Volumenberechung Torus < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Fr 16.03.2007 | | Autor: | chollie |
| Aufgabe | Facharbeit zum Thema Rotationskörper; Kapitel Berechnung des Volumens von einem Torus
Rotation eines Kreises mit der Gleichung [mm] (x-4)^2+(y-3)^2=1 [/mm] um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstandenen Torus! |
Hallo zusammen,
ich gebe nun schon seit 7 Jahren Mathenachhilfe für Oberstufenschüler. Doch mit dieser Aufgabe bin ich an meine Grenzen gestoßen.
Meine Schülerin hat sich als Thema für Ihre Facharbeit "Rotationskörper" ausgesucht und möchte im Anschluss an die allgemeine Herleitung zwei Beispiele berechnen. Das erste (einen Sektkegel aus einer rotierenden Wurzelfunktion) konnte ich ihr erläutern. Nun möchte sie als zweites einen "Donutring", also einen Torus berechnen.
Die allgemeine Formel (V= [mm] \pi *\integral_{a}^{b}{f(x) dx}) [/mm] mit der Funktion zum Quadrat) ist uns natürlich geläufig.
Mein Problem, oder meine Frage: Forme ich nun einfach die Gleichung des Kreises nach y um (--> y= [mm] \wurzel{(1-(x-4)^2)} [/mm] +3) und setze sie für f(x) ein? Das erscheint mir zu banal. Ich will ihr nichts falsches vorsagen, also bitte ich um Eure Hilfe.
Lieben Gruß
Christiane
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Facharbeit zum Thema Rotationskörper; Kapitel Berechnung
> des Volumens von einem Torus
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> Rotation eines Kreises mit der Gleichung [mm](x-4)^2+(y-3)^2=1[/mm]
> um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstandenen
> Torus!
> Hallo zusammen,
> ich gebe nun schon seit 7 Jahren Mathenachhilfe für
> Oberstufenschüler. Doch mit dieser Aufgabe bin ich an meine
> Grenzen gestoßen.
> Meine Schülerin hat sich als Thema für Ihre Facharbeit
> "Rotationskörper" ausgesucht und möchte im Anschluss an die
> allgemeine Herleitung zwei Beispiele berechnen. Das erste
> (einen Sektkegel aus einer rotierenden Wurzelfunktion)
> konnte ich ihr erläutern. Nun möchte sie als zweites einen
> "Donutring", also einen Torus berechnen.
> Die allgemeine Formel (V= [mm]\pi *\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx})[/mm]
> ist uns natürlich geläufig.
>
> Mein Problem, oder meine Frage: Forme ich nun einfach die
> Gleichung des Kreises nach y um (--> y=
> [mm]\wurzel{(1-(x-4)^2)}[/mm] +3) und setze sie für f(x) ein? Das
> erscheint mir zu banal. Ich will ihr nichts falsches
> vorsagen, also bitte ich um Eure Hilfe.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es so zu machen wäre auch nicht richtig, denn beim Umformen bekommt man ja [mm] y=\pm\wurzel{(1-(x-4)^2)}+3.
[/mm]
Leider kann ich hier nicht zeichnen, aber ich gehe davon aus, daß Du ein Bild vor Dir liegen hast mit dem Koordinatensystem, dem Kreis mit Mittelpunkt (4/3) und Radius 1.
Ich würde zunächst das Volumen berechnen, welches ich bekomme, wenn die rechte Kreishälfte um die y-Achse rotiert. Davon würde ich das Volumen, welches bei Rotation der linken Kreishälfte entsteht, subtrahieren.
Der Torus müßte übrigbleiben.
Ich hoffe, ich konnte mich halbwegs verständlich ausdrücken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Fr 16.03.2007 | | Autor: | chollie |
Also:
Erst das Volumen von
f(x)= + [mm] \wurzel{1-(x-4)²}+3 [/mm]
berechnen und dann das Volumen von
f(x)= - [mm] \wurzel{1-(x-4)²}+3
[/mm]
abziehen ?!?!
Hatte auch schon den Gedanken, dass man das Volumen zwischen zwei Kurven ausrechnen muss, aber mir war nicht klar, dass die einzelnen Ergebnisse die Kreishälften ergeben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Fr 16.03.2007 | | Autor: | chollie |
Die Regel ist mir auch schon über den Weg gelaufen. Problem: Dann müsste die Kleine die noch in der Facharbeit erläutern und die Lehrerin ist unwahrscheinlich pingelig.
