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Vollständige Induktion: Mathematisch richtig ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:36 Mo 12.10.2009
Autor: Kerberos2008

Aufgabe
(Vollständige Induktion) man zeige:

a) Für jedes [mm] n\ge1 [/mm] gilt [mm] \summe_{k=1}^{n} k^{2}=\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1) [/mm]

Induktionsanfang:

[mm] \summe_{k=1}^{n} k^{2}=\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1) [/mm]

n = 1, k = 1

[mm] \summe_{k=1}^{n} 1^{2}=\bruch{1}{6}*1*(1+1)*(2*1+1) [/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} 1=\bruch{1}{6}*1*(2)*(3) [/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} 1=\bruch{1}{6}*1*6 [/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} 1=\bruch{6}{6} [/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1=1

Somit ist bewiesen, dass die linke Seite gleich der rechten Seite ist!

Induktionsschritt: (n+1)

Ausgangsform:
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^{2}=\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1) [/mm]

Für die linke Seite:
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^{2} [/mm] wird zu [mm] (n+1)^{2}+\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1) [/mm]

Für die rechte Seite:
[mm] \bruch{1}{6}*(n+1)*((n+1)+1)*(2(n+1)+1) [/mm]
bzw.
[mm] \bruch{1}{6}*(n+1)*(n+2)*(2n+3) [/mm]


[mm] (n+1)^{2}+\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*(n+1)*(n+2)*(2n+3) [/mm]

[mm] (n^{2}+2n+1)+\bruch{1}{6}*(n^{2}+n)*(2n+1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*(n^{2}+3n+2)*(2n+3) [/mm]

[mm] (n^{2}+2n+1)+\bruch{1}{6}*(n^{2}+n)*(2n+1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*(2n^{3}+6n^{2}+4n+3n^{2}+6n+3n+6) [/mm]

[mm] (n^{2}+2n+1)+\bruch{1}{6}*(2n^{3}+3n^{2}+n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*(2n^{3}+9n^{2}+13n+6) [/mm]

[mm] (n^{2}+2n+1)+\bruch{1}{6}*(2n^{3}+3n^{2}+n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*(2n^{3}+9n^{2}+13n+6) [/mm]    |*6

[mm] 6n^{2}+12n+6+2n^{3}+3n^{2}+n =2n^{3}+9n^{2}+13n+6 [/mm]

[mm] 2n^{3}+9n^{2}+13n+6=2n^{3}+9n^{2}+13n+6 [/mm]

[mm] \Box [/mm]


Nun, nachdem ich es abgetippt habe, habe ich meinen Rechenfehler schon gefunden(*freu*) und es ging beim 5. Versuch auf ;)

Dann hätte ich noch eine Frage zu der Schreibweise: Und zwar wollte ich wissen ob die Notation so mathematisch richtig ist, wie ich es hier abgetippt habe oder ob man hierbei noch [mm] \gdw [/mm] Symbole oder das Summenzeichen mit durchschleifen muß ?


        
Bezug
Vollständige Induktion: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 Mo 12.10.2009
Autor: Roadrunner

Hallo Kerberos!


> n = 1, k = 1

Es gilt lediglich $n \ = \ 1$ .
$k_$ ist die Summationsvariable, welche sich daraus ergibt.

  
> [mm]\summe_{k=1}^{n} 1^{2}=\bruch{1}{6}*1*(1+1)*(2*1+1)[/mm]

Besser schreiben:
[mm] $$\summe_{k=1}^{\red{1}} \red{k}^2 [/mm] \ = \ [mm] 1^2 [/mm] \ = \ ...$$

  
> [mm]\summe_{k=1}^{n} 1=\bruch{1}{6}*1*(2)*(3)[/mm]

Ab hier ist das Summenzeichen zu viel!


> [mm]\summe_{k=1}^{n} 1=\bruch{1}{6}*1*6[/mm]
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{n} 1=\bruch{6}{6}[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 1=1
>  
> Somit ist bewiesen, dass die linke Seite gleich der rechten
> Seite ist!

[ok] Siehe Anmerkung oben!

  
> Induktionsschritt: (n+1)
>  
> Ausgangsform:
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^{2}=\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1)[/mm]
>  
> Für die linke Seite:
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^{2}[/mm] wird zu
> [mm](n+1)^{2}+\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1)[/mm]

Das muss heißen:
[mm] $$\summe_{k=1}^{\red{n+1}}k^2 [/mm] \ = \ ...$$


> Für die rechte Seite:
> [mm]\bruch{1}{6}*(n+1)*((n+1)+1)*(2(n+1)+1)[/mm]
> bzw.
> [mm]\bruch{1}{6}*(n+1)*(n+2)*(2n+3)[/mm]

[ok]

  
> [mm](n+1)^{2}+\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1)[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}*(n+1)*(n+2)*(2n+3)[/mm]
>  
> [mm](n^{2}+2n+1)+\bruch{1}{6}*(n^{2}+n)*(2n+1)[/mm] =  [mm]\bruch{1}{6}*(n^{2}+3n+2)*(2n+3)[/mm]
>  
> [mm](n^{2}+2n+1)+\bruch{1}{6}*(n^{2}+n)*(2n+1)[/mm] =  [mm]\bruch{1}{6}*(2n^{3}+6n^{2}+4n+3n^{2}+6n+3n+6)[/mm]
>  
> [mm](n^{2}+2n+1)+\bruch{1}{6}*(2n^{3}+3n^{2}+n)[/mm] =  [mm]\bruch{1}{6}*(2n^{3}+9n^{2}+13n+6)[/mm]
>  
> [mm](n^{2}+2n+1)+\bruch{1}{6}*(2n^{3}+3n^{2}+n)[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}*(2n^{3}+9n^{2}+13n+6)[/mm]    |*6
>  
> [mm]6n^{2}+12n+6+2n^{3}+3n^{2}+n =2n^{3}+9n^{2}+13n+6[/mm]
>  
> [mm]2n^{3}+9n^{2}+13n+6=2n^{3}+9n^{2}+13n+6[/mm]
>  
> [mm]\Box[/mm]

[ok] Kann man so machen, ist aber m.E. viel zu umständlich.

Nimm
[mm] $$(n+1)^{2}+\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1)$$ [/mm]
und klammere [mm] $\bruch{1}{6}*(n+1)$ [/mm] aus, und Du bist fast am Ziel.


> Dann hätte ich noch eine Frage zu der Schreibweise: Und
> zwar wollte ich wissen ob die Notation so mathematisch
> richtig ist, wie ich es hier abgetippt habe oder ob man
> hierbei noch [mm]\gdw[/mm] Symbole oder das Summenzeichen mit
> durchschleifen muß ?

Nein, das Summenzeichen entfällt durch Anwendung der Induktionsvoraussetzung.

Und wenn man dies als eine Gleichheitskette ansieht, sind auch keine [mm] $\gdw$ [/mm] -Syymbole vonnöten.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Danke :)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:59 Mo 12.10.2009
Autor: Kerberos2008

Vielen Dank für die schnelle Antwort! :)
Bezug
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