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| Aufgabe | Sei R > 0. Sei [mm] \omega \subset R^3 [/mm] die Menge
[mm] \omega [/mm] := {f(x;y;z) [mm] \in R^3 [/mm] : [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 \le R^2 [/mm] ; [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le z^2; [/mm] z [mm] \ge [/mm] 0}
Skizzieren Sie die Menge [mm] \omega [/mm] und berechnen Sie das Volumen mit Hilfe der Kugel-koordinaten (x; y; z) = (r cos [mm] \alpha [/mm] sin [mm] \beta; [/mm] r sin [mm] \alpha [/mm] sin [mm] \beta [/mm] ; r cos [mm] \beta). [/mm] |
Hallo! also ich habe mir eigentlich gedacht, dass man das eig relativ einfach machen kann mit der Transformationsformel.
Die Kugelkoordinaten haben ja gerade die Funktionaldeterminante: [mm] -r^2*sin(\beta) [/mm] usw... dann kommt man ja aufs Kugelvolumen.
Aber was ich dabei nicht beachtet habe ist die zweite Voraussetzung in der Menge nämlich [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le z^2 [/mm] das hab ich irgendwie gar nicht bedacht dabei und somit auch nie verwendet!
Könnt ihr mir wohl helfen und sagen wie ich das behandeln muss, bzw wie ich mir die Menge eigentlich vorstellen muss? weil ich dachte eigentlich das wär eine Kugel :)
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei R > 0. Sei [mm]\omega \subset R^3[/mm] die Menge
>
> [mm]\omega := \{f(x;y;z) \in R^3 : x^2 + y^2 +z^2 \le R^2 ; x^2 +y^2 \le z^2; z \ge 0\}[/mm]
> Skizzieren Sie die Menge [mm]\omega[/mm] und berechnen Sie das
> Volumen mit Hilfe der Kugel-koordinaten [mm](x; y; z) = (r cos \alpha sin \beta; r sin \alpha sin \beta ; r cos
> \beta).[/mm]
> Hallo! also ich habe mir eigentlich gedacht, dass man das
> eig relativ einfach machen kann mit der
> Transformationsformel.
>
> Die Kugelkoordinaten haben ja gerade die
> Funktionaldeterminante: [mm]-r^2*sin(\beta)[/mm] usw... dann kommt
> man ja aufs Kugelvolumen.
>
> Aber was ich dabei nicht beachtet habe ist die zweite
> Voraussetzung in der Menge nämlich [mm]x^2 + ]y^2 \le z^2[/mm]
> das hab ich irgendwie gar nicht bedacht dabei und somit
> auch nie verwendet!
>
> Könnt ihr mir wohl helfen und sagen wie ich das behandeln
> muss, bzw wie ich mir die Menge eigentlich vorstellen muss?
> weil ich dachte eigentlich das wär eine Kugel :)
Eine Halbkugel, wegen [mm] $z\ge0$. [/mm] Die Menge ist offensichtlich rotationssymmetrisch um die z-Achse. Daher kannst du dir ein Bild davon machen, indem du dir den Schnitt mit der xz-Ebene aufmalst: setze für diese Zeichnug einfach $y=0$.
Zur Berechnung: die erste Bedingung [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 +z^2 \le R^2$ [/mm] wird in Kugelkoordinaten zu [mm] $r\le [/mm] R$. Stelle die zweite Bedingung [mm] $x^2 +y^2 \le z^2$ [/mm] genauso in Kugelkoordinaten auf!
Viele Grüße
Rainer
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Hm..... stimmt aber ist das nicht jede 3 dimensionale Kugel?
zur Berechnung:
ich seh jetzt leider nicht direkt wie ich das machen soll:
die zweite Bedingung ist ja umgeformt: [mm] r^2*cos(\alpha)^2*sin(\beta)^2 [/mm] + [mm] r*sin(\alpha)^2*sin(\beta)^2 \le r^2*cos(\beta)^2
[/mm]
und später [mm] V(\omega) [/mm] = [mm] \int_{\omega}^{} [/mm] 1 dx = [mm] \int_{0}^{R}\int_{}^{}\int_{}^{} r^2*sin(\beta) d(r,\alpha,\beta)
[/mm]
aber da fehlen mir ja jetzt noch genau die Grenzen von den beiden Integralen.
wie komm ich denn darauf? ich hätte ja erstmal auf 0 --> [mm] 2\pi [/mm] getippt? oder durch die halbkugel 0--> [mm] \pi
[/mm]
aber wahrscheinlich hat das mit der zweiten Nebenbedinung was zu tun?
Kannst du mir da wohl nochmal helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hm..... stimmt aber ist das nicht jede 3 dimensionale
> Kugel?