Aber Du meinst, auf dem herkömmlichen Weg geht es auch, oder?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo chollie!
Ja, natürlich funktioniert das auch herkömmlich wie Du sagst.
Um es etwas einfacher zumachen, kannst Du beide "Halb-Torusse" (Stimmt dieser Plural? Oder doch "Toren"? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ) zusammenfassen:
$V \ = \ [mm] V_1-V_2 [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral{\left[3+\wurzel{1-(x-4)^2} \ \right]^2 \ dx}-\pi*\integral{\left[3-\wurzel{1-(x-4)^2} \ \right]^2 \ dx} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] 12*\pi*\integral{\wurzel{1-(x-4)^2} \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Fr 16.03.2007 | | Autor: | chollie |
Ich denke, das werde ich als Lösungsweg nehmen.
Wie kommst Du denn auf die 12, die Du aus dem Integral gezogen hast?
Ach ja, noch eine Frage: Nehme ich dann als Grenzen einfach xM-r und xM+r also 2 und 3?
Ich weiss, die Fragen werden immer blöder, aber ich will dem Mädel wie gesagt nix falsches erzählen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo chollie!
Deine Integrationsgrenzen sind nicht richtig.
Der Faktor $12_$ entsteht durch die beiden binomischen Formeln $2*3*Wurzel \ = \ 6*Wurzel$ ... und das halt gleich 2-mal.
Anschließend habe ich diesen (konstanten) Faktor vor das Integral gezogen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Fr 16.03.2007 | | Autor: | chollie |
Hm, vielleicht liegt das an der fortgeschrittenen Stunde und morgen schlag ich mir vor die Stirn, aber ich komm nicht an die 12, bzw an die 6, die ich rausziehen kann.
Das sind doch die 1. und zweite binomische Formel und somit a²+/-2ab+b²
Damit hab ich doch ne Summe im Integral und ich kann doch nur Faktoren rausziehen... oder?! Wie gesagt: Vielleicht nur zu spät für mein kleines Köpfchen. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Fr 16.03.2007 | | Autor: | chollie |
Ja, ich hab die 12! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chollie!
Bei den Integrationsgrenzen (bzw. bei deren Werten) habe ich etwas geschlafen.
Mit [mm] $x_M [/mm] \ = \ 4$ sowie $r \ = \ 1$ lauten die entsprechenden Integrationsgrenzen:
[mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] x_M-r [/mm] \ = \ 4-1 \ = \ 3$
[mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] x_M+r [/mm] \ = \ 4+1 \ = \ 5$
Gruß
Loddar
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> Mit [mm]x_M \ = \ 4[/mm] sowie [mm]r \ = \ 1[/mm] lauten die entsprechenden
> Integrationsgrenzen:
>
> [mm]x_1 \ = \ x_M-r \ = \ 4-1 \ = \ 3[/mm]
>
> [mm]x_2 \ = \ x_M+r \ = \ 4+1 \ = \ 5[/mm]
Sagt mal,
das war doch ein Kreis mit Mittelpunkt (4/3) mit Radius 1.
Wir drehen doch um die y-Achse, und da haben wir das Intervall [2,4].
Oder bin ich jetzt wirr? Ich kann's leider nicht ganz ausschließen...
EDIT: Hab die Aufgabe nochmal gelesen. Das wird ja doch um die x-Achse rotiert... (Insofern paßte auch meine erste Antwort zum Thema nur halb, muß ich feststellen.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Fr 16.03.2007 | | Autor: | chollie |
Wenn mir jetzt noch mal jemand kurz auf die Sprünge hilft und mir verrät, wie die Substitution beim Aufleiten von Wurzelfunktionen war, dann bin ich auch schon glücklich! :)
Ich bin jetzt angekommen bei:
[mm] V=12*\pi* \integral_{2}^{4}{\wurzel{-x²+8x-15} dx}
[/mm]
(Das alles andere wegfällt konnte ja keine ahnen  )
Muss jetzt also nur noch die Stammfunktion bilden und dann die Grenzen einsetzen. Wie war das denn nochmal mit der "Kettenregel rückwärts"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo chollie!
Am besten unter der Wurzel nicht ausmultiplizieren: [mm] $\wurzel{1-(x-4)^2}$ [/mm] .
