Volumen einer Parabelfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Mi 18.11.2009 | | Autor: | pavelle |
Hallo Leute,
ich habe schon lange nicht mehr mit Integralen gearbeitet, darum brauche ich etwas Hilfe.
Ich habe eine Funktion: f(x)=a*x²
zu bestimmen ist das Volumen im Intervall 0 bis L
Die allgemeine Formel für Rotationen um die x Achse lautet:
[mm] \pi *\int_{0}^{L}~[f(x)]^2~dx [/mm]
[mm] \pi *\int_{0}^{L}~a^2*x^4~dx [/mm] = [mm] \pi*a^2 *\int_{0}^{L}~x^4~dx [/mm] = [mm] \pi*a^2 *\frac{1}{5} *L^5 [/mm]
Ist das soweit richtig? Ich habe da so meine Bedenken, da die Volumenformel für Rotationsparaboloids wie folgt lautet:
[mm] V=\frac{1}{2}*\pi*r^2*L
[/mm]
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leute,
> ich habe schon lange nicht mehr mit Integralen gearbeitet,
> darum brauche ich etwas Hilfe.
>
> Ich habe eine Funktion: f(x)=a*x²
>
> zu bestimmen ist das Volumen im Intervall 0 bis L
>
> Die allgemeine Formel für Rotationen um die x Achse
> lautet:
>
> [mm]\pi *\int_{0}^{L}~[f(x)]^2~dx[/mm]
>
> [mm]\pi *\int_{0}^{L}~a^2*x^4~dx[/mm] = [mm]\pi*a^2 *\int_{0}^{L}~x^4~dx[/mm]
> = [mm]\pi*a^2 *\frac{1}{5} *L^5[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Ja, alles richtig !
> Ich habe da so meine Bedenken, da
> die Volumenformel für Rotationsparaboloids wie folgt
> lautet:
> [mm]V=\frac{1}{2}*\pi*r^2*L[/mm]
Mal Dir mal ein Bild, dann siehst Du: wenn der Graph von f um die x-Achse rotiert, ist der Rotationskörper kein Rotationsparaboloid.
Rotiert der Graph von f dagegen um die y-Achse so erhälst ein Rotationsparaboloid.
FRED
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>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mi 18.11.2009 | | Autor: | pavelle |
Hi Fred,
du hat recht, nur wenn ich es mit dy integriere bin ich weit aus mehr verunsichert vom ergebnisg. könntest du mir ne hilfestellung geben?
EDIT: kann es sein das ich die umkehrfunktions g(y) integrieren muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Bei Rotation um die y-Achse der Fläche, welche durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], der x-Achse und den beiden Geraden x = a und x = b begrenzt wird, gilt die Formel:
$V = 2 [mm] \pi \cdot \int_a^b [/mm] (x [mm] \cdot [/mm] f(x)) [mm] \mathrm{d}x [/mm] $
FRED
Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationskörper
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Mi 18.11.2009 | | Autor: | pavelle |
Hi Fred,
ich habe die Lösung! War auch schon auf Wiki, jedoch hat es erst jetzt "klick" gemacht.
Ich habe in der Volumenformel die Umkehrfunktion mit dy integriert und es passt!
Danke
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