Volumen einer Kugel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 So 06.12.2009 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | | Welchen Bruchteil des Volumens einer Kugel kann ein eingeschriebener Zylinder höchstens ausmachen? |
Mein Ansatz:
Hauptbedingung :
Vkugel = 4/3 * [mm] r^3 [/mm] * pi
Nebenbedingung :
Vz = [mm] pi*r^2*h
[/mm]
ich weiss nicht wie ich diese miteinander verknüpfen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 So 06.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Welchen Bruchteil des Volumens einer Kugel kann ein
> eingeschriebener Zylinder höchstens ausmachen?
> Mein Ansatz:
>
> Hauptbedingung :
> Vkugel = 4/3 * [mm]r^3[/mm] * pi
>
> Nebenbedingung :
> Vz = [mm]pi*r^2*h[/mm]
>
> ich weiss nicht wie ich diese miteinander verknüpfen
> kann.
>
Mit dem Satz des Pythagoras
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es gilt: [mm] h^{2}+r^{2}=R^{2}
[/mm]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 So 06.12.2009 | | Autor: | lisa11 |
somit habe ich für h:= [mm] \wurzel{R^2-r^2}
[/mm]
dann bekomme ich für den Zylinder das Volumen
[mm] pi*r^2*\wurzel{R^2-r^2}
[/mm]
dann setze ich beide Volumen gleich mit:
[mm] 4/3*pi*r^2 [/mm] = [mm] pi*r^2*\wurzel{R^2-r^2}
[/mm]
somit bekomme ich dann 16/9 = [mm] R^2-r^2
[/mm]
kann dies stimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 So 06.12.2009 | | Autor: | statler |
Hallo!
> somit bekomme ich dann 16/9 = [mm]R^2-r^2[/mm]
>
> kann dies stimmen?
Gefragt war doch nach einem Extremwert, also kommt da irgendwie die Ableitung ins Geschäft. Für den Zylinder hängen r und h über den Pythagoras zusammen, das hast du auch benutzt und h aus der Volumenformel eliminiert.
Jeztz geht es um die Frage: Wann wird dieses Volumen bei festem R möglichst groß, und welchen Anteil des Kugelvolumens nimmt es dann ein? Oder auch andersrum: Wie ist jetzt der Anteil des Zylindervolumens am Kugelvolumen (VZ/VK) und wann ist dieser Anteil möglichst groß?
Offenbar ist der Anteil für r = 0 und r = R jeweils 0, das ist nicht überraschend. Dazwischen sollte ein Maximum liegen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 So 06.12.2009 | | Autor: | lisa11 |
ich habe Vz = [mm] pi*r^2*\wurzel{R^2-r^2}
[/mm]
muss ich dies ableiten und Null setzen?
dann die 2. Ableitung machen und schauen ob es ein Min. un Max. hat?
dann die Ableitung in das Kugelvolumen einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 So 06.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Aufgabe wie oben
> ich habe Vz = [mm]pi*r^2*\wurzel{R^2-r^2}[/mm]
>
> muss ich dies ableiten und Null setzen?
> dann die 2. Ableitung machen und schauen ob es ein Min. un
> Max. hat?
Yep
>
> dann die Ableitung in das Kugelvolumen einsetzen?
Nicht die Ableitung, nur die Extremstelle (hier die Stelle, die das Maximum liefert)
Ich weiss, du meinst das richtige, gewöhn dir aber an, exakt zu formulieren, das ist im Studium sehe sehr wichtig, da es oft auf ein Wort ankommt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 So 06.12.2009 | | Autor: | lisa11 |
ich mache die 1. Ableitung von Vz' (r) = [mm] 2*pi*r*\wurzel{R^2}-1/2*1/\wurzel{R}
[/mm]
2. Ableitung gibt das Extrema entweder Minimum oder Maximum
V''(z) = [mm] 2*pi*\wurzel{R^2} [/mm] - [mm] 1/2*1/\wurzel{R}
[/mm]
dann Verhältnis bilden von Vk/VZ
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Hallo, wenn du die Nebenbedingung [mm] r^{2}=R^{2}-h^{2} [/mm] in [mm] V_z(h,r)=\pi*r^{2}*h [/mm] einsetzt, so bekommst du
[mm] V_z(h)=\pi*(R^{2}-h^{2})*h=\pi*R^{2}*h-\pi*h^{3} [/mm]
jetzt sind nicht die Klimmzüge bei de Ableitung notwendig
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 06.12.2009 | | Autor: | lisa11 |
darf ich jetzt wenn ich die Ableitung habe
Vk zu Vz ins Verhältnis setzen?
gruss
lisa
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Hallo, noch lange nicht, du hattest
[mm] V_z(h)=\pi*R^{2}*h-\pi*h^{3}
[/mm]
[mm] V_z'(h)=\pi*R^{2}-3*\pi*h^{2}
[/mm]
[mm] 0=\pi*R^{2}-3*\pi*h^{2}
[/mm]
[mm] h=\bruch{R}{\wurzel{3}}
[/mm]
du benötigst jetzt noch den Radius vom Zylinder, beachte auch, Marius hat in seiner Skizze h eingezeichnet, dabei handelt es sich um die HALBE Höhe vom Zylinder, erst dann kannst du das Volumen vom Zylinder berechnen, dann das Verhältnis bilden,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 So 06.12.2009 | | Autor: | lisa11 |
ich setze h = [mm] R/\wurzel{3} [/mm] ein
somit habe ich
[mm] r^2 [/mm] = [mm] R^2 [/mm] - [mm] R^2/\wurzel{3} [/mm] -->
[mm] r^2 [/mm] = 5/6 [mm] *R^2
[/mm]
Vz = [mm] pi*r^2*R/\wurzel{3}-->
[/mm]
Vz = [mm] pi*5/6*R^2*R/\wurzel{3}
[/mm]
dann setze ich das Verhältnis
Vk/Vz
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Hallo
du hast [mm] h^{2}=\bruch{R^{2}}{3}, [/mm] einsetzen in [mm] r^{2}=R^{2}-h^{2} [/mm] ergibt
[mm] r^{2}=R^{2}-\bruch{R^{2}}{3}=\bruch{2}{3}R^{2}
[/mm]
jetzt das Volumen vom Zylinder berechnen, nochmals der Hinweis, Marius hat in seiner Skizze h eingezeichnet, die Höhe vom Zylinder ist dann 2h, jetzt kannst du [mm] V_z [/mm] berechnen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 06.12.2009 | | Autor: | lisa11 |
Vz = [mm] pi*r^2*h [/mm] --->
[mm] r^2 [/mm] = [mm] 2/3*R^2
[/mm]
Vz = pi* [mm] 2/3*R^2 *2R/\wurzel{3}
[/mm]
jetzt Vk/Vz berechnen
Vk/Vz
= [mm] \frac{4/3*pi*r^2}{pi*2/3*R^2*2R/\wurzel{3}}
[/mm]
das heisst ich muss das Kugelvolumen ins Verhältnis zum min. Volumen des Zylinders setzen?
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Hallo, bedenke die Bezeichnung, die Kugel hat den Radius R
[mm] \bruch{V_K}{V_Z}=\bruch{\bruch{4}{3}*\pi*R^{3}}{\pi*\bruch{2}{3}*R^{2}*\bruch{2}{\wurzel{3}}*R}
[/mm]
sieht doch gut aus, jetzt kürzen
[mm] \bruch{V_K}{V_Z}=\wurzel{3}
[/mm]
Steffi
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Produktregel