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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Mo 23.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe große Probleme mit der Vollständigkeit der reellen Zahlen.
Also wenn ich das so einigermaßen richtig verstanden habe, dann heißt doch Vollständigkeit im Prinzip, dass eine Menge von Zahlen keine Lücken hat, oder?
Wir haben in der Vorlesung drei verschiedene "Definitionen" für Vollständigkeit behandelt:
1) Intervallschachtelungsprinzip
2) Supremumseigenschaft
3) Cauchyfolgen
Beim Intervallschachtelungsprinzip hatten wir folgenden Satz (vollständigkeitsaxiom):
Zu jeder Intervallschachtelung gibt es eine Zahl $ s [mm] \in [/mm] K $ (K Körper), die in allen Intervallen liegt.
Das kann ich ja irgendwie noch mit meiner Vorstellung, dass es in der Zahlenmenge keine Lücken gibt, in Einklang bringen. Egal, wo ich auf dem Zahlenstrahl bin, und ein Intervall nehme, und in dem Intervall immer kleinere Intervalle bilde, ich hab nie ein leeres Intervall, weil es immer eine Zahl gibt, die drin ist, ich überdecke mit meinem Intervall nie eine Lücke.
Das mit der Supremumseigenschaft versteh ich dann schon nicht mehr.
Da haben wir folgenden Satz:
Jede nach oben (bzw. nach unten) beschränkte nichtleere Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum (Infimum).
Hier sehe ich irgendwie keinen Zusammenhang zur Vollständigkeit der reellen Zahlen ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Zum Schluss die Cauchyfolgen.
Also zum einen hab ich da, dass in einem vollständigen Raum alle Cauchyfolgen konvergieren.
Auch hier sehe ich keinen Zusammenhang zur Vollständigkeit der reellen Zahlen
Dann hab ich in meinem Buch stehen, dass das Intervallschachtelunsprinzip, der Satz von Bolzano-Weierstraß und das Cauchysche Konvergenzkriterium logisch gleichwertig sind und jede dieser Aussagen eine Formulierung der Vollständigkeit ist. Und dann steht da noch, dass man in einem Axiomensystem für [mm] \IR [/mm] als Vollständigkeitsaxiom fordern kann, dass alle Cauchyfolgen (in [mm] \IR [/mm] ?) konvergieren.
Auch das verstehe ich nicht. Warum ist das Cauchysche Konvergenzkriterium eine Formulierung für Vollständigkeit? Es sagt mir doch nur, wann eine Folge konvergiert.
Was genau sind denn eigentlich die Formulierungen der Vollständigkeit? Sind es das Intervallschachtelunsprinzip und das Cauchysche Konvergenzkriterium oder sind es die beiden Vollständigkeitsaxiome?
Und was hat es mit diesem Axiomensystem für [mm] \IR [/mm] auf sich? Wieso kann man die Konvergenz aller Cauchyfolgen als Vollständigkeitsaxiom nehmen und wie kommt man darauf?
Ich hoffe ihr könnt mir ein bisschen weiterhelfen.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Mo 23.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe große Probleme mit der Vollständigkeit der
> reellen Zahlen.
>
> Also wenn ich das so einigermaßen richtig verstanden habe,
> dann heißt doch Vollständigkeit im Prinzip, dass eine
> Menge von Zahlen keine Lücken hat, oder?
