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| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^3 [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} [/mm] ij |
Also bei dieser Aufgabe, bzw bei allen Aufgaben wo auf beiden Seiten vom Gleichheitszeichen Summen stehen, habe ich keinen schimmer wie ich die zu lösen habe!
Der Induktionsanfang ist ja noch einfach, da man da einfach nur n=1 einsetzen muss und dann auf beiden Seiten 1=1 rausbekommt.
Die Induktionsvoraussetzung bekomm ich auch noch hin (wenn es so ist sein soll, wie ich es aufgeschirben habe)
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} i^3 [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} [/mm] ij
aber beim Induktionsschluss ist bei mir auch schluss. Ich habe einfach keine Idee wie ich die Formel aufstellen muss und wie ich sie aufzulösen habe, um eine wahre aussage zu bekommen.
Also rein aus dem bauch heraus würde ich sagen, dass ich
[mm] \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} [/mm] ij + [mm] \summe_{i=1}^{n+1} i^3 [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} [/mm] ij setzen muss und wenn am Ende 0=0 heraus kommt ist es ja bewiesen. Aber wie rechne ich mit den Summen? Rechne ich nur mit dem letzten Element?
Über Hilfe würde ich mich freuen.
Gruß
komodor1986
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Fr 21.07.2006 | | Autor: | statler |
Hallo komodor und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Beweisen Sie mit vollständiger Induktion
> [mm]\summe_{i=1}^{n} i^3[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}[/mm] ij
> Der Induktionsanfang ist ja noch einfach, da man da
> einfach nur n=1 einsetzen muss und dann auf beiden Seiten
> 1=1 rausbekommt.
> Die Induktionsvoraussetzung bekomm ich auch noch hin (wenn
> es so ist sein soll, wie ich es aufgeschirben habe)
Die Ind.-Varaussetzung ist, daß die Beh. für (ein) n richtig ist, also nehmen wir an
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} i^3[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^{n+1} \sum_{j=1}^{n+1}[/mm]
> ij
[mm]\summe_{i=1}^{n} i^3[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}[/mm] ij
und müssen nachweisen, daß die Beh. dann auch für n+1 stimmt:
[mm]\summe_{i=1}^{n+1} i^3[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^{n+1} \sum_{j=1}^{n+1}[/mm] ij
Lt. Ind.-voraussetzung ist aber
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} i^3 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} i^3 [/mm] + [mm] (n+1)^{3} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} [/mm] ij + [mm] (n+1)^{3}
[/mm]
Aber wie unterscheiden sich [mm] \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} [/mm] ij und [mm] \sum_{i=1}^{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} [/mm] ij
Auf der rechten Seite kommt für jedes i von 1 bis n der Summand mit j = n+1 dazu, das ergibt zusammen 1*(n+1) + 2*(n+1) + ... + n*(n+1) = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}(n+1).
[/mm]
Und dann kommt noch für i = n+1 die gesamte innere Summe dazu, also (n+1)*(1 + ... + n + (n+1)) = (n+1) [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2}
[/mm]
Wenn ich das zusammenfasse (Algebra), erhalte ich gerade [mm] (n+1)^{3}
[/mm]
qed
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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vielen dank dieter,
sieht ganz logisch aus, das einzige problem könnte nur die bildung der reihe werden und das erkennen eines schemas. gibt es da vielleicht irgend einen trick bei?
außerdem würde ich gerne wissen ob es sich immer noch um eine vollständige induktion handelt, wenn ich am ende nicht (n+1)³ herausbekomme sondern halt 0=0. teilweise ist es nämlich weniger arbeits alles auszurechnen und wieder zusammenzufassen als direkt teile zu kürzen. 0=0 bedeutet ja eigentlich nichts anderes, als dass die beiden seiten das selbe bedeuten, nur ist es erlaubt, da ich es nirgends gesehen habe bei beispielaufgaben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 23.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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