Dann muss die Substitution lauten: $x-4 \ := \ [mm] \sin(u)$ $\gdw$ [/mm] $x \ = \ [mm] 4+\sin(u)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Fr 16.03.2007 | | Autor: | chollie |
Ich versuch's mal:
[mm] f(x)=\wurzel{-x²+8x-15}=(-x²+8x-15)^{1/2}
[/mm]
[mm] F(x)=\bruch{1}{3/2}*\bruch{1}{-2x+8}*(-x²+8x-15)^{3/2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{-3x+12}*\wurzel{-x²+8x-15}^{3}
[/mm]
Stimmt das? (Ganz schön anstrengend, wenn man das nicht gewohnt ist mit der Formelschreibweise hier im Forum.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Fr 16.03.2007 | | Autor: | chollie |
Da wäre ich nie drauf gekommen (so aus dem Kopf).
Aber mal ganz abgesehen davon: Meine Schülerin ist in der 12 Grundkurs ud die bekommt Ihrer Lehrerin niemals verklickert, dass die das alleine gemacht hat. :-( So`n Mist! Ich glaube, wir müssen eine andere Aufgabe nehmen. Oder fällt Dir noch eine einfachere andere Möglichkeit ein, einen Torus zu berechnen? Damit sie wenigstens ihren Donutring behalten kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo chollie!
Da verbleibt dann doch nur Herr Guldin mit seiner oben erwähnten Regel für den Torus.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Sa 17.03.2007 | | Autor: | chollie |
Nun denn, dann müssen wir wohl mal sehen, dass wir das irgendwie noch einarbeiten! Danke, auf jeden Fall! Hast mir sehr geholfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:39 Sa 17.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
lass doch deine schuelerin das Volumen eines Kuelturms, also einer rotierten Hyperbel berechnen!
Gruss leduart
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hallo,
eine andere Möglichkeit für diese Aufgabe wäre auch die Rotation um die y-Achse!
In einer Facharbeit über Rotationskörper sollte das auf keinen Fall fehlen.
Bei der Methode, baut man seinen Rotationskörper (wie gesagt um die y-Achse rotieren!) auch lauter kleinen Hohlzylindern zusammen. Deswegen sagt man auch Schalenmethode dazu.
Die Allgemeine Formel ist:
[mm] $2\pi \integral_{a}^{b}{x\cdot f(x) dx}$
[/mm]
Wobei f dann die "Höhe" der Schale in Abhängigkeit vom Radius ist
Also in dem Fall $ [mm] 2\cdot\wurzel{1-(x-4)^2}$
[/mm]
Somit ergäbe sich:
$V = [mm] 2\pi \integral_{3}^{5}{2x\cdot\wurzel{1-(x-4)^2} dx}$
[/mm]
Das lässt sich gut mit partieller Integration lösen!
mfg nowhereman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Sa 17.03.2007 | | Autor: | nowhereman |
Hab grad gemerkt, dass das integral ja garnicht so einfach zu lösen ist
da brauch man schon die substitutionsmethode
und selbst dann ist es nicht gerade schön
sei $ x:=4-sin(t)$ also $ 4-x=sin(t)$
also $ dx = [mm] -dt\cdot [/mm] cos(t)$
Dann ist
$ [mm] \integral{2x\cdot\wurzel{1-(x-4)^2} dx}$
[/mm]
$ = [mm] \integral{-2(4-sin(t))\wurzel{1-sin(t)^2}\cdot cos(t) dt}$
[/mm]
$ = [mm] \integral{2(4-sin(t))(cos(t))^2 dt}$
[/mm]
$ = [mm] \integral{8cos(t)^2-2sin(t)cos(t)^2 dt}$
[/mm]
$ = -4(t + cos(t)sin(t)) + [mm] \frac{2}{3}cos(t)^3 [/mm] + C$
$ = [mm] 2(cos(t)(\frac{1}{3}(cos(t)^2-2sin(t))) [/mm] -2t) + C$
und nach Resubstitution:
$ = [mm] 2(\wurzel{1-(x-4)^2}(\frac{1}{3}(1-(x-4)^2-6(4-x))) [/mm] -2arcsin(4-x)) + C$
$ = [mm] 2(\wurzel{1-(x-4)^2}(\frac{1}{3}(-x^2+14x-41)) [/mm] -2arcsin(4-x)) + C$
Bei uns ist der erste Summand bei den beiden Grenzen sowieso 0.
