Volumen Integral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Di 29.03.2011 | | Autor: | jaood |
| Aufgabe | Es sei $B$ die nach oben durch $y=x$, nach unten durch $xy=1$ und nach rechts durch $y=2$ eingeschlossene beschränkte Teilmenge des [mm] $\mathbb{R}^2$. [/mm]
Berechnen Sie das Volumen des auf $B$ stehenden Zylinderabschnitts mit der Deckelfläche [mm] $z=y^2/x^2$, [/mm] gegeben durch [mm] $\iint\limits_B [/mm] z dx dy$ |
Hallo,
bin mir unsicher, ob ich das Integral richtig aufgestellt habe. Also ich schildere mal mein Ansatz: Wir haben eine Fläche, die durch y=2, y=1/x und y=x begrenzt wird.
Dachte mir, dass man die Fläche einmal oben und unten durch 2 und 1 begrenzen kann. Links und rechts wird die Fläche durch die Funktionen x und 1/x begrenzt.
Ist der Ansatz richtig:
[mm] $\iint\limits_B [/mm] z dx dy= [mm] \int_1^2\int_{\frac{1}{x}}^x \frac{y^2}{x^2} [/mm] dydx= [mm] \int_1^2 \left| \frac{y^3}{3x^2} \right|_{\frac{1}{x}}^x [/mm] dx= [mm] \int_1^2 \frac{x^3}{3x^2}-\frac{\frac{1}{x}^3}{3x^2} [/mm] dx= [mm] \int_1^2 \frac{x^6-1}{3x^5} [/mm] dx = [mm] \left| \frac{2x^6+1}{12x^4} \right|_1^2= \frac{2 (2^6)+1}{12(2^4)} [/mm] - [mm] \frac{2+1}{12}= \frac{129}{192} [/mm] - [mm] \frac{3}{12}= \frac{27}{64} [/mm] $
Es fehlt die Höhe z oder? Bin ein wenig verwirrt, dass in der Aufgabe nur [mm] \iint [/mm] steht und nicht [mm] \iiint. [/mm]
Ist mein Ansatz richtig oder müsste er viel eher lautet:
[mm] $\int_0^{y^2/x^2}\int_1^2\int_{\frac{1}{x}}^x [/mm] z dydxdz$
Schonmal Danke im voraus!
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> Es sei [mm]B[/mm] die nach oben durch [mm]y=x[/mm], nach unten durch [mm]xy=1[/mm] und
> nach rechts durch [mm]y=2[/mm] eingeschlossene beschränkte
> Teilmenge des [mm]\mathbb{R}^2[/mm].
>
> Berechnen Sie das Volumen des auf [mm]B[/mm] stehenden
> Zylinderabschnitts mit der Deckelfläche [mm]z=y^2/x^2[/mm], gegeben
> durch [mm]\iint\limits_B z dx dy[/mm]
> Hallo,
>
> bin mir unsicher, ob ich das Integral richtig aufgestellt
> habe. Also ich schildere mal mein Ansatz: Wir haben eine
> Fläche, die durch y=2, y=1/x und y=x begrenzt wird.
>
> Dachte mir, dass man die Fläche einmal oben und unten
> durch 2 und 1 begrenzen kann. Links und rechts wird die
> Fläche durch die Funktionen x und 1/x begrenzt.
>
> Ist der Ansatz richtig:
> [mm]\iint\limits_B z\ dx\ dy= \int_1^2\int_{\frac{1}{x}}^x \frac{y^2}{x^2} dy\ dx= \int_1^2 \left| \frac{y^3}{3x^2} \right|_{\frac{1}{x}}^x\ dx= \int_1^2 \frac{x^3}{3x^2}-\frac{\frac{1}{x}^3}{3x^2} dx= \int_1^2 \frac{x^6-1}{3x^5} dx = \left| \frac{2x^6+1}{12x^4} \right|_1^2= \frac{2 (2^6)+1}{12(2^4)} - \frac{2+1}{12}= \frac{129}{192} - \frac{3}{12}= \frac{27}{64}[/mm]
Soweit ich sehe, ist das sehr wahrscheinlich die richtige
Lösung. Allerdings müsste es in der Aufgabenstellung
lauten:
"..... nach rechts durch x=2 eingeschlossene ....."
> Es fehlt die Höhe z oder? Bin ein wenig verwirrt, dass in
> der Aufgabe nur [mm]\iint[/mm] steht und nicht [mm]\iiint.[/mm]
> Ist mein Ansatz richtig oder müsste er viel eher lauten:
> [mm]\int_0^{y^2/x^2}\int_1^2\int_{\frac{1}{x}}^x z\ dy\ dx\ dz[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn man das Dreifachintegral nimmt, müsste der
Integrand nicht z sein, sondern 1 !
Hallo jaood,
wir hatten die Aufgabe gerade in einem anderen Thread:
Zylinderabschnitt
Schau auch dort mal nach !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Di 29.03.2011 | | Autor: | jaood |
Vielen Dank und sorry, dass ich ein weiteren Thread zu diesem Thema aufgemacht habe, hatte den Beitrag meiner Kommilitonen nicht gesehen/gefunden.
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