>
> zur Berechnung:
> ich seh jetzt leider nicht direkt wie ich das machen
> soll:
> die zweite Bedingung ist ja umgeformt:
> [mm]r^2*cos(\alpha)^2*sin(\beta)^2 + r*sin(\alpha)^2*sin(\beta)^2 \le r^2*cos(\beta)^2[/mm]
Das zweite $r$ muss [mm] $r^2$ [/mm] heißen. Vereinfache diese Gleichung und du bekommst eine Ungleichung für [mm] $\beta$ [/mm] und damit automatisch deine Integrationsgrenzen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
sry aber meinte auch r ^2 aber sry irgendwie bekomm ich das mit dem umstellen nicht so einfach hin!
ich hab mir jetzt den Quader überlegt: B = (0,R) x [mm] (0,2\pi) [/mm] x [mm] (0,\pi/2)
[/mm]
das letzte [mm] \pi/2 [/mm] kommt ja dadurch zustande, dass z [mm] \le [/mm] 0 sein muss
stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
> sry aber meinte auch r ^2 aber sry irgendwie bekomm ich das
> mit dem umstellen nicht so einfach hin!
Was hast du gerechent, was geht nicht?
> ich hab mir jetzt den Quader überlegt: B = (0,R) x
> [mm](0,2\pi)[/mm] x [mm](0,\pi/2)[/mm]
> das letzte [mm]\pi/2[/mm] kommt ja dadurch zustande, dass z [mm]\le[/mm] 0
> sein muss
> stimmt das so?
Nein.
Viele Grüße
Rainer
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ich krieg das nicht hin die intgrenzen zu erkennen bzw wie du meintest diese ungleichung so umzustellen dass ich es sehe:
[mm] r^2\cdot{}cos(\alpha)^2\cdot{}sin(\beta)^2 [/mm] + [mm] r^2\cdot{}sin(\alpha)^2\cdot{}sin(\beta)^2 \le r^2\cdot{}cos(\beta)^2
[/mm]
ich weiß nicht wie genau ich das umstellen soll.. hab schon ziemlich viel probiert...
hab erst das [mm] r^2 [/mm] weggekürzt aber weiter weiß ich nicht:
[mm] cos(\alpha)^2*sin(\beta) [/mm] + [mm] sin(\alpha)^2*sin(\beta)^2 \le cos(\beta)^2 [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich krieg das nicht hin die intgrenzen zu erkennen bzw wie
> du meintest diese ungleichung so umzustellen dass ich es
> sehe:
> [mm]r^2\cdot{}cos(\alpha)^2\cdot{}sin(\beta)^2[/mm] +
> [mm]r^2\cdot{}sin(\alpha)^2\cdot{}sin(\beta)^2 \le r^2\cdot{}cos(\beta)^2[/mm]
>
> ich weiß nicht wie genau ich das umstellen soll.. hab
> schon ziemlich viel probiert...
> hab erst das [mm]r^2[/mm] weggekürzt aber weiter weiß ich nicht:
> [mm]cos(\alpha)^2*sin(\beta)[/mm] + [mm]sin(\alpha)^2*sin(\beta)^2 \le cos(\beta)^2[/mm]
Klammere links [mm] $\sin^2\beta$ [/mm] aus! Was ist [mm] $\sin^2\alpha [/mm] + [mm] \cos^2\alpha$ [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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oh... ja stimmt...
--> [mm] sin(\beta) \le cos(\beta)
[/mm]
udn nun? das ist ja eigentlich für [mm] -3/4\pi [/mm] bis [mm] 1/4\pi [/mm] gegeben.
also muss ich über [mm] \beta [/mm] so integrieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> oh... ja stimmt...
> --> [mm]sin(\beta) \le cos(\beta)[/mm]
Zunächst nur [mm] $\sin\beta \le |cos\beta|[/mm]. [/mm] Erst mit der Bedingung [mm] $z\ge [/mm] 0$ darfst du den Betrag weglassen.
>
> udn nun? das ist ja eigentlich für [mm]-3/4\pi[/mm] bis [mm]1/4\pi[/mm]
Nein, denn [mm] $0\le\beta\le \pi$ [/mm] für die Kugelkoordinaten.
> gegeben.
> also muss ich über [mm]\beta[/mm] so integrieren?
Nicht ganz, wegen [mm] $z\ge [/mm] 0$ ist [mm] $0\le \beta \le \pi/2$, [/mm] aus dieser Bedingung folgt [mm] $|\tan \beta| \le [/mm] 1$, zusammen [mm] $0\le\beta\le \pi/4$.
[/mm]
Damit hast du auch sofort, wie deine Menge aussieht: eine Halbkugel, bei der die Kalotte oberhalb von [mm] $\beta=\pi/4$ [/mm] weggeschnitten wurde.
Viele Grüße
Rainer
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okay.... verstehe jetzt solangsam :)
danke schonmal für deine Mühe!!!
also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, handelt es sich hier anschaulich um die obere Halbkugel!
--> Das Volumen wird also 2/3 [mm] \pi R^3 [/mm] sein!
und Integriert wird:
[mm] \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4} r^2\cdot{}sin(\beta) d(r,\alpha,\beta)
[/mm]
hoffe das ist jetzt alle so richtig! danke für deine Mühe!!!!!
wäre aber nochmal nett, wenn du das jetzt noch alles bestätigen kannst :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Sa 21.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ne Halbkugel ist nur der erste Teil, du hast doch ausserdem noch [mm] x^2+y^2
dann siehst du,dass du noch nen Körper hast. und dann sind deine Grenzen falsch.