Also gilt:
$V = [mm] 2\pi \integral_{3}^{5}{2x\cdot\wurzel{1-(x-4)^2} dx}$
[/mm]
$ = [mm] 2\pi [/mm] (-4arcsin(4-5)+4arcsin(4-3))$
$ = [mm] 2\pi\cdot8arcsin(1)$
[/mm]
$ = [mm] 8\pi^2$
[/mm]
Ich hoffe mal ich hab jetzt keinen Fehler gemacht.
mfg nowhereman
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Hi,
@ Loddar:
Der Plural von Torus ist Tori.
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Di 20.03.2007 | | Autor: | chollie |
Danke nochmal für deine Antwort. Aber wie schon vorher erwähnt, können wir keine Substitution in die Facharbeit mit aufnehmen, da sonst die Lehrerin von meiner Nachhilfe merkt, dass sie das nicht alleine gerechnet hat.
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Hi, cholli,
> Aber mal ganz abgesehen davon: Meine Schülerin ist in der
> 12 Grundkurs ud die bekommt Ihrer Lehrerin niemals
> verklickert, dass die das alleine gemacht hat. :-( So'n
> Mist! Ich glaube, wir müssen eine andere Aufgabe nehmen.
Heißt das, ihr habt Euch die Aufgabe selbst ausgedacht? Stammt die gar nicht von der Lehrerin?
Dann vergiss die Aufgabe schnellstens, vor allem dann, wenn der arcsin im Unterricht noch nicht vorgekommen ist!
> Oder fällt Dir noch eine einfachere andere Möglichkeit ein,
> einen Torus zu berechnen? Damit sie wenigstens ihren
> Donutring behalten kann?
Zumindest sollte man den Kreismittelpunkt nicht bei M(4;3) wählen, sondern vielleicht bei M(0;3), dann wird's ein bissl leichter!
Aber der arcsin steckt immer noch drin!
mfG!
Zwerglein
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>
> Dann vergiss die Aufgabe schnellstens, vor allem dann,
> wenn der arcsin im Unterricht noch nicht vorgekommen ist!
> Zumindest sollte man den Kreismittelpunkt nicht bei M(4;3)
> wählen, sondern vielleicht bei M(0;3), dann wird's ein
> bissl leichter!
> Aber der arcsin steckt immer noch drin!
Hallo,
ich sehe das genauso.
Da die Schülerin nur Grundkurs und außerdem Nachhilfe hat, wird sie vermutlich keine Leuchte in Mathe sein, und es könnte jemand auf die Idee kommen, daß das mit dem arcsin nicht auf ihrem Mist gewachsen ist...
Bei einer guten LK-Schülerin würde ich das anders sehen.
Ich finde leduarts Vorschlag mit der Hyperbel (Kühlturm) nicht so übel, immerhin hat solch ein Ding jeder schonmal gesehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, chillie,
oder wenn's unbedingt "was Donut-Ähnliches" sein soll, lasst halt z.B. die von den beiden Funktionsgraphen von f(x) = [mm] 2x^{2}+2 [/mm] und [mm] g(x)=6-2x^{2} [/mm] zwischen x=-1 und x=+1 begrenzte Fläche um die x-Achse kreisen.
Dann ist der Donut im Querschnitt zwar nicht kreisförmig, aber das ist er ja in der Realität auch nicht genau! Nenn's halt: Chillie-Donut oder so ähnlich!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Di 20.03.2007 | | Autor: | chollie |
Danke für Eure Vorschläge und Lösungsansätze. Also, nochmal zum Verständnis: Die Schülerin hat sich das Thema selbst ausgesucht (ich hab daraufhin erstmal die Hände über'm Kopf zusammengeschlagen, weil Rotationsvolumina nicht im Unterricht behandelt worden sind und wir bei Null anfangen mussten). Im Laufe der Arbeit an der Facharbeit hab ich ihr gesagt, sie soll sich mal 2 Beispiele ausdenken und das Sektglas und der Donut haben ihr so gut gefallen, dass ich sie nicht umstimmen wollte.
Wir haben das Problem jetzt folgendermaßen gelöst:
Sie hat nach der "normalen" Formel das Integral für die Kreisgleichung aufgestellt und alles nett erläutert. Dann hat sie erklärt, dass sie und ihre Mitschüler mit dem jetzigen Wissen nicht die Stammfunktion bilden können und sie daher auf die Guildinsche Formel zurückgreifen muss. Ich hoffe, die Lehrerin ist damit zufrieden. Wer weiss...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 So 17.06.2007 | | Autor: | chollie |
Nur noch zu rInfo: Es ist ne 2+ geworden. Sind also durchaus zufrieden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 So 17.06.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, chollie,
gratuliere! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
mfG!