grob kann man das so sagen. Aber das ist wirklich sehr grob. Vielleicht sollte man sagen, dass es keine "ausfüllbaren Lücken" gibt. Denn wie Du sicherlich weißt, ist [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR\,.$ [/mm] Insbesondere gibt es zu jeder rationalen Zahl $p$ und zu jeder noch so kleinen echt positiven (rationalen) Zahl [mm] $\epsilon$ [/mm] eine rationale Zahl [mm] $q\,,$ [/mm] deren Abstand zu [mm] $p\,$ [/mm] echt kleiner als [mm] $\epsilon\,,$ [/mm] sprich $|p-q| < [mm] \epsilon\,,$ [/mm] ist. Dieses Prinzip wäre für mich quasi die "Lückenlosigkeit" von [mm] $\IQ\,,$ [/mm] jedenfalls bzgl. [mm] $\IQ$ [/mm] selbst. Anschaulich würde ich daher dann nun sagen, dass [mm] $\IQ$ [/mm] schon vollständig wäre, wenn alle Zahlen, die man zwischen zwei rationalen finden kann, auch wieder rational wären (das ist aber (leider) nicht der Fall). Und dieser Fakt ist bei den rationalen Zahlen nicht vorhanden (siehe auch die Konstruktion der [mm] $\sqrt{2} \notin \IQ\,,$ [/mm] d.h. zeichne "über die Strecke $[0,1]$ ein Quadrat mit Länge [mm] $1\,,$ [/mm] zeichne dessen Diagonale und zeichne einen Kreis, dessen Radius gerade die Diagonallänge hat mit dem Zirkel um den Nullpunkt auf der Zahlengerade und wähle den "Schnittpunkt $> 0$"").
> Wir haben in der Vorlesung drei verschiedene "Definitionen"
> für Vollständigkeit behandelt:
>
> 1) Intervallschachtelungsprinzip
> 2) Supremumseigenschaft
> 3) Cauchyfolgen
>
> Beim Intervallschachtelungsprinzip hatten wir folgenden
> Satz (vollständigkeitsaxiom):
>
> Zu jeder Intervallschachtelung gibt es eine Zahl [mm]s \in K[/mm] (K
> Körper), die in allen Intervallen liegt.
>
> Das kann ich ja irgendwie noch mit meiner Vorstellung, dass
> es in der Zahlenmenge keine Lücken gibt, in Einklang
> bringen. Egal, wo ich auf dem Zahlenstrahl bin, und ein
> Intervall nehme, und in dem Intervall immer kleinere
> Intervalle bilde, ich hab nie ein leeres Intervall, weil es
> immer eine Zahl gibt, die drin ist, ich überdecke mit
> meinem Intervall nie eine Lücke.
Wie gesagt: Auch zwischen zwei rationalen Zahlen findest Du stets eine weitere. Die von Dir angesprochene Eigenschaft bedeutet hier eigentlich was anderes, denn Du musst beachten, dass sich die Intervalllänge immer verkleiner (die Differenz der Intervallgrenzen geht betragsmäßig gegen [mm] $0\,$). [/mm] Und alleine aus besonders mithilfe dieser "Zusammenzieheigenschaft der Intervallgrenzen" folgert man die Existenz einer rellen Zahl, die dann durch das Intervallschachtelungsprinzip eindeutig definiert ist. Einfach wäre das ganze, wenn nur eine Intervallgrenze sich an eine andere (beliebig nahe) nähert. Aber die "Intervalle können (ein wenig) hin und herspringen".
> Das mit der Supremumseigenschaft versteh ich dann schon
> nicht mehr.
> Da haben wir folgenden Satz:
>
> Jede nach oben (bzw. nach unten) beschränkte nichtleere
> Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum (Infimum).
Dabei musst Du vor allem beachten, dass das Supremum auch immer in der betrachteten Obermenge liegen muss. Z.B. kannst Du doch in [mm] $\IQ$ [/mm] definieren:
[mm] $$M:=\{x \in \IQ: x^2 \le 2\}\,.$$
[/mm]
Diese Menge hat in [mm] $\IQ$ [/mm] kein Supremum. Denn:
Es ist [mm] $\IQ \subset \IR\,,$ [/mm] und weil man die Anordnung (also diese größer-kleiner(gleich)-Vergleiche) von [mm] $\IR$ [/mm] als eine Erweiterung der Anordnung von [mm] $\IQ$ [/mm] auffassen kann, müßte das Supremum von [mm] $M\,$ [/mm] bzgl. [mm] $\IR$ [/mm] mit dem Supremum von [mm] $M\,$ [/mm] bzgl. [mm] $\IQ$ [/mm] identisch sein. Es ist aber
[mm] $$\text{sup}^{\IR}M=\sqrt{2}\,,$$
[/mm]
wobei das "hoch [mm] $\IR$" [/mm] nur bedeuten soll, dass ich hier [mm] $M\,$ [/mm] bzgl. der Obermenge [mm] $\IR$ [/mm] meine (analog ist dann klar, was ich meine, wenn da "hoch [mm] $\IQ$" [/mm] steht). Dann müßte also nach dem eben gesagten [mm] $\sqrt{2}=\text{sup}^\IQ [/mm] M$ gelten, und nach Definition des Supremums [mm] $\text{sup}^T [/mm] N$ einer Menge $N [mm] \subseteq [/mm] T$ ist [mm] $\text{sup}^T [/mm] N [mm] \in [/mm] T$ (vgl. ![[]](/images/popup.gif) Definition 3.14) ,d.h. es müßte [mm] $\sqrt{2} \in \IQ$ [/mm] sein, was bekanntlich nicht sein kann. (Eine etwas anders geartete Begründung, die nicht wie ich die Einbettung von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] benutzt, findest Du auch in Bsp. 3.16.3.)
