Volumen des Paraboloids < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Brumm |
| Aufgabe | Berechne das Volumen eines Paraboloids
P = [mm] \{ (x,y,z) \in \IR^3 : x \in [0,h] \mbox{ und } y^2 + z^2 \le \bruch{r^2 x}{h} \}
[/mm]
(r,h > 0) |
Hallo !
Ich weiß, dass die Lösung [mm] $\bruch{1}{2} \pi r^2 [/mm] h$ ist.
Wir hatten zuletzt das Cavalierische Prinzip und den Satz von Fubini. Ich denke also, dass ich mit den beiden weiter kommen müsste, die Frage ist nur wie.
Über Hilfe wäre ich dankbar.
Brumm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Brumm |
Ich habe jetzt versucht über 1 zu integrieren mit Integrationsgrenzen
[mm] $-\sqrt{r^2 + z^2} [/mm] < y < [mm] \sqrt{r^2 + z^2}$, $-\sqrt{r^2 + y^2} [/mm] < z < [mm] \sqrt{r^2 + y^2}$ [/mm] und $ 0 < x < h$
Dies führt allerdings nicht zum gewünschten Ergebnis :(
Wie soll ich die Integralgrenzen sonst setzen?
Brumm
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Betrachte in einem [mm]xz[/mm]-Koordinatensystem die Parabel mit der Gleichung [mm]x = \frac{h}{r^2} z^2[/mm]. Nach [mm]z[/mm] aufgelöst, bekommt man für den oberen Ast:
[mm]z = r \, \sqrt{\frac{x}{h}}[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn nun dieser Ast um die [mm]x[/mm]-Achse rotiert, bekommt man das beschriebene Paraboloid (die [mm]y[/mm]-Achse muß man sich senkrecht zur Bildschirmebene in den Bildschirm hinein gerichtet denken). Denn bei der Stelle [mm]x \in [0,h][/mm] wird aus dem Paraboloid ein Kreis mit dem Radius
[mm]\rho = r \, \sqrt{\frac{x}{h}}[/mm]
ausgeschnitten. Und für alle Punkte dieser Kreisscheibe gilt: [mm]y^2 + z^2 \leq \rho^2[/mm], also [mm]y^2 + z^2 \leq \frac{r^2 x}{h}[/mm].
Du kannst also die aus der Schule bekannte Formel für Rotationskörper verwenden und erhältst für das Volumen
[mm]V = \pi \int_0^h~z^2~\mathrm{d}x[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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