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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Do 14.07.2011 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Zeigen Sie mithilfe Fouriertransformierten das schwache Gesetz der großen Zahlen,d.h. Sei [mm] (X_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge von stochastisch unabhängigen, identisch verteilten, integrierbaren Zufallsgrößen. Dann gilt:
[mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} X_i\overset{P}{\rightarrow}EX_1[/mm] |
Hey,
hab mich an der Aufgabe versucht,aber irgendwie hakts beim Beweis.
Meine Beweisidee: Da der stochastische Limes $P$-fast sicher konstant ist,
ist dies äquivalent zu:
[mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} X_i\overset{d}{\rightarrow}EX_1[/mm]
Nach dem Stetigkeitssatz von Levy könnte man dies mithilfe der F.T. beweisen, in dem man zeigt:
[mm]\Phi_{\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} X_i}(t)\overset{n\to\infty}{\rightarrow}\Phi_{EX_1}(t) [/mm] für alle [mm] $t\in\IR$
[/mm]
Formt man die linke Seite um bzw berechnet die F.T. auf rechten Seite ergibt sich.
[mm] (\Phi_{X_1}(\bruch{1}{n}t))^n\overset{n\to\infty}{\rightarrow}e^{it\mu}[/mm] wobei [mm] $\mu:=EX_1$
[/mm]
bzw
[mm]\lim_{n\to\infty}n*\log\Phi_{X_1}(\bruch{1}{n}t)=it\mu[/mm]
Um dies zu zeigen, hab ich mir überlegt mit der Regel von l`Hospital zu arbeiten: Da die F.T. eine stetige Funktion gilt: [mm] $\lim_{n\to\infty}\log\Phi_{X_1}(\bruch{1}{n}t)=\log [/mm] 1=0$ (alternativ könnte man dies auch mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz zeigen, int.Majorante = 1?)
Damit gilt:
[mm]\lim_{n\to\infty}\bruch{\log\Phi_{X_1}(\bruch{1}{n}t)}{\bruch{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\bruch{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n} \log\Phi_{X_1}(\bruch{1}{n}t)}{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n} \bruch{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\bruch{\Phi'(\bruch{1}{n}t)*(-\bruch{t}{n^2})}{\Phi(\bruch{1}{n}t)}*(-n^2)[/mm]
Darf ich jetzt wieder einfach den Limes reinziehen? Wüsste nämlich nicht wie man die Ableitung bestimmt, wenn "n" die Variable ist.
Mit den Satz von der majorisierten Konvergenz ergibt sich zumindest allgemein:
[mm] $\Phi'(t)=i*E(X_1*e^{itX_1})$ [/mm] und damit [mm] $\Phi'(0)=i*\mu$.
[/mm]
Stimmt das so?
Viele Grüße
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Do 14.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [snip]
sieht alles richtig aus.
> Um dies zu zeigen, hab ich mir überlegt mit der Regel von l`Hospital zu arbeiten
wieso kannst Du [mm] $\Phi$ [/mm] ableiten? Siehe unten.
> $ [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{\log\Phi_{X_1}(\bruch{1}{n}t)}{\bruch{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\bruch{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n} \log\Phi_{X_1}(\bruch{1}{n}t)}{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n} \bruch{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\bruch{\Phi'(\bruch{1}{n}t)\cdot{}(-\bruch{t}{n^2})}{\Phi(\bruch{1}{n}t)}\cdot{}(-n^2) [/mm] $
> Darf ich jetzt wieder einfach den Limes reinziehen? Wüsste nämlich nicht wie man die Ableitung bestimmt, wenn "n" die Variable ist.
Was genau meinst Du mit Limes reinziehen? [mm] $\Phi\left(\frac 1n t\right)\to [/mm] 1$, für [mm] $n\to\infty$, [/mm] die [mm] $-n^2$ [/mm] kürzen sich. Und es steht da, was Du haben willst.
> Mit den Satz von der majorisierten Konvergenz ergibt sich zumindest allgemein:
$ [mm] \Phi'(t)=i\cdot{}E(X_1\cdot{}e^{itX_1}) [/mm] $ und damit $ [mm] \Phi'(0)=i\cdot{}\mu [/mm] $.
Das solltest Du vor Anwendung von L'Hospital erwähnen. =)
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:00 Fr 15.07.2011 | | Autor: | Fry |
Danke! Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht...;)
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