Vorzeichenwechselverteilung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Fr 12.12.2008 | | Autor: | dadario |
| Aufgabe | Geben Sie für die folgenden Funktionen
[mm] f1(x,y)=x^2-y^2
[/mm]
f2(x,y)= [mm] 9x^4 +9y^4 -90x^2 -90y^2 +82x^2 y^2 [/mm] +81
die vorzeichenwechselverteilung an. |
ja..
was ist denn genau die vorzeichenwechselverteilung?
bzw wie komm ich darauf..
hab absolut keine ahnung was ich machen soll und wäre dankbar über etwas hilfe.
|
|
| |
|
> Geben Sie für die folgenden Funktionen
>
> [mm]f1(x,y)=x^2-y^2[/mm]
> f2(x,y)= [mm]9x^4 +9y^4 -90x^2 -90y^2 +82x^2 y^2[/mm] +81
>
> die vorzeichenwechselverteilung an.
> ja..
>
> was ist denn genau die vorzeichenwechselverteilung?
>
> bzw wie komm ich darauf..
>
> hab absolut keine ahnung was ich machen soll und wäre
> dankbar über etwas hilfe.
Hallo,
ich verstehe das so, daß Du sagen sollst, welches die Höhenlinien mit f(x,y)=0 sind,
wo Bereiche mit pos. und wo welche mit neg. Funktionswerten sind.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Sa 13.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo dadario,
das sehe ich genauso wie Angela.
Ein Tipp zur zweiten Funktion:
[mm] f_2(x,y)=9x^4+9y^4-90x^2-90y^2+82x^2y^2+81
[/mm]
Das ist ja nicht so leicht darauf zu untersuchen, wo der lange Term Null wird.
Glücklicherweise ist die Funktion faktorisierbar.
Da nur gerade Potenzen vorkommen, wird die Faktorisierung sicher so aussehen:
[mm] (ax^2+by^2+c)*(dx^2+ey^2+f)
[/mm]
Dieser Ansatz erweist sich als ungünstig. Du erhältst drei unabhängige quadratische Gleichungen in drei Variablen, ohne dass eine weitere Vereinfachung möglich scheint. Ab da kann man einen Wert einsetzen und prüfen, ob er zu Widerspruch führt oder nicht. Recht mühsam.
Eine Betrachtung der Koeffizienten hilft aber schon weiter. Alle sind durch 9 teilbar, bis auf einen: 82. Er steht gerade vor einem der Glieder, die sich aus der Summe zweier Produkte zusammensetzen werden, so dass man ja einfach mal annehmen kann, die 82 seien entstanden aus 9*9+1(*1).
Dann wäre ein neuer Ansatz: [mm] (9x^2+y^2+a)*(x^2+9y^2+b)
[/mm]
Da stimmen schonmal die Koeffizienten vor [mm] x^4, y^4 [/mm] und [mm] x^2y^2 [/mm] - und den Rest findest Du ja leicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 So 14.12.2008 | | Autor: | dadario |
ah okay..
nur wie komm ich auf die höhenlinien? bzw wie berechnet man solche?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 So 14.12.2008 | | Autor: | dadario |
ah okay..
nur wie komm ich auf die höhenlinien? bzw wie berechnet man solche?
|
|
|
| |
|
Na, bei der ersten Funktion ist das doch z.B. ganz einfach. Vielleicht hilft Dir ja die Vorstellung dass [mm] f_1 [/mm] so genutzt wird:
[mm] z=f_1(x,y)=x^2-y^2
[/mm]
Wo verläuft die Funktion auf der Ebene z=0?
Überall da, wo [mm] x^2-y^2=0 [/mm] ist.
...und das ist...
Bei [mm] f_2 [/mm] findest Du einen kleinen (nur 81 hohen) steilen Berg, der nicht erreichbar ist, aber von vier Senken umgeben, in denen sich im Lauf der Jahrtausende gewiss Wasser gesammelt hat. Doch erreicht man auf dem Landweg die benachbarte Senke nicht, weil die scharfen Kanten des Berges...
