Vollständiger Gaußscher Algori < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:05 Mo 18.12.2006 | | Autor: | bbki |
| Aufgabe | Es seien A,B zwei beliebige reguläre Matrizen aus R^nxn. Zeigen Sie, dass dann auch die Produktmatrix regulär ist und dass gilt
(AB)^-1 = B^-1*A^-1
|
Sehr geeherte damen und herren,
ich bitte um hilfe bei dieser aufgabe. leider stehe ich hier auf verlorenen posten und habe keine idee, wie ich zu dem beweis kommen könnte.
so, bin schon ein wenig weiter gekommen und poste jetzt mal meinen zwischenstand:
ich kann zeigen, dass die definitionsgleichung für die inverse erfüllt ist, auf grund des assoziativgesetzes, das hier angewendet werden darf, erhalte ich den beweis, dass (ab) invertierbar ist:
(AB)(B^-1A^-1)=A(BB^-1)A^-1=AA^-1=einheitsmatrix
meine frage lautet nun, ist das schon der endgültige beweis oder habe ich noch etwas vergessen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Es seien A,B zwei beliebige reguläre Matrizen aus R^nxn.
> Zeigen Sie, dass dann auch die Produktmatrix regulär ist
> und dass gilt
> (AB)^-1 = B^-1*A^-1
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> ich bitte um hilfe bei dieser aufgabe. leider stehe ich
> hier auf verlorenen posten und habe keine idee, wie ich zu
> dem beweis kommen könnte.
Du hast ihn bereits.
>
> ich kann zeigen, dass die definitionsgleichung für die
> inverse erfüllt ist, auf grund des assoziativgesetzes, das
> hier angewendet werden darf, erhalte ich den beweis, dass
> (ab) invertierbar ist:
> (AB)(B^-1A^-1)=A(BB^-1)A^-1=AA^-1=einheitsmatrix
>
> meine frage lautet nun, ist das schon der endgültige beweis
> oder habe ich noch etwas vergessen?
Wie gesagt, Du hast ihn.
Ich würde ihn nur noch etwas "verschönern":
A,B sind regulär, daher gibt es die Inversen [mm] A^{-1}, B^{-1}.
[/mm]
Die Multiplikation von Matrizen ist assoziativ, daher erhalte ich
>
> [mm] (AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^-1=AA^-1=einheitsmatrix
[/mm]
Also ist AB invertierbar, und es ist [mm] (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
[/mm]
(Dieser Schritt hat für Deinen Korrektor keinerlei Erklärungsbedarf - aber vielleicht für Dich:
wenn Du AB mit [mm] B^{-1}A^{-1} [/mm] multipliziertst, erhältst Du die Einheitsmatrix. Also ist [mm] B^{-1}A^{-1} [/mm] das Inverse zu AB. Das Inverse zu AB in Zeichen aufgeschrieben: [mm] (AB)^{-1})
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
|