> Hier sehe ich irgendwie keinen Zusammenhang zur
> Vollständigkeit der reellen Zahlen
>
> Zum Schluss die Cauchyfolgen.
>
> Also zum einen hab ich da, dass in einem vollständigen
> Raum alle Cauchyfolgen konvergieren.
>
> Auch hier sehe ich keinen Zusammenhang zur Vollständigkeit
> der reellen Zahlen
Alle diese Definitionen sind (bzgl. der reellen Zahlen) äquivalent. Da man die letztgenannte später auf metrische Räume erweitert, würde ich an Deiner Stelle diese als Definition benutzen. Zumal Du, wenn Du diese verstanden hast, die anderen beiden dann im Laufe der Zeit auch verstehen wirst.
Grob gesagt kann man sich das auch so behalten:
Wir betrachten eine Folge, die folgende Eigenschaft hat:
Wenn wir uns irgendeine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] vorgeben (diese nehmen wir "beim Durchhüpfen der durch die Folgeglieder definierten "Sprungpunkte"" immer mit), und wenn wir nun "auf den Folgegliederpunkte weit genug nach draußen hüpfen", dann werden wir irgendwann alle folgenden Folgeglieder immer in dieser [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] haben (auch dann noch, wenn wir (bzgl. der Nummer des Punktes) weiter nach vorne hüpfen (d.h. erst recht, wenn wir größere Indizes haben)). Solche Folgen sind Cauchy-Folgen. Und wenn wir solch eine Folge vorgegeben haben, und uns in [mm] $\IR$ [/mm] befinden, dann wissen wir, dass diese Folge genau einen Häufungspunkt (in [mm] $\IR$) [/mm] hat, also gegen diesen konvergiert. (D.h., wir können in [mm] $\IR$ [/mm] einen Punkt sehen, dem wir uns beliebig nahe mithilfe der Folgeglieder annähern können. Und dieser Punkt ist auch ein Punkt unseres Raumes.)
In [mm] $\IQ$ [/mm] können wir dann Pech haben (vgl. etwa Beispiel 5.13.2, das Babylonische Wurzelziehen. (Für [mm] $x=2\,:$ [/mm] Wir hüpfen immer auf rationalen Punkten, aber weil wir nur in [mm] $\IQ$ [/mm] umherschauen können, sehen wir hier keinen Punkt, dem wir mithilfe der Folgeglieder beliebig nahe kommen können. Wenn wir unsere [mm] $\IR$-Brille [/mm] aufsetzen, sehen wir zwar einen in [mm] $\IR$ [/mm] (nämlich [mm] $\sqrt{2}$), [/mm] aber ohne diese Brille sehen wir nur die [mm] $\IQ$-Zahlen, [/mm] also insbesondere sehen wir nicht [mm] $\sqrt{2}$).
