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| Aufgabe | Beweise per vollständiger Induktion
[mm] 2^{n}>n^2 [/mm] |
Hallo Leute
Annahme: [mm] 2^{n}>n^2 [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] , [mm] n\ge5
[/mm]
Induktionsanfang
A(5) [mm] 2^5 [/mm] > [mm] 5^2
[/mm]
Induktionsannahme (Siehe Annahme)
Induktionsschluß
A(n+1) gilt es zuzeigen also: [mm] 2^{n+1}>(n+1)^2 [/mm]
[mm] 2^{n+1} [/mm] > [mm] (n+1)^2
[/mm]
[mm] 2*2^n>(n+1)^2
[/mm]
Jetzt kommt meine Induktionsannahme ins Spiel
[mm] 2*n^2 [/mm] > [mm] (n+1)^2 [/mm] // Jetz löse ich das Binom auf
[mm] 2*n^2 [/mm] > [mm] n^2+2n+1
[/mm]
[mm] n^2+n^2 [/mm] > [mm] n^2+2n+1 [/mm]
[mm] n^2 [/mm] > 2n+1 Könnte ich die Induktion Voraussetzung wiederbenutzen? Wie geht es jetzt weiter?
Gruß Daniel
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Hallo,
> Beweise per vollständiger Induktion
>
> [mm]2^{n}>n^2[/mm]
> Hallo Leute
>
> Annahme: [mm]2^{n}>n^2[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm] , [mm]n\ge5[/mm]
>
> Induktionsanfang
>
> A(5) [mm]2^5[/mm] > [mm]5^2[/mm]
>
> Induktionsannahme (Siehe Annahme)
>
> Induktionsschluß
>
> A(n+1) gilt es zuzeigen also: [mm]2^{n+1}>(n+1)^2[/mm]
>
> [mm]2^{n+1}[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm]
>
> [mm]2*2^n>(n+1)^2[/mm]
>
> Jetzt kommt meine Induktionsannahme ins Spiel
>
> [mm]2*n^2[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm] // Jetz löse ich das Binom auf
>
> [mm]2*n^2[/mm] > [mm]n^2+2n+1[/mm]
>
> [mm]n^2+n^2[/mm] > [mm]n^2+2n+1[/mm]
>
Moment mal: Aus etwas Wahrem etwas Wahres folgern zu wollen ist kein richtiger Beweis!
[mm] 2*2^{n} [/mm] > [mm] 2n^{2} [/mm] (nach Induktionsvoraussetzung, wie du sagtest)
Jetzt müssen wir noch zeigen, dass
[mm] 2n^{2} \ge (n+1)^{2} [/mm] ist, das gilt weil: [mm] 2n^{2} [/mm] = [mm] n^{2} [/mm] + [mm] n^{2} \ge n^{2} [/mm] +5n (da aus unserem Induktionsanfang n [mm] \ge [/mm] 5 folgt: [mm] n^{2} \ge [/mm] 5n)
= [mm] n^{2} [/mm] + 2n +3n [mm] \ge n^{2} [/mm] + 2n + 15 (da n [mm] \ge [/mm] 5)
> [mm] n^{2} [/mm] + 2n + 1 = [mm] (n+1)^{2} \Box
[/mm]
Viele Grüße
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Hey,
$ [mm] 2n^{2} \ge (n+1)^{2} [/mm] $ Das sollen wir jetzt zeigen?
Irgendwie versteh ich das alles was du geschrieben hast nicht wirklich...sorry!
Gruß Daniel
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> Hey,
>
> [mm]2n^{2} \ge (n+1)^{2}[/mm] Das sollen wir jetzt zeigen?
>
Genau
> Irgendwie versteh ich das alles was du geschrieben hast
> nicht wirklich...sorry!
>
Wo hängts denn konkret? Du hast doch als Induktionsanfang n [mm] \ge [/mm] 5 gesetzt, multiplizierst du die Ungleichung nun mit n so folgt [mm] n^{2} \ge [/mm] 5n, und das war im Grunde nur der Trick womit man den ganzen Rest folgern kann, so wie ichs gemacht habe...
Viele Grüße
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So ich war soweit:
$ [mm] 2n^{2} \ge (n+1)^{2} [/mm] $
Jetzt komms du mit der Nebenbedingung [mm] (n^2\ge5n) [/mm] aufeinmal auf
[mm] n^2+n^2\ge n^2+5n [/mm] Die Gleichung ist eine "neue" von dir. Du hast anscheinend nur [mm] +n^2 [/mm] hinzuaddiert.
[mm] n^{2}+n^{2} \ge (n+1)^{2} [/mm] $ Das war meine Gleichung.
Und dann komms du auf
[mm] n^2+2n+3n \ge n^2+2n+15 [/mm] Diesen Schritt versteh ich nicht
Und wieso ist das jetzt so bewiesen?
Geht das nicht einfacher?^^
Gruß Daniel
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Hallo,
> So ich war soweit:
>
> [mm]2n^{2} \ge (n+1)^{2}[/mm]
>
Woher weißt du das denn? Das muss erst mal gezeigt werden!
> Jetzt komms du mit der Nebenbedingung [mm](n^2\ge5n)[/mm] aufeinmal
> auf
>
> [mm]n^2+n^2\ge n^2+5n[/mm] Die Gleichung ist eine "neue" von
> dir. Du hast anscheinend nur [mm]+n^2[/mm] hinzuaddiert.
>
Na es ist doch: [mm] 2n^{2} [/mm] = [mm] n^2+n^2 \ge n^2+5n [/mm] (wobei ich hier für ein [mm] n^2 [/mm] die Nebenbedingung verwendet habe).
> [mm]n^{2}+n^{2} \ge (n+1)^{2}[/mm] $ Das war meine Gleichung.
>
> Und dann komms du auf
>
> [mm]n^2+2n+3n \ge n^2+2n+15[/mm] Diesen Schritt versteh ich
> nicht
Auch hier gilt: [mm] n^2+5n [/mm] = [mm] n^2+2n+3n, [/mm] da nun n [mm] \ge [/mm] 5 nach Induktionsanfang gilt, ist das bei 3n eingesetzt: [mm] n^2+2n+3n \ge n^2+2n+15. [/mm] Dies ist widerum echt größer als [mm] n^2+2n+1 [/mm] = [mm] (n+1)^2
[/mm]
> Und wieso ist das jetzt so bewiesen?
>
Weil damit alles gezeigt ist, was zu zeigen war^^
> Geht das nicht einfacher?^^
>
Es ist doch einfach 
Viele Grüße
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Hey,
ich weiß einfach nicht wo dort "Vorne" und "Hinten" bei deinem Beweiß ist.
$ [mm] n^2+n^2 \ge n^2+5n [/mm] $ Im Moment rechnen wir irgendwo in der Mitte rum, und ich weiß immer noch wieso die "zusammen geschweißt wurden"
Ich weiß davon nur, dass ich dir gezeigt habe wie man auf [mm] n^2+n^2 [/mm] kommt und du aufeinmal sagt das wäre > [mm] n^2+5 [/mm] aber da stand doch ein Binom vorher!!??? Ich dachte einen Beweis wäre schwer zumachen, aber ich kann ihn ja nicht mal nachvollziehen, das macht mir Angst :( Und das ist noch bestimmt einfach.
Also meine Induktionsschluß war doch eigentlcih richtig geführt bis
$ [mm] n^2+n^2 \ge (n+1)^2 [/mm] ich kann nicht glauben dass das