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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Krone |
| Aufgabe | Beweise die folgenden Aussagen mittels vollständiger Induktion.
a) [mm] 2^{n} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 5.
b) [mm] \produkt_{k=1}^{n} \bruch{k+1}{k}=n+1 [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] |
Heyho,
das Prinzip der vollstädnigen Induktion ist mir eigentlich klar.
Allerdings haben wir das bisher immer nur bei Summen gemacht, bei Aufgabe a ist da ja aber keine summe ... und auch kein Produkt.
Also der Induktionsanfang dürfte ja gleich sein, also konkret:
[mm] 2^{5} [/mm] > 5²
32 > 25
wäre also erfüllt.
Aber wie komm ich hier weiter? Im Induktionsschluss müsste ich ja aus n --> n+1 machen.
Aber hier ohne die Summe seh ich da irgendwie keinen großen Sinn ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Mo 25.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du musst bei Aufgabe a) zeigen, dass
[mm] 2^{n+1}>(n+1)^{2}
[/mm]
Unter der Voraussetzung, dass [mm] 2^{n}>n^{2}
[/mm]
Fang mal wie folgt an:
[mm] 2^{n+1}=2^{1+n}=2^{1}*2^{n}=2*2^{n}\stackrel{I.V.}{>}2*n^{2}=\ldots\ge\ldots=(n+1)^{2} [/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Krone |
Was ist mit meinem Induktionsanfang ?
War der denn richtig? bzw. brauch ich den hier überhaupt?
also dein rechenansatz ist gut, nur blick ich bei der rechten seite nicht durch.
mit dem [mm] (n+1)^{2} [/mm] steht da ja jetzt eine binomische Formel.
Also aufgelöst: n²+2n+1.
Auf der anderern Seite steht ja immer noch 2*n²
also: 2*n² > n²+2n+1
Aber wie soll ich das beweisen?
n² wegkürzen geht ja auch nicht, da auf der rechten seite ja nur addiert wird und nicht multipliziert ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Krone!
Dein Induktionsanfang ist korrekt.
Am ende von M.Rex seinem Lösungsvorschlag steht mit [mm] $(n+1)^2$ [/mm] exakt der Term, welcher gezeigt werden soll: [mm] $2^{n+1} [/mm] \ > \ [mm] (n+1)^2$ [/mm] .
Nun ist nur noch (evtl. in einer Nebenrechnung) zu zeigen, dass gilt:
[mm] $n^2 [/mm] \ > \ 2*n+1$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Krone |
> Nun ist nur noch (evtl. in einer Nebenrechnung) zu zeigen,
> dass gilt:
> [mm]n^2 \ > \ 2*n+1[/mm]
>
wie kommst du denn jetzt auf diesen Term?
>
> Gruß
> Loddar
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Krone!
Wir haben [mm] $2*n^2 [/mm] \ = \ [mm] n^2+ [/mm] \ [mm] \green{n^2}$ [/mm] , wollen jedoch [mm] $n^2+ [/mm] \ [mm] \green{2*n+1} [/mm] \ = \ [mm] (n+1)^2$ [/mm] erhalten.
Daraus ergibt sich dann obige Abschätzung/Ungleichung, welche es noch nachzuweisen gilt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Krone |
Aaaah ... mann darauf wäre ich nie gekommen  .
Aber müsste in deiner Rechnung [mm] n^2 [/mm] \ > \ [mm] 2\cdot{}n+1
[/mm]
nicht ein [mm] \ge [/mm] rein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Aaaah ... mann darauf wäre ich nie gekommen .
Daher auch meine letzte Überschrift: immer das Ziel vor Augan halten.
> Aber müsste in deiner Rechnung [mm]n^2[/mm] \ > \ [mm]2\cdot{}n+1[/mm]
> nicht ein [mm]\ge[/mm] rein?
Nein, warum? Man könnte es weicher mit dem [mm] $\ge$ [/mm] formulieren.
Aber in der Aufgabenstellung steht auch das scharfe $>_$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Krone |
Naja ich dachte mir: Selbst wenn es gleich ist, ist die "Haupt-"Ungleichung ja weiterhin erfüllt ... aber okay...
Also als Nebenrechnung hab ich dann n² > 2n+1
Soll ich das ebenfalls als vollständige Induktion lösen?
Wenn ja, würde ich wie folgt vorgehen:
Inudktionsanfang: 5² > 2*5 +1 ---> erfüllt.
Induktionsschluss: (n+1)² > 2(n+1) +1
= n²+2n+1 > 2n +3
= n² +1 > 3
= n² > 2
und das ist ja erfüllt für alle n [mm] \ge [/mm] 5
oder muss ich das auch noch irgendwie beweisen?
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Hallo Krone,
> Naja ich dachte mir: Selbst wenn es gleich ist, ist die
> "Haupt-"Ungleichung ja weiterhin erfüllt ... aber okay...
>
> Also als Nebenrechnung hab ich dann n² > 2n+1
>
> Soll ich das ebenfalls als vollständige Induktion lösen?
Ja.
> Wenn ja, würde ich wie folgt vorgehen:
>
> Inudktionsanfang: 5² > 2*5 +1 ---> erfüllt.
>
> Induktionsschluss: (n+1)² > 2(n+1) +1
> = n²+2n+1 > 2n +3
> = n² +1 > 3
> = n² > 2
>
> und das ist ja erfüllt für alle n [mm]\ge[/mm] 5
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> oder muss ich das auch noch irgendwie beweisen?
Nein.
Andere Vorgehenweise:
[mm]\left(n+1\right)^{2}=n^{2}+2*n+1 > 2*n+1+2*n+1=4*n+2 > 2*n+3[/mm]
,da 2*n > 1 für[mm]n \in \IN[/mm]
Gruss
MathePower
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Es geht auch einfacher : Aus deinem Induktionsanfang folgt, dass n [mm] \ge [/mm] 5 ist, also [mm] n^2 \ge [/mm] 5n = 2n +3n [mm] \ge [/mm] 2n+3*5 > 2n+1
Viele Grüße
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:30 Mo 25.10.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Also ich würde Krone recht geben, denn es wurde ja bereits gezeigt, dass [mm] 2^{n+1} [/mm] > [mm] 2n^2 [/mm] ist = [mm] n^2 +n^2 [/mm] und mit dem ersten "echt" größer muss nun nur noch gezeigt werden, dass [mm] n^2+n^2 \ge n^2 [/mm] +2n +1 = [mm] (n+1)^2 [/mm] ist.
(wobei ich bereits mal bewiesen hab, dass es in Wirklichkeit ein ">" statt [mm] \ge [/mm] ist)
Viele Grüße
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