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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Di 02.11.2010 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgende Aussage durch vollständige Induktion:
Für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt die Ungleichung
[mm] n!\ge2^{n-1} [/mm] |
Hallo lieber Matheforum.
Ich muss mich leider wieder an euch wenden xD.
1. Induktionsschritt: A(n)
[mm] 1!\ge2^{1-1} [/mm] --> [mm] 1\ge0
[/mm]
2. Induktionsschritt: A(n+1)
[mm] (n+1)!\ge2^{n}
[/mm]
Wie muss ich hier wieder vorgehen?
Kann oder muss ich (n+1)! ausmultipliezieren bzw. auflösen?
Ich muss ja beweisen, dass [mm] (n+1)!\ge2^{n}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Di 02.11.2010 | | Autor: | glie |
> Beweisen Sie die folgende Aussage durch vollständige
> Induktion:
>
> Für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt die Ungleichung
>
> [mm]n!\ge2^{n-1}[/mm]
> Hallo lieber Matheforum.
Hallo,
>
> Ich muss mich leider wieder an euch wenden xD.
>
> 1. Induktionsschritt: A(n)
Du meinst hier wohl A(1).
>
> [mm]1!\ge2^{1-1}[/mm] --> [mm]1\ge0[/mm]
>
> 2. Induktionsschritt: A(n+1)
>
> [mm](n+1)!\ge2^{n}[/mm]
>
> Wie muss ich hier wieder vorgehen?
Beim Beweis mit vollständiger Induktion ist es extrem wichtig, dass du dir sauber aufschreibst, was du zu zeigen hast und welche Voraussetzung gilt.
Das Prinzip ist ja denkbar einfach. Du zeigst, dass die Aussage für n=1 gilt. Das ist oben geschehen.
Dann zeigst du, dass immer wenn die Aussage für ein beliebiges n gilt, sie auch für n+1 gilt.
Du musst also zeigen dass A(n+1) richtig ist unter der Voraussetzung, dass A(n) richtig ist.
Voraussetzung ist also: Es gilt [mm] $n!\geq 2^{n-1}$ [/mm]
Zu zeigen ist: Es gilt dann auch $(n+1)! [mm] \geq 2^{n+1-1}$
[/mm]
Also dann mal los:
$(n+1)!=n! [mm] \cdot [/mm] (n+1)$
und das ist laut Induktionsvoraussetzung größer gleich ...
Kommst du jetzt wieder selbst weiter?
Gruß Glie
>
> Kann oder muss ich (n+1)! ausmultipliezieren bzw.
> auflösen?
>
> Ich muss ja beweisen, dass [mm](n+1)!\ge2^{n}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Di 02.11.2010 | | Autor: | Random |
Okay also kann ich sozusagen n! auf der rechten Seite und [mm] 2^{n-1} [/mm] auf der linken Seite "entfernen und nur den Rest beweisen?
[mm] (n+1)\ge2^{n}/2^{n-1} [/mm] ???
Ich hoffe ich habe das richtig verstanden.
Vielen Dank im Voraus!!!
Gruß Ilya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Di 02.11.2010 | | Autor: | glie |
> Okay also kann ich sozusagen n! auf der rechten Seite und
> [mm]2^{n-1}[/mm] auf der linken Seite "entfernen und nur den Rest
> beweisen?
>
> [mm](n+1)\ge2^{n}/2^{n-1}[/mm] ???
Das kannst du so machen, ja. und was gibt [mm] $\bruch{2^n}{2^{n-1}}$ [/mm] ?
Ich hätte das allerdings jetzt in einer durchgehenden Ungleichungskette gemacht.
Gruß Glie
>
> Ich hoffe ich habe das richtig verstanden.
>
> Vielen Dank im Voraus!!!
>
> Gruß Ilya
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Di 02.11.2010 | | Autor: | Random |
Ich hoffe doch, dass [mm] \bruch{2^{n}}{2^{n-1}} [/mm] = [mm] 2^{-1}=\bruch{1}{2}
[/mm]
und somit bewisen ist , dass für jedes n in (n+1) der Ausdruck größer gleich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist.
Ist das richtig so? xDxD xD
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Di 02.11.2010 | | Autor: | glie |
> Ich hoffe doch, dass [mm]\bruch{2^{n}}{2^{n-1}}[/mm] =
> [mm]2^{-1}=\bruch{1}{2}[/mm]
Na na da hat das Fehlerteufelchen doch nochmal zugeschlagen.
[mm] $\bruch{2^n}{2^{n-1}}=2^{n-(n-1)}=2^1=2$
[/mm]
Aber es gilt dennoch für alle $n [mm] \in \mathbb{N}$:
[/mm]
[mm] $n+1\geq [/mm] 2$
Gruß Glie
>
> und somit bewisen ist , dass für jedes n in (n+1) der
> Ausdruck größer gleich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ist.
>
> Ist das richtig so? xDxD xD
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Di 02.11.2010 | | Autor: | Random |
Oh, danke!!!
Aber wenn ich 0 für n einsetze dann stimmt es doch nicht. Oder gehört o nicht zu N?
Danke schonmal im Voraus.
Gruß Ilya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Di 02.11.2010 | | Autor: | MaRaQ |
> Oh, danke!!!
>
> Aber wenn ich 0 für n einsetze dann stimmt es doch nicht.
> Oder gehört o nicht zu N?
>
> Danke schonmal im Voraus.
>
> Gruß Ilya
Hallo Ilya,
ob 0 zu [mm] \IN [/mm] gehört, das ist eine uralte Streitfrage in der Mathematik. Die Einen machen es so, die Anderen so. Im Zweifel solltest du bis zur Klausur/Prüfung deinen Professor gefragt haben, wie er es definiert. 
Hier in der Induktion fängst du ja selbst mit der 1 an. Insofern kann man hier [mm] \IN [/mm] auch auf [mm] \ge [/mm] 1 beschränken.
Dabei stimmt deine Ausgangsbehauptung aber auch für 0:
A(0): 0! = 1 [mm] \ge \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] 2^{-1} [/mm] = [mm] 2^{0-1}
[/mm]
Ob du diesen Fall bei der Aufgabe beachten musst, hängt aber ganz von der Definition des Aufgabenstellers ab.
Ich persönlich betrachte [mm] \IN [/mm] als mit 1 beginnend und dann [mm] \IN^{0} [/mm] bzw. [mm] \IN_{0} [/mm] als [mm] \IN\cup\{0\}
[/mm]
Letztlich scheint aber gang und gäbe zu sein: Jeder so, wie es ihm beliebt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Di 02.11.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> 1. Induktionsschritt: A(n)
>
> [mm]1!\ge2^{1-1}[/mm] --> [mm]1\ge0[/mm]
Ergänzend zu glies Korrektur muß es für ganz Penible so heißen:
1 [mm] \ge [/mm] 1 --> [mm] 1!\ge2^{1-1} [/mm] --> A(1)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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