[/mm]
Beachte dort: Es gilt dort: Ist $x [mm] \in \IQ$, [/mm] so ist [mm] $a_n \in \IQ$ [/mm] (!!!) für alle [mm] $n\,,$ [/mm] und [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist eine Cauchyfolge in [mm] $\IQ\,.$ [/mm] (Denn weil diese in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert, ist sie als konvergente Folge auch Cauchyfolge in [mm] $\IR$ [/mm] (Bemerkung 8.22). Wegen der Einbettung von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$, [/mm] wobei die Metrik auf [mm] $\IQ \times \IQ$ [/mm] nichts anderes als die Metrik auf [mm] $\IR \times \IR$, [/mm] eingeschränkt auf [mm] $\IQ \times \IQ$, [/mm] ist, konvergiert sie in [mm] $\IR\,,$ [/mm] und im Skript wird gezeigt (was man sich auch leicht überlegen kann), dass diese Folge gegen [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] konvergiert. Für [mm] $x=2\,$ [/mm] konvergiert die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] also gegen [mm] $\sqrt{2}\,,$ [/mm] und würde sie in [mm] $\IQ$ [/mm] konvergieren, so bliebe (Eindeutigkeit des Grenzwertes im metrischen Raum [mm] $\IR$!) [/mm] dann nur noch die Möglichkeit, dass auch [mm] $\sqrt{2} \in \IQ$ [/mm] wäre. Letzteres gilt aber nicht, also kann die Folge in [mm] $\IQ$ [/mm] keinen Grenzwert haben.
> Dann hab ich in meinem Buch stehen, dass das
> Intervallschachtelunsprinzip, der Satz von
> Bolzano-Weierstraß und das Cauchysche Konvergenzkriterium
> logisch gleichwertig sind und jede dieser Aussagen eine
> Formulierung der Vollständigkeit ist.
Dazu solltest Du Dir (z.B. bei Wiki) mal Beweise von Bolzano-Weierstraß angucken. Z.B. siehst Du da sofort, dass man Bolzano-Weierstraß mithilfe des Intervallschachtelungsprinzip beweisen kann. Umgekehrt musst Du Dir dann überlegen, ob oder wie Du mithilfe von Bolzano-Weierstraß das Intervallschachtelungsprinzip beweisen kannst. Etc. pp.
Oder Du suchst mal nach einem Ringschluss
Bolz.Weierstr. [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Intervallsch. [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Cauchy.
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Bolz.Weiertraß
bzw. einem Ringschluss in dieser Art und Anordnung. [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] heißen ja gleichwertig, wenn $A [mm] \gdw B\,,$ [/mm] und bei mehreren Aussagen - hier 3 - kannst Du das aus einem Rinschluß sofort erkennen, weil [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] transitiv ist. (D.h. wenn $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ und $B [mm] \Rightarrow [/mm] C$, dann gilt auch $A [mm] \Rightarrow C\,.$)
[/mm]
> Und dann steht da
> noch, dass man in einem Axiomensystem für [mm]\IR[/mm] als
> Vollständigkeitsaxiom fordern kann, dass alle Cauchyfolgen
> (in [mm]\IR[/mm] ?) konvergieren.
Ja. Und wichtig ist auch: In [mm] $\IR\,.$ [/mm] In [mm] $\IQ$ [/mm] können - wie oben gesagt ("Babylonisches Wurzelziehen") - nicht alle konvergieren, und weil [mm] $\IR$ [/mm] vollständig ist (je nachdem muss man das zeigen, oder aber [mm] $\IR$ [/mm] wird gerade als die Vervollständigung definiert (ein Prinzip, was man z.B. auch später in der Funktionalanalysis vorfindet!)), gibt es auch keine Einbettung von [mm] $\IR$ [/mm] in einen "größeren Körper", der "einen nichtreellen Grenzwert einer reellwertigen Cauchyfolge enthält".
Beachte: Jede reelle Cauchyfolge konvergiert auch in [mm] $\IC\,,$ [/mm] aber der Grenzwert liegt dann immer in [mm] $\IR\,,$ [/mm] nicht in [mm] $\IC \setminus \IR\,.$ [/mm] Eine [mm] $\IQ$-wertige [/mm] Cauchyfolge wird immer in [mm] $\IR$ [/mm] einen Grenzwert haben, aber dieser Grenzwert muss nicht zwangsläufig in [mm] $\IQ$ [/mm] liegen, sondern kann auch in [mm] $\IR \setminus \IQ$ [/mm] liegen.
