Volumen eines Paraboliden < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 So 10.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Sei K der Bereich der von dem Paraboloid [mm] z=x^2+y^2 [/mm] und der Ebene z=2 begrenzt wird. Berechne das Volumen vom K. |
Hallo,
hier habe ich doch eine Parabel und es gilt [mm] 2=x^2+y^2.
[/mm]
Wenn ich doch hier jetzt nach x und y umstelle erhalte ich
Die Parabel dürfte doch um die z-Achse rotieren...
[mm] x=\sqrt(2-y^2) [/mm] und [mm] y=\sqrt(2-x^2). [/mm] Dies sind doch eigentlich schon meine Grenzen für das Integral oder?
Ich weiß jedoch nicht so recht, wie ich das Integral aufstellen soll bzw. welche Grenzen es besitzt.
Bitte um Hilfe!
Danke und Grüße
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Du musst dir erst mal Klarheit darüber verschaffen, wie das Gebilde überhaupt aussieht.
Betrachte [mm] z=x^2+y^2.
[/mm]
Die x-y-Ebene bezeichne den Fußboden, z die Höhe über demselben.
Immer dann, wenn [mm] x^2+y^2 [/mm] denselben Wert gibt, befindest du dich in derselben Höhe.
Wenn [mm] x^2+y^2=konst. [/mm] ist, befinden wir uns auf einem Kreis auf dem Fußboden um den Ursprung. Daher:
Zieht man Kreise mit dem Radius r auf dem Fußboden um den Ursprung, so hat der Wert [mm] z=r^2=x^2+y^2 [/mm] denselben Wert [mm] r^2.
[/mm]
Über der x-Achse (y=0) beträgt jeweils [mm] z=x^2, [/mm] mit anderen Worten:
Der Paraboloid entsteht aus dem Graphen [mm] z=x^2, [/mm] den man um die z-Achse rotieren lässt.
Nun musst du nur noch dessen Rotationsvolumen bis zur Höhe z=2 bzw. [mm] x=\wurzel{2} [/mm] bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 So 10.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
h=Höhe
also muss ich V= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{ \integral_{0}^{h}{\integral_{0}^{\wurzel(z)}{r dr}dz}d\Phi} [/mm] lösen?
Gruß
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Statt rdr muss es [mm] \bruch{1}{2}rdr [/mm] heißen, das Ergebnis ist dann [mm] Volumen=2\pi. [/mm] Ansonsten ist es richtig.
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