Es ist zwar Winter, aber stell dir ein Eis vom Italiener vor!
Gruss leduart
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ja okay.. du meinst wohl einen Kegel :)
da z [mm] \le [/mm] 0 ist; nehme ich an, dass es ein kegel mit der Spitze nach oben und der Kreisfläche unten! oder?
aber da du ja von Eis sprichst, denke ich das gesamte wird eine obere Halbkugel mit Kegel unten dran sein (Spitze) zeigt nach unten.
aber das passt ja nicht zu meiner oberen Annahme...
aber ehrlich gesagt versteh ich jetzt noch weniger :)
sry wenn ich mich so dumm anstelle, aber ich verstehs leider nicht....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Sa 21.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum zeichnest du nicht mal!
im ersten Post stand noch [mm] z\ge [/mm] 0 dann solltest du die Spitze finden. was ist denn x,y mitt [mm] x^2+y^2=0?
[/mm]
2. der Kegel liegt in der Halbkugel.
aber wenn du nicht endlich wenigstens ne Schnittzeichnung der Situation in der x=0 oder y=0 Ebene machst, rätselst du noch ewig rum. du hast doch beide Bedingungen auf einmal: also z. Bsp [mm] z\le [/mm] R wegen der ersten, [mm] x^2+y^2<1/4 [/mm] bei z=1/2 d.h. nicht auf der Kugel!
Mein Eismensch drückt die Kugeln weit in die Tüte, da guckt kein Halbkugel oben raus! aber ich hab auch nur eine Kugel!
Gruss leduart
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ja okay... hab mir das jetzt mal gezeichnet und kann mir das jetzt zumindestens vorstellen! das ist also eine obere Halbkugel und in der Halbkugel steckt jetzt ein Kegel, dessen Spitze im 0-Punkt sitzt und nach oben geöffnet ist!
Jetzt will ich ja das Volumen berechnen, was durch beide Bedingungen abgedeckt ist. und das ist ja jetzt gerade der Kegel, der noch in der Kugel ist. richtig?
gut dann hab ich das jetzt schonmal... so jetzt muss ich noch die integrationsgrenzen finden. anschaulich würd ich sagen, dass ich
r von 0 bis R
[mm] \alpha [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] weil es sich ja noch rund um die z-achse drehen soll
laufen lasse
so aber jetzt weiß ich bei dem Winkel [mm] \beta [/mm] nicht weiter. weil eigentlich würd ich jetzt die Kugelkoordinaten in die Bedingung 2 einsetzen und dann würd man ja zu dem Winkel wie oben kommen. aber das ist ja falsch wie du mir oben schon gesagt hast, aber wie krieg ich jetzt diesen Winkel bzw die Int-Grenzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Sa 21.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist der Kegel, soweit er in der Kugel sitzt und das Stück Kugel, das über die Schnittstelle rausragt, denn das erfüllt ja auch beide Bedingungen. Also musst du die erstmal schneiden!
Und dann deine Zeichnung ansehen und da alles eintragen, was du siehst.
Zeichnung sollte immer das erste sein!
gruss leduart
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ja richtig... so meinte ich das mit dem schnitt... also doch ein Eis wie du am Anfang meintest :) okay....
also wenn ich mir das jetzt angucke habe ich eigentlich alles bis auf den Winkel [mm] \beta, [/mm] und das ist ja gerade der Winkel zwischen der z-Achse und dem Radius r. hm? den müsste ich ja dann noch von 0 loslaufen lassen bis zu einem bestimmten wert halt und darüber integrieren. und zwar dem Winkel-Wert, den damit auch der Zylinder hat. aber wie komm ich daran? aber wenn ich mir das von oben nochmal ansehe, sieht das doch gar nicht so schlecht aus mit dem [mm] \pi/4 [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 So 22.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ja richtig... so meinte ich das mit dem schnitt... also
> doch ein Eis wie du am Anfang meintest :) okay....
> also wenn ich mir das jetzt angucke habe ich eigentlich
> alles bis auf den Winkel [mm]\beta,[/mm] und das ist ja gerade der
> Winkel zwischen der z-Achse und dem Radius r. hm? den
> müsste ich ja dann noch von 0 loslaufen lassen bis zu
> einem bestimmten wert halt und darüber integrieren. und
> zwar dem Winkel-Wert, den damit auch der Zylinder hat. aber
> wie komm ich daran? aber wenn ich mir das von oben nochmal
> ansehe, sieht das doch gar nicht so schlecht aus mit dem
> [mm]\pi/4[/mm] oder?
Ja, Integration von 0 bis [mm] $\pi/4$ [/mm] ist richtig (das hatten wir auch schon ausgerechent). Wenn du dir eine Zeichnung machst, siehst du doch sofort, dass die Schnittkante den Winkel [mm] $\pi/4$ [/mm] hat.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 So 22.11.2009 | | Autor: | HansPeter |
Danke an euch beide!!!
hab mich bisschen doof angestellt weil meine erste skizze falsch war..
aber jetzt hab ich es.. danke!!
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