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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 So 07.10.2007 | | Autor: | Haase |
| Aufgabe | Beweise folgende Aussage über n: [mm] m,n\in\IN: x^m*x^n=x^{m+n}
[/mm]
Hinweis über eine induktive Definition: [mm] x^k [/mm] : [mm] x^0=x [/mm] und [mm] x^{k+1}=x^k*x [/mm] |
Hallo Allerseits,
ich habe gerade Probleme beim Lösen einer Induktionsaufgabe. Wäre nett wenn jemand mir helfen kann.
Induktionsanfang: n = 1: [mm] x^m [/mm] * [mm] x^1 [/mm] = x^(m+1) = [mm] x^m [/mm] * [mm] x^1 [/mm] = wahr
Induktionshypothese(P(n+1)): [mm] x^m [/mm] * x^(n+1) = x^(m+n+1)
Induktionsschluss: Jetzt muss ja bestimmt irgendwie den Hinweis benutzten?
Vielen Dank im Voraus,
Gruß Carsten
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Hallo Carsten,
irgendwie kapiere ich den ersten Hinweis nicht, kannst du das nochmal aufschreiben ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ich denke aber, du kannst mit dem 2.Hinweis [mm] $x^{k+1}=x^k\cdot{}x$ [/mm] auskommen
> Beweise folgende Aussage über n: m,n N: [mm]x^m[/mm] * [mm]x^n[/mm] =
> x^(m+n)
> Hinweis über eine induktive Definition: [mm]x^k: x^0[/mm] = x und
> x^(k+1) = [mm]x^k[/mm] * x
> Hallo Allerseits,
>
> ich habe gerade Probleme beim Lösen einer
> Induktionsaufgabe. Wäre nett wenn jemand mir helfen kann.
>
> Induktionsanfang: n = 1: [mm] x^m [/mm] * [mm] x^1 [/mm] = x^(m+1) = [mm] x^m* x^1= [/mm]
> wahr ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") nach dem 2.Hinweis
>
> Induktionshypothese(P(n+1)): [mm]x^m[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
* x^(n+1) = x^(m+n+1)
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> Induktionsschluss: Jetzt muss ja bestimmt irgendwie den
> Hinweis benutzten?
>
> Vielen Dank im Voraus,
> Gruß Carsten
der Induktionsanfang ist ok, der Rest ist sehr "schwammig"
Also du lässt $m$ fest und machst die Induktion über $n$
\underline{Induktionsschritt}: $n\to n+1$
INDUKTIONSVORAUSSETZUNG: Sei $n\in\IN$ und gelte $x^m\cdot{}x^n=x^{m+n}$
Der eigentliche Induktionsbeweis besteht nun darin, zu zeigen, dass unter der Induktionsvor. gefälligst auch $x^m\cdot}x^{n+1}=x^{m+(n+1)}$ ist
Also: $x^m\cdot{}x^{n+1}=x^m\cdot{}\left(x^n\cdot{}x\right)$ nach dem 2.Hinweis
$=\left(\red{x^m\cdot{}x^n}\right)\cdot{}x$ Assoziativgesetz bzgl. \*
$=\red{x^{m+n}}\cdot{}x$ \red{\text{nach Induktionsvoraussetzung}}
$=x^{(m+n)+1}$ nach dem 2.Hinweis
$=x^{m+(n+1)}$ Assoziativgesetz bzgl. +
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Haase |
So einfach? :_)
Oh man, das hatte ich mir wesentlich schwieriger vorgestellt :--)
Danke Dir schachuzipus
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