Ähem. Es ging ja nur um die Höhenlinie Null.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Di 16.12.2008 | | Autor: | dadario |
also ist in dem fall x = +-y und y = +-x wenn ich das ganze gleich null setzte oder ??
nur wie schreib ich da smit den vorzeichen dann auf? irgendwie versteh ich das ganze absolut nicht wie ich das so genau machen soll
|
|
|
| |
|
Das Vorzeichen wechselt an den Linien (Geraden) y=x und y=-x, dabei liegen Bereiche mit positivem Vorzeichen so zwischen den Geraden, dass entlang der x-Achse Werte [mm] \ge0 [/mm] und entlang der y-Achse Werte [mm] \le0 [/mm] liegen. Die 0 selbst wird entlang beider Koordinatenachsen nur im Nullpunkt erreicht, der zugleich der Schnittpunkt der beiden Vorzeichenwechselgrenzen ist.
So sieht die Funktion [mm] z=x^2-y^2 [/mm] aus (schräg von oben, damit man auch auf die leicht transparente Ebene z=0 sieht):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Mi 17.12.2008 | | Autor: | reverend |
Noch zwei Bilder zur Ansicht, beide zur 2. Funktion.
Hier einmal nur der Verlauf der Höhenlinie z=0:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und hier ein kleiner Ausschnitt rund um die z-Achse. Die Ebene z=0 ist wieder eingeblendet. Die Funktion ist in z-Richtung auf ein Fünfzigstel ihrer eigentlichen Höhe gestaucht, damit man überhaupt etwas erkennt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG,
rev
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Mi 17.12.2008 | | Autor: | dadario |
vielen vielen dank..
ich glaub nun hab ichs..
hab einfach mal di funktion gezeichnet und dann jeweils aus den bereichen einen punkt in die ursprungsfunktion eingesetzt und dadurch ein vorzeichen erhalten das hab ich einfach mal mit eingemalt und hoffe das das nun richtig ist.
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Do 18.12.2008 | | Autor: | dadario |
hallo,
ich habe jetzt noch eine andere Funktion :
[mm] f3(x,y)=(4x-x^2-y^2)(2x-x^2-y^2)
[/mm]
wenn ich die jetzt nach y auflöse und 0 setzte kann ich doch erst die erste klammer und dann die zweite klammer lösern oder? dann bekomm ich zwei funktionen
y= [mm] +-\wurzel{4x-x^2} [/mm] und y = [mm] +-\wurzel{2x-x^2}
[/mm]
wie würde das aussehen wenn ich es zeichnen würde? bzw ist die rechnung überhaupt richtig?
|
|
|
| |
|
Ja, die Rechnung ist soweit gut.
Allerdings scheint Dir nicht aufgefallen zu sein, dass es sich um Kreise handelt, in x- und y-Richtung verschoben.
Hier ein Blick von schräg oben in die Funktion, die Ebene z=0 wieder eingezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße,
rev
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Do 18.12.2008 | | Autor: | dadario |
ohje in dem bild erkenn ich mal gar nix...
das es kreise sind ist mir aufgefallen weil ich hab ja die form [mm] y^2 -x^2 [/mm] ... aber woran sehe ich welchen radius sie haben und um wieviel sie verschoben sind??
|
|
|
| |
|
Hallo dadario,
der Blick fällt von oben in die Funktion, die mit einer Stauchung um den Faktor 0.01 dargestellt ist. Die helle Fläche ist der Bereich, in dem der Funktionswert <0 ist.
[mm] f3(x,y)=(4x-x^2-y^2)(2x-x^2-y^2)=(x^2-4x+y^2)(x^2-2x+y^2)=(x^2-4x\blue{+4}+y^2\blue{-4})(x^2-2x\blue{+1}+y^2\blue{-1})=...
[/mm]
(also in beiden Klammern eine nahrhafte Null passend eingefügt)
[mm] ...=((x-2)^2+y^2-4)((x-1)^2+y^2-1)
[/mm]
Schon sind die Kreise klar erkennbar.
Einer hat seinen Mittelpunkt in (2;0) und den Radius 2,
der andere den Mittelpunkt in (1;0) und den Radius 1,
also liegt der eine im andern und beide berühren sich im Nullpunkt.
lg,
rev
|
|
|
|