Zwerglein
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Warum macht ihr es euch so schwer mit dem Torus?
Die Sache ist viel einfacher, als ihr denkt. Zunächst einmal ändert sich das Volumen des Torus nicht, wenn man den um die [mm]x[/mm]-Achse rotierenden Kreis in [mm]x[/mm]-Richtung verschiebt. Es ist daher überhaupt nicht nötig (und führt nur zur unnötigen Rechenschwierigkeiten), mit
[mm](x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 1[/mm]
zu arbeiten. Stattdessen könnt ihr einfach
[mm]x^2 + (y - 3)^2 = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ y = 3 \pm \sqrt{1 - x^2}[/mm]
nehmen. Jetzt hat der Kreis den Mittelpunkt [mm]M = (0|3)[/mm] und den Radius [mm]r = 1[/mm]. Betrachtet für [mm]-1 \leq x \leq 1[/mm] die zwei Funktionen
[mm]f^{+}(x) = 3 + \sqrt{1 - x^2} \, , \ \ f^{-}(x) = 3 - \sqrt{1 - x^2}[/mm]
Rotiert der Graph von [mm]f^{+}[/mm] um die [mm]x[/mm]-Achse, so erhält man einen "ausgefüllten Donut". Man sich das in etwa wie einen Käselaib (kennst du die Sorte "Bonbel"?) vorstellen. Bezeichnen wir dessen Volumen mit [mm]V^{+}[/mm].
Rotiert dagegen der Graph von [mm]f^{-}[/mm] um die [mm]x[/mm]-Achse, so erhält man das Innere des "ausgefüllten Donut" (vergleiche das mit einem Autorad ohne Reifen). Bezeichnen wir dieses Volumen mit [mm]V^{-}[/mm].
Bezeichnet nun [mm]V_{\text{T}}[/mm] das Torusvolumen, so gilt offenbar
[mm]V_{\text{T}} = V^{+} - V^{-} = \pi \int_{-1}^1~\left( f^{+}(x) \right)^2~\mathrm{d}x - \pi \int_{-1}^1~\left( f^{-}(x) \right)^2~\mathrm{d}x[/mm]
Und hier ist es nun zweckmäßig, die Integrale nicht einzeln auszurechnen, sondern erst zusammenzufassen:
[mm]V_{\text{T}} = \pi \int_{-1}^1~\left( \left( f^{+}(x) \right)^2 - \left( f^{-}(x) \right)^2 \right)~\mathrm{d}x[/mm]
Der Integrand besteht jetzt von einem Faktor abgesehen aus [mm]\sqrt{1 - x^2}[/mm]. Wenn nun der Schülerin keine Integrationstechniken hierfür zur Verfügung stehen, würde ich elementar argumentieren: "[mm]x \mapsto \sqrt{1 - x^2}[/mm] beschreibt den oberen Einheitshalbkreis. Da aus früheren Jahren bekannt ist, daß der Einheitskreis den Inhalt [mm]\pi[/mm] hat, muß der Integralwert also [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] sein." So kommt man ohne Kenntnis einer Stammfunktion zum Ergebnis. (Ich finde das sowieso immer komisch, den Kreisinhalt, den man ja schon längst kennt, mit der Integralrechnung und irgendwelchen Substitutionen herleiten zu wollen. Überlegen wir uns einmal, wie die Geschichte war: Da bestimmt man in der 10. Klasse Umfang und Inhalt eines Kreises, führt mit diesem Wissen dann Sinus, Cosinus und Konsorten am Einheitskreis ein, um dann in der 12. Klasse mit der Integralrechnung und Sinus und Cosinus den Flächeninhalt des Kreises zu bestimmen. Merkt denn niemand, daß man sich da im Kreise dreht? Urkomisch ist das!)
Übrigens ist es kaum schwerer, wenn man statt des Kreises [mm]x^2 + (y - 3)^2 = 1[/mm] den Kreis [mm]x^2 + (y - R)^2 = r^2[/mm] (mit Parametern [mm]0 < r < R[/mm]) um die [mm]x[/mm]-Achse rotieren läßt. So bekommt man gleich die allgemeine Formel für den Torus. Na, das wäre doch ein "Highlight" für die Facharbeit!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Das entspricht dem Lösungsansatz von Angela.
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
GULDIN'schen Regel
Kettenregel![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
