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Volumen singulärer Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 So 13.01.2013
Autor: Unknown-Person

Ich möchte das Volumen eines unendlich dünnen, unendlich langen Drahtes berechnen. Zur Vereinfachung lege ich den Draht auf die z-Achse (damit nachhergehende Rechnungen einfacher fallen, die hier aber nicht diskutiert werden müssen/sollen).
Also das Volumen eines Körpers:

[mm] V=\integral_{V}{f(r,\phi,z)dV}=\integral \integral \integral{f(r,\phi,z)rdzdrd\phi} [/mm]

Meinen Draht in Zylinderkoordinaten kann ich folgendermaßen ausdrücken:

[mm] f(r)=\delta(r) [/mm]

Dies (und die Grenzen) kann ich in obige Gleichung einsetzen:


[mm] V &=& \limes_{R\rightarrow 0} \limes_{Z\rightarrow\infty}\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{R} \integral_{-Z}^{Z}\delta(r)rdzdrd\phi} \\ &=& \limes_{R\rightarrow 0}\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{R}\delta(r)r[\infty+\infty]drd\phi} [/mm]

Was mache ich falsch? Danke für Hilfe!

        
Bezug
Volumen singulärer Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 So 13.01.2013
Autor: leduart

Hallo
das integrieren der Deltafunktion verschleiert nur, dass du
[mm] \limes_{z\rightarrow\infty} \limes_{r\rightarrow 0}\pi*r^2*z [/mm] berechnen willst .
[mm] \integral{ \delta(r)*r dr} [/mm] =1 unabhaengig von den Grenzen.
Wenn du dir dagegen vorstellst, dass du eine [mm] m^3 [/mm] Stahl immer duenner walzt bleibt es 1 [mm] m^3 [/mm] egal wie duenn du ihn walzt. wenn dumit [mm] 100m^3 [/mm] anfaengst bleiben es [mm] 100m^3 [/mm] fuer z gegen [mm] \infty. [/mm] daraus siehst du, dass daskeine wohldefinierte Aufgabe ist.
Zusatz: du kannst ja ausserdem ein f(z) dazu fuegen,was die dicke beschreibt und gegen unendlich schnell genug abfaellt.
auch dannerhaltst du ein endliches integral und dein Draht wird beliebig duenn.

Gruss leduart

Bezug
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