Volumenberechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Volumenberechnung abgeschnittener Pyramidenstumpf |
Habe 2 abgeschnittene Pyramidenstümpfe, die an den Grundflächen aneinander hängen. Bekannt sind die Maße Länge a1 und breite b1 der Grund- und Deckfläche (A2) und Länge a2 und Breite b2 der "Bauchfläche" (A1), sowie die Höhe h des Gesamtkörpers (also 2x Pyramidenstumpfhöhe).
Berechnung des Gesamtvolumnes dürfte kein Problem sein, aber ich brauche eine Formel(n) mit der ich von der Standfläche (A2) aus in cm-Schritten bis zur Deckfläche das jeweilige Volumen berechnen kann.
•Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Fr 10.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich verstehe dein Problem nicht, wenn du das Gesamtvolumen mit h berechnen kannst, warum dann nicht das mit 1cm oder 5cm. die jeweiligen flächen ergeben sich aus dem Strahlensatz.
Wenn du den nicht schaffst frag noch mal
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
[mm] V=\bruch{h}{3}(A1+\wurzel{A1*A2}+A2)
[/mm]
(pro Pyramidenstumpf ! also h in Formel ist 1/2 h der Gesmathöhe aus Skizze!!)
wenn ich (z.B. bei einer Gesmthöhe h=170cm) von der Grundfläche aus das Volumen für 1cm bestimmen möchte, fehlen mir die Längen- und Breitenangaben für die zweite Fläche.
Strahlensätze ??? Dafür bin ich glaub schon zu lange aus der Schule raus :(
keine Ahnung !!
|
|
|
| |
|
Hallo!
Hmmm, du sagst, du bist zu lange aus der Schule raus. Dann frag ich mal so: ist das ne Hausaufgabe o.ä., oder brauchst du nur die Formel, weil du... ein Edelsteinmensch bist, und wissen willst, wieviel Volumen so ein Stein hat, nachdem du ihn geschliffen hast?
Zum Strahlensatz:
Ergänze die obere Hälfte deiner Figur mal zu einer vollständigen Pyramide. Dann soll der Abstand der Spitze zur Grundfläche A2 mit [mm] H_2 [/mm] bezeichnet werden, der zur Grundfläche A1 mit [mm] H_1 [/mm] . Dann ist das Verhältnis [mm] \frac{a_2}{H_2} [/mm] gleich dem Verhältnis [mm] \frac{a_1}{H_1} [/mm] , also
[mm] \frac{a_2}{H_2}=\frac{a_1}{H_1}
[/mm]
Denk dran, das sind die Seiten a, , nicht die Flächen A !
Und dann weißt du aus deiner Zeichnung ja, daß [mm] H_2-H_1=\frac{h}{2} [/mm] ist.
Damit kannst du die Höhe der beiden Pyramiden mit A1 und A2 als Grundfläche, und damit deren Volumen berechnen. Für die obere Hälfte deines Körpers brauchst du nur das Differenzvolumen.
|
|
|
| |
|
Es handelt sich leider nicht um einen Edelstein, sondern um einen Tank. Brauche diese Berechnung, um eine Peiltabelle zu erstellen in Excel. Wenn ich die Formeln hinterlegt habe, soll dann - nach Abänderung der mir bekannten Maße - die jeweilige Peiltabelle zum Tank berechnet werden.
Habe deine Erklärung aber leider noch nicht so ganz verstanden.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Es handelt sich leider nicht um einen Edelstein, sondern um
> einen Tank.
Na ja, deswegen heißt Heizöl wahrscheinlich schwarzes Gold. 
> Brauche diese Berechnung, um eine Peiltabelle
> zu erstellen in Excel. Wenn ich die Formeln hinterlegt
> habe, soll dann - nach Abänderung der mir bekannten Maße
> - die jeweilige Peiltabelle zum Tank berechnet werden.
>
> Habe deine Erklärung aber leider noch nicht so ganz
> verstanden.
Ich glaube, dass wir erst einmal ein grundsätzliches Problem klären müssen. Sind das gesichert Pyramidenstümpfe, also laufen die schrägen Seitenkanten garantiert in zwei Spitzen S zusammen, oder sind die Differenzen zwischen [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] bzw. [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] beliebig? Für letzteren Fall gilt nämlich die Volumensformel für den Pyramidenstumpf nicht.
