Volumina von Rotationskörpern < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:40 Di 10.02.2009 | | Autor: | Eudora89 |
| Aufgabe | | Herleitung einer allgemeinen Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern |
Hallo!
Ich arbeite derzeit an meiner Facharbeit und ich bin ein wenig spät dran.
Ich muss sagen Mathematik ist mein schlechtestes Fach, weshalb ich mir gedacht hatte, mit der Facharbeit eine Verbesserung zu erzielen.
Mein Problem besteht darin, das was ich weiß in mathematische Formeln zu bringen.
Ich weíß aus dem Unterricht, dass das errechnen eines Flächeninhaltes zwischen einem Graphen und der x-Achse mit Hilfe von Treppenstufen gemacht wird, also dass man das Intervall in Teilintervalle einteilt und Rechtecke bildet, die einerseits den Graphen überragen (Obersumme) andererseits unterragen (Untersumme).
Ich bin so weit, dass ich verstanden habe, dass man diese Rechtecke mitrotieren lassen muss, woraus sich Kreisscheiben, also Zylinder bilden.
Und von Zylindern kann man das Volumen errechnen.
Man muss also, glaube ich, wie beim errechnen einer Fläche, unendlich viele Teilintervalle bilden und die Summer der Volumina jedes einzelnen dieser Zylinder ergibt näherungsweise das Volumen des Rotationskörpers.
Mein Problem ist jetzt, dass ich absolut nicht weiss, wie ich das jetzt in eine allgemeine Formel bringen soll, mit der ich das Volumen eines jeden Rotationskörpers berechnen kann.
Ich weiss dass man Pi braucht.^^
Und irgendwas mit Grenzwert bilden. Aber ich versteh das alles nicht.
Könnte mir jemand dabei helfen, eine Formel dafür Herzuleiten?
Ich betone, dass es um die Herleitung geht. Die Formel alleine bringt mir nichts.
Ich wäre auch schon sehr dankbar, wenn mir jemand insoweit helfen könnte, dass ich das ganze auch im mathematischen nachvollziehen und somit selber auf die Herleitung kommen kann.
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Eudora,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Das Internet ist doch voll mit derartigen Herleitungen für die Formeln von einem Rotationsvolumen.
Schmeiß' doch mal eine Suchmaschine an und füttere diese mit den richtigen Begriffen.
Da es sich hier um die Anfertigung einer Facharbeit handelt, möchte ich Dir keine direkten Links posten.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Eudora89 |
Ja, das hab ich schon gemacht.
Ich hab hier auch drei Bücher rumliegen, die das erklären. Und ich hab das Prinzip, denke ich, verstanden. (wenn das was ich vorhin geschrieben habe nicht totaler schwachsinn ist).
Das Problem ist, dass ich diese ganzen Begriffe garnicht zuordnen kann.
Ich weiss auch überhauptnicht, wie das rechnen mit Integralen funktioniert, obwohl wir das im unterricht gemacht haben. Aber ich versteh's einfach nicht.
Ich möchte hier auch keine vorgekaute Herleitung habe, bitte nicht falsch verstehen.
Aber wenn mir jemand diese Schritte, die ich oben beschrieben habe, mit mathematischen Begriffen und zusammenhängen füllen könnte, wäre das unter Umständen genau das was mir weiter Hilft.
Es gibt ne Formel zum Berechnen von Zylindern. Die lässt sich ja leicht ausfindig machen.
Und ich muss irgendwie unendlich viele Intervalle bilden.
Aber ich kann ja nicht "manuell" unendlich mal den flächeninhalt in unendlich kleinen größen ausrechnen.
Und was mit "Grenzwert bilden" gemeint ist, verstehe ich überhaupt nicht.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:15 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Eudora89 |
Ich hab nochmals weitergeguckt und bin jetzt auf Folgendes gekommen:
Man hat eine Funktion, die um die x-Achse rotiert wird.