> Auch das verstehe ich nicht. Warum ist das Cauchysche
> Konvergenzkriterium eine Formulierung für
> Vollständigkeit? Es sagt mir doch nur, wann eine Folge
> konvergiert.
Das Supremumsaxiom bzgl. [mm] $\IR$ [/mm] ist äquivalent dazu, dass jede Cauchyfolge in [mm] $\IR$ [/mm] auch einen Grenzwert in [mm] $\IR$ [/mm] hat.
> Was genau sind denn eigentlich die Formulierungen der
> Vollständigkeit? Sind es das Intervallschachtelunsprinzip
> und das Cauchysche Konvergenzkriterium oder sind es die
> beiden Vollständigkeitsaxiome?
Wenn das alles äquivalent zueinander ist, ist es doch eigentlich egal, was man als Definition benutzt. Wichtig ist aber, welchen Raum man betrachtet. Das Vollständigkeitsaxiom macht in einem allgemeinen metrischen Raum keinen Sinn, ebenso ist dort die Frage, was denn bitteschön da Intervalle sein sollen? Cauchyfolgen kann man dort aber durchaus definieren, und aufgrund dieser Allgemeinheit würde ich die "Cauchyfolgendefinition" als Definition von Vollständigkeit benutzen. Dann aber auch zeigen, dass in [mm] $(\IR,|.|)$ [/mm] dieses gleichwertig mit dem Vollständigkeitsaxiom und dem Intervallschachtelungsprinzip ist. Aber das ist Geschmackssache. Manch einer beginnt mit dem Vollständigkeitsaxiom, weil das eben erst mal speziell ist, und wir [mm] $\IR$ [/mm] zu kennen glauben, und nimmt dann die Cauchyfolgenvollständigkeit - nachdem gezeigt wurde, dass diese äquivalent zu dem V-Axiom ist - als "erweiterte Definition". Oder man beginnt mit Bolzano-Weierstraß oder oder oder. (Z.B. kann man auch noch mit den Dedekindschen Schnitten rumspielen, wenn man mag.)
> Und was hat es mit diesem Axiomensystem für [mm]\IR[/mm] auf sich?
> Wieso kann man die Konvergenz aller Cauchyfolgen als
> Vollständigkeitsaxiom nehmen und wie kommt man darauf?
Eben wegen der Äquivalenz. Im wesentlichen kam man vermutlich eben, wenn man solche Sachen wie das Babylonische Wurzelziehen näher untersucht, auf solche Ideen. Mit Sicherheit kann ich Dir das aber auch nicht sagen, aber die oben genannten Beispiele in obigem Skript waren sicher nicht unbedeutend für diese Entwicklung bzw. Definition von [mm] $\IR\,.$ [/mm] Aber da müssen wir jmd. fragen, der sich da mit der mathematischen Entwicklungs-Geschichte hier besser auskennt. Cauchy war jedenfalls auch ein sehr kreativer Mathematiker, wie mir scheint. Normalerweise entstehen solche Ideen, wenn man etwas "immer und immer wieder sieht und versucht, das ganze irgendwie mathematisch zu beschreiben oder zu definieren". Cauchy scheint sich halt sehr mit Folgen und Konvergenz, Vollständigkeit und vermutlich auch Dichtheit auseinandergesetzt zu haben.
> Ich hoffe ihr könnt mir ein bisschen weiterhelfen.
Ich hoffe, wenigstens ein bisschen. Wenngleich die Anschaulichkeit übers Internet schwer greifbar zu machen ist, und der Begriff der Vollständigkeit zudem auch eher ein wenig abstrakter ist. Aber das ist durchaus normal, dass man erst im Laufe der Zeit ein wirkliches Gefühl bzw. Gespühr dafür bekommt, was da wirklich dahintersteckt, wo das herkommt, und wann und wo man das braucht.
Besten Gruß,
Marcel
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