Dann müsste man entweder mit einem mehrdimensionalen Integral ansetzen oder aber den Körper geschickt aufteilen (darauf wird es dann in deinem Fall hinauslaufen).
Aber kläre das mit den Maßen der Seitenkanten einmal, damit wir dir nicht irgendwelche falschen Lösungsansätze liefern.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Aufgrund der Bauform können wir den Körper ruhig als abgeschnittenen Pyramidenstumpf betrachten. Es geht mir nicht darum eine verbindliche und auf den Milliliter genaue Volumenberechnung abzuliefern. Für das, was ich versuche wären geringe Abweichung vernachlässigbar.
Für die Aufgabenstellung gehen wir also von den abgeschnittenen Pyramidenstümpfen aus.
bis hierhin schon mal vielen Dank an alle - bis jetzt - beteiligten 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Aufgrund der Bauform können wir den Körper ruhig als
> abgeschnittenen Pyramidenstumpf betrachten. Es geht mir
> nicht darum eine verbindliche und auf den Milliliter genaue
> Volumenberechnung abzuliefern. Für das, was ich versuche
> wären geringe Abweichung vernachlässigbar.
Da ich letztes Jahr beruflich mit ähnlich gelagerten Problemen zu tun hatte darf ich dir versichern: die Abweichungen können erheblich sein, wenn man diese Vereinfachung vornimmt.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo!
Naja, nachdem wir nun geklärt haben, daß man sich den Tank wirklich also aus zwei Pyramidenstümpfen zusammengesetzt vorstellen kann, sollten wir doch nicht noch nachfragen, ob das wirklich wirklich so ist.
Also, im Prinzip gilt die allgemeine Formel von oben: [mm] V=\frac{h}{3}(A_1+\sqrt{A_1*A_2}+A_2) [/mm] .
Zur Nomenklatur möchte ich erstmal folgendes einführen, das ist was übersichtlicher
Konstanten:
[mm] A_U [/mm] - Fläche der Standfläche
[mm] A_M [/mm] - Fläche in der Mitte
[mm] A_O [/mm] - Fläche oben, anscheinend gleich [mm] A_U
[/mm]
$H_$ - Gesamthöhe des Tanks
Variablen:
$h_$ - Höhe des Flüssigkeitsspiegels
$A(h)_$ - Fläche der Flüssigkeitsoberfläche
Nun muß man das Problem zerlegen, in den Fall, daß die Flüssigkeit nur im unteren Teil, oder auch schon im oberen Teil des Behälters steht. Fangen wir unten an:
Die Fläche der Flüssigkeitsoberfläche muß so aussehen:
[mm] A(h)=C*h^2+D
[/mm]
mit den Konstanten C und D. Das h steht quadratisch drin, denn (vereinfacht gesprochen): eine doppelt so hohe Pyramide hat doppelt so breite Seiten an der Grundfläche. Die Grundfläche ist daher vier mal so groß.
Jetzt die Konstanten: Ist der Tank leer (h=0), sollte die Flüssigkeitsoberflöche der unteren Fläche des Tanks entsprechen:
[mm] A(0)=C*h^2+D=A_U
[/mm]
[mm] C*0^2+D=A_U
[/mm]
also
[mm] D=A_U
[/mm]
Ist der Tank halb voll (bis zur Mitte, h=H/2), sollte die Fl-Fläche [mm] A_M [/mm] sein:
[mm] A(H/2)=C*h^2+A_U=A_M
[/mm]
[mm] C=\frac{A_M-A_U}{(H/2)^2}= \frac{4*(A_M-A_U)}{H^2}
[/mm]
Und damit als Ergebnis:
[mm] A(h)=\frac{4*(A_M-A_U)}{H^2}*h^2+A_U
[/mm]
Das mußt du jetzt noch in die Volumenformel einsetzen:
[mm] V=\frac{h}{3}(A_U+\sqrt{A_U*A(h)}+A(h))
[/mm]
Diese Formel gilt aber nur für die untere Hälfte. Ist der Behälter bis zur Mitte gefüllt, ist dieses Volumen
[mm] V=\frac{h}{3}(A_U+\sqrt{A_U*A_M}+A_M)
[/mm]
Für die obere Hälfte gilt ähnliches:
Bei halber Füllung gilt:
[mm] A(H/2)=C*(H/2)^2+D=A_M
[/mm]
und für den vollen Tank:
[mm] A(H)=C*(H)^2+D=A_O
[/mm]
Das ist was komplizierter, die Lösung ist:
[mm] C=\frac{4*(A_O-A_M)}{3H^2}
[/mm]
[mm] D=-\frac{1}{3}A_O+\frac{4}{3}A_M
[/mm]
also zusammen:
[mm] A(h)=\frac{4*(A_O-A_M)}{3H^2}*h^2-\frac{1}{3}A_O+\frac{4}{3}A_M
[/mm]
Das kann man auch wieder in die Formel einsetzen, muß aber beachten, daß man dort nur die Höhe des Pyramidenstumpfes einsetzt. Bei uns ist das jetzt h-H/2
[mm] V=\frac{h-H/2}{3}(A_\red{M}+\sqrt{A_\red{M}*A(h)}+A(h))
[/mm]
muß aber dran denken, daß dies nur das Volumen im oberen Teil angibt. Hinzu kommt das Volumen des vollständig gefüllten unteren Teils [mm] V_U=\frac{H}{6}(A_U+\sqrt{A_U*A_M}+A_M)
[/mm]
Zusammenfassend:
Steht die Flüssigkeit nur in der unteren Hälfte, berechnet sich die Fläche A(h) der Flüssigkeitsoberfläche zu
[mm] A(h)=\frac{4*(A_M-A_U)}{H^2}*h^2+A_U
[/mm]
und man bekommt das Volumen, indem man das in
[mm] V=\frac{h}{3}(A_U+\sqrt{A_U*A(h)}+A(h))
[/mm]
einsetzt.
Steht die Flüssigkeit auch in der oberen Hälfte, berechnet man auch hier die Oberfläche der Flüssigkeit
[mm] A(h)=\frac{4*(A_O-A_M)}{3H^2}*h^2-\frac{1}{3}A_O+\frac{4}{3}A_M
[/mm]
und setzt das in
[mm] V=\frac{h-H/2}{3}(A_M+\sqrt{A_M*A(h)}+A(h))
[/mm]
ein, addiert aber zusätzlich [mm] V_U=\frac{H}{6}(A_U+\sqrt{A_U*A_M}+A_M) [/mm] hinzu.
EDIT: Da war noch ein Bug in den Volumenformeln.
Eine weitere Anmerkung: ich habe bisher ohne Einheiten gerechnet. Hier gilt: Ist die Höhe in Metern, sind die Flächen in [mm] m^2 [/mm] und das Volumen in [mm] m^3. [/mm] Du kannst auch in cm rechnen, dann hast du cm² als Flächeneinheit und cm³ (also Milliliter) als Volumeneinheit.
Ich habs mal geplottet, und hab einen Tank mit H=2, [mm] A_U=A_O=4 [/mm] und [mm] A_M=6 [/mm] angenommen. Wegen der beiden Fälle gilt: unterhalb von 1m Füllstand gilt die rote Funktion, darüber die grüne.
Die Flüssigkeitsoberfläche:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Daß die Formeln richtig sind, siehst du daran, dass die Flüssigkeitsoberfläche für 0m und 2m eben 4m² ist, und bei halbem Füllstand 6m.
Für das Volumen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:38 Mo 13.01.2014 | | Autor: | BeckerFrank |
zuerst mal herzlichen Dank:
mit der unteren hälfte des Tanks funktioniert alles Prima !!
Bei der oberen Hälfte habe ich leider noch Probleme. Eventuell liegt es aber an mir, da ich die Formel in der Excel-Tabelle ja anders schreiben muss, wie hier angegeben. (Alles in einer Reihe, mit Klammersetzung). Bei der Flächenberechnung A(h) steht aber immer ein negativer Wert.
Muss mal morgen noch weiter versuchen, oder doch noch mal auf Hilfe hoffen
Gruß BeckerFrank
|
|
|
| |
|
Habe es geschafft.
Vielen Dank an Event_Horizon, hätte das niemals alleine gelöst.
|
|
|
|