Dabei beschreibt der y-Wert die Entfernung des Punktes eines beliebigen x-Wertes zur x-Achse.
Somit ist der y-Wert an einer beliebigen Stelle gleichzeitig der Radius an eben dieser Stelle.
Und y = f(x).
Zusätzlich weiss man:
Mit A = pi * r² lässt sich eine Kreisfläche berechnen.
Also lässt sich sagen V(x) = Integral von pi * (f(x))² = Rotationsvolumenformel
Kommt mir aber komisch vor.
Wo ist denn da jetzt der Aspekt von ober und Untersumme?
Das wäre ja irgendwie alles zu einfach.
Da kann doch was nicht stimmen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:53 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Blech |
Das normale Integral gibt uns die Fläche unter einem Graphen.
Der Einfachheit halber sagen wir mal, daß die Funktion auf dem Intervall, auf dem wir integrieren, positiv ist, und daß das Integral existiert. Wenn das Integral existiert, ist es völlig gleichgültig, ob wir Unter-, Ober- oder wilde Mischungssummen nehmen. Grenzwert von Ober- und Untersumme müssen ja nach Definition gleich sein, damit es existiert, und da das die beiden Extremfälle sind, kann man auch z.B. die Funktionswerte an der rechten Seite der Rechtecke hernehmen. (Meist kann man die Existenz beweisen, ohne mit Ober- und Untersumme herumhantieren zu müssen)
Integrieren heißt, wir füllen den Graphen mit lauter kleinen Rechtecken und die Summe der Flächen der Rechtecke geht im Grenzwert gegen die Fläche unter dem Graphen. Die Fläche jedes Rechtecks ist Grundlinie mal Höhe, also -wenn wir n Rechtecke nehmen- [mm] $\frac1n [/mm] * [mm] f(x_i)$, [/mm] wobei [mm] $x_i$ [/mm] der Funktionswert am rechten Rand des Rechtecks ist. Nachdem jedes Integral [mm] $\frac1n$ [/mm] breit ist, beginnt das i-te Rechteck bei [mm] $\frac{i-1}{n}$ [/mm] und hört bei [mm] $\frac{i}{n}$ [/mm] auf.
Also:
[mm] $\int_a^b [/mm] f(x)\ dx = [mm] \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac1n [/mm] * [mm] f\left(\frac{i}{n}\right)$
[/mm]
Einfaches Beispiel: a=0, b=1, f(x)=x
[mm] $\int_0^1 [/mm] x\ dx = [mm] \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac1n \frac{i}{n} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2} \underbrace{\sum_{i=1}^n i}_{=\frac{n(n+1)}{2}} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac12$
[/mm]
Wenn wir das Volumen des Rotationskörpers wollen, dann füllen wir den Innenraum mit kleinen Zylindern, und das Volumen eines Zylinders ist Grundfläche mal Höhe (bzw. Breite; wir rotieren ja um die x-Achse, also stehen die Teile auf der Seite =). Höhe ist wieder 1/n, und die Grundfläche ist was? Das Volumenintegral ist dann einfach wieder die Summe über die Zylinder, und dann schaust Du mal, ob Dich diese Summe nicht an irgendwas erinnert...
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Eudora89 |
Hi nochmals.
Also die Erklärung leuchtet mir ein, nur mit den Formeln kann ich nichts anfangen.
Ich nehme an, dass die Grundfläche dann der Flächeninhalt der Kreisscheibe ist..
In meiner Facharbeit (die ich morgen abgeben muss) steht unter dem Teil der Herleitung bisher, gekürzt, folgendes:
Flächeninhalt -> "Treppenstufen", dh. Teilintervalle (Rechtecke).
