorher noch eine andere Überlegung dazu:
P(beide Birnen aus K1 und heile) = 100/300 * 99/299 * 0,9 = 0,099
P(beide Birnen aus K2 und heile) = 200/300 * 199/299 * 0,8 = 0,355
P(eine heile Birne pro Kiste) = 2 * 100/300 * 0,9 * 200/299 * 0,8 = 0,321
P_Gesamt = 0,099 + 0,355 + 0,321 = 0,775
Was hälst du davon? Ich die einzelnen Fälle gar nicht mehr richtig auseinanderhalten ?!?
Grübel ...
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> Ich hatte vorher noch eine andere Überlegung dazu:
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> P(beide Birnen aus K1 und heile) = 100/300 * 99/299 * 0,9 =
> 0,099
>
> P(beide Birnen aus K2 und heile) = 200/300 * 199/299 * 0,8
> = 0,355
>
> P(eine heile Birne pro Kiste) = 2 * 100/300 * 0,9 * 200/299
> * 0,8 = 0,321
>
> P_Gesamt = 0,099 + 0,355 + 0,321 = 0,775
>
> Was hältst du davon? Ich kann die einzelnen Fälle gar
> nicht mehr richtig auseinanderhalten ?!?
>
> Grübel ...
Ich denke, dass dieses Ergebnis eindeutig zu gross ist.
Machen wir's also doch ganz detailliert: Eine 1 soll
bedeuten: [mm] Kiste_1, [/mm] eine 2 für [mm] Kiste_2, [/mm] und wir betrachten
nur die Möglichkeiten, bei denen aus jeder Kiste eine
gute Birne (g)gewählt wird. Die Kisten sollen jeweils mit
der W'keit 1/2 gewählt werden. Dann haben wir:
$\ [mm] P_{total}(\,2\ [/mm] gute\ [mm] Birnen\,)=P(1g1g)+P(1g2g)+P(2g1g)+P(2g2g)$
[/mm]
$\ =\ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{90}{100}*\bruch{1}{2}*\bruch{89}{99}$
[/mm]
$\ +\ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{90}{100}*\bruch{1}{2}*\bruch{160}{200}$
[/mm]
$\ +\ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{160}{200}*\bruch{1}{2}*\bruch{90}{100}$
[/mm]
$\ +\ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{160}{200}*\bruch{1}{2}*\bruch{159}{199}$
[/mm]
$\ =\ .....$
So. Genauer geht's dann wohl nicht mehr (sofern
wir jetzt die Aufgabenstellung wirklich so entschlüsselt
haben, wie sie gemeint war ...)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mi 06.05.2009 | | Autor: | matheman |
Super. Vielen Dank dafür.
Also, wenn ich das jetzt alles richtig verstanden habe, ist es so:
(Ich möchte bei jeder Möglichkeit die exakte Lösung)
1. Möglichkeit:
Es gibt 2 Kisten K1 und K2. Beide haben die W'keit 1/2 ausgewählt zu werden. Dann ist P_total so wie du es zuletzt geschrieben hast:
P_total = 1/2 * 90/100 * ....
2. Möglichkeit:
Beide Kisten wurde "zusammengeschüttet" zu einer. Dann ist die W'keit
P_total = 250/300 * 249/299
3. Möglichkeit
Meine Lösung mit dem Baumdiagramm: P_total = 25/36. Wie muss ich jetzt hier mit den Kisten argumentieren? Und warum ist noch ein kleiner Unterschied zur 2. Möglichkeit? Das habe ich noch nicht verstanden.
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> Super. Vielen Dank dafür.
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> Also, wenn ich das jetzt alles richtig verstanden habe, ist
> es so:
>
> (Ich möchte bei jeder Möglichkeit die exakte Lösung)
>
> 1. Möglichkeit:
> Es gibt 2 Kisten K1 und K2. Beide haben die W'keit 1/2
> ausgewählt zu werden. Dann ist P_total so wie du es zuletzt
> geschrieben hast:
> P_total = 1/2 * 90/100 * .... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. Möglichkeit:
> Beide Kisten wurde "zusammengeschüttet" zu einer. Dann ist
> die W'keit
> P_total = 250/300 * 249/299
>
> 3. Möglichkeit
> Meine Lösung mit dem Baumdiagramm: P_total = 25/36. Wie
> muss ich jetzt hier mit den Kisten argumentieren? Und warum
> ist noch ein kleiner Unterschied zur 2. Möglichkeit? Das
> habe ich noch nicht verstanden.
Dabei hast du angenommen, dass die Kiste, die doppelt
so viele Glühbirnen enthält als die andere, auch mit
der doppelten Wahrscheinlichkeit (2/3) ausgewählt
wird als die andere. Zudem hast du den kleinen Effekt
ignoriert, der davon kommt, dass ja die "gezogenen"
Glühbirnen nicht "zurückgelegt" werden.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Do 07.05.2009 | | Autor: | rabilein1 |
"Ein Elektriker baut 2 Glühbirnen, die er vorher aus den Kästen entnommen hat, in eine Reihenschaltung ein."
Diese Formulierung ist mal wieder ein klassisches Beispiel für eine unklare Aufgabenstellung. Man hätte übrigens genau so gut schreiben können: "Ein Elektriker baut 2 Glühbirnen in eine Reihenschaltung ein"...
Vielleicht liegt die perfekte Lösung dieser Aufgabe auch darin, das arithmetische Mittel aus den Lösungen der diversen Interpretationen zu bilden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Do 07.05.2009 | | Autor: | matheman |
Hallo Al-Chwarizmi,
ich glaube jetzt hab' ich's. Vielen Dank für deine Hilfe.
Eine letzte Frage noch: Du hast bei meiner letzten (zu großen, P=0,775) W'keit nur gesagt, dass die viel zu groß sei. Kannst du nochmal begründen, wo da genau der Fehler liegt?
matheman
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> ich glaube jetzt hab' ich's. Vielen Dank für deine Hilfe.
>
> Eine letzte Frage noch: Du hast bei meiner letzten (zu
> großen, P=0,775) W'keit nur gesagt, dass die viel zu groß
> sei. Kannst du nochmal begründen, wo da genau der Fehler
> liegt?
Deine Rechnung war:
P(beide Birnen aus K1 und heile) = 100/300 * 99/299 * 0,9 = 0,099
P(beide Birnen aus K2 und heile) = 200/300 * 199/299 * 0,8 = 0,355
P(eine heile Birne pro Kiste) = 2 * 100/300 * 0,9 * 200/299 * 0,8 = 0,321
P_Gesamt = 0,099 + 0,355 + 0,321 = 0,775
In den ersten beiden Zeilen fehlt jeweils ein Faktor
0,9 bzw. 0,8 !
Schönen Abend !
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Ich habe noch eine Frage dazu:
Bei meiner 1. Möglichkeit habe ich die W'keit: P=0.6944444 (=25/36)
Bei meiner 2. Möglichkeit habe ich die W'keit: P=0.6939799 (=415/598)
Bei meiner 3. Möglichkeit (mit *0,9 und *0,8) habe ich die W'keit: P=0.6944370122
Bei deiner ausführlichen Möglichkeit, kommt raus p=0.7220717222
Warum gibt's zwischen der 2. und 3. Möglichkeit nochmal diesen kleinen Unterschied?
Mir kommst eigentlich gar nicht auf die Nachkommastellen an, sondern ich möchte nur die kleinen Unterschiede im Modell verstehen.
Kannst du mir das erklären?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Fr 08.05.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Bei meiner 2. Möglichkeit habe ich die W'keit: P=0.6939799 (=415/598)
>
> Bei meiner 3. Möglichkeit (mit *0,9 und *0,8) habe ich die W'keit: P=0.6944370122
>
> Warum gibt's zwischen der 2. und 3. Möglichkeit nochmal diesen kleinen Unterschied?
Die Antwort von Al-Chwarizmi steht doch schon weiter oben:
"Sie kommt daher, dass ich dann doch berücksichtigt habe, dass ja, nachdem man eine Birne entfernt hat, in dem verbleibenden Haufen nicht mehr 300 Stück, sondern eben nur noch 299 sind."
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 16.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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