Dabei Ober und Untersumme bilden -> Summe jeweils der Obersummen und der Untersummen nähert den Flächeninhalt an
=> dieses verfahren kann auch bei Rotationskörpern genutzt werden
-> rechtecke mitrotieren lassen -> teilintervalle in form von zylindern
Diese überragen oder "unterragen" den Körper (ober- und untersumme)
-> Bilden eines Integrals macht Ober- und untersumme nicht mehr nötig
weil Integral = flächeninhalt. (integral also = grenzwert zwischen o- und u-summe)
Zusätzlich weiss man, dass A = pi * r² = Formel für Kreisfläche (Grundfläche?!)
==> V(x) = Integral von pi * (f(x))² = Rotationsvolumenformel
Kann man das so einfach sagen?
Ist was falsch?
Was fehlt?
Achja, ich bezieh mich auf die rotation um die xAchse, das macht für mich im hinblick auf die herleitung keinen unterschied oder?
PS: @blech, ich hab keine Ahnung wie ich nen Integral ausrechne... F(b) - F(a)?
Ich hoffe ihr könnt mir nochmal weiterhelfen^^ .. ich hätte früher anfangen sollen ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Do 12.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Hi nochmals.
Hallo auch und
>
> Also die Erklärung leuchtet mir ein, nur mit den Formeln
> kann ich nichts anfangen.
> Ich nehme an, dass die Grundfläche dann der Flächeninhalt
> der Kreisscheibe ist..
Yep, so ist es im Endeffekt. Du hast anstatt der Rechtecke hier halt Zylinder mit der Höhe [mm] h=\bruch{1}{n} [/mm] und dem Radius des Funktionswertes.
>
> In meiner Facharbeit (die ich morgen abgeben muss) steht
> unter dem Teil der Herleitung bisher, gekürzt, folgendes:
>
> Flächeninhalt -> "Treppenstufen", dh. Teilintervalle
> (Rechtecke).
> Dabei Ober und Untersumme bilden -> Summe jeweils der
> Obersummen und der Untersummen nähert den Flächeninhalt an
Der Grenzwert für "unendlich viele" Rechtecke ist dann die Fläche, hier also das Volumen, da du "unendlich viele" Zylinder mit Volumen hast.
> => dieses verfahren kann auch bei Rotationskörpern genutzt
> werden
> -> rechtecke mitrotieren lassen -> teilintervalle in form
> von zylindern
> Diese überragen oder "unterragen" den Körper (ober- und
> untersumme)
> -> Bilden eines Integrals macht Ober- und untersumme nicht
> mehr nötig
> weil Integral = flächeninhalt. (integral also = grenzwert
> zwischen o- und u-summe)
Nicht zwischen, der Wert des Integrals ist der Grenzwert der Ober als auch der Untersumme. Und da du bei vielen Funktionen den Wert des Integrales kennst, brauchst du diese Grenzwertbetrachtung der Summen nicht mehr.
> Zusätzlich weiss man, dass A = pi * r² = Formel für
> Kreisfläche (Grundfläche?!)
Ein Kreis hat nur eine Fläche, hier hast du Zylinder, und deren Grundfläche ist ein Kreis.
> ==> V(x) = Integral von pi * (f(x))² =
> Rotationsvolumenformel
Kann man.
>
> Kann man das so einfach sagen?
> Ist was falsch?
> Was fehlt?
> Achja, ich bezieh mich auf die rotation um die xAchse, das
> macht für mich im hinblick auf die herleitung keinen
> unterschied oder?
>
> PS: @blech, ich hab keine Ahnung wie ich nen Integral
> ausrechne... F(b) - F(a)?
Yep. F(x) ist dabei die Stammfunktion zur zu integrierenden Funktion f(x).
Dann gilt: [mm] \integral_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)
[/mm]
Bei deiner Formel fürs Rotationsvolumen (um die x-Achse) beachte aber, dass: [mm] V=\pi*\integral(f(x))^{\red{2}}dx
[/mm]
>
> Ich hoffe ihr könnt mir nochmal weiterhelfen^^ .. ich hätte
> früher anfangen sollen ..
>
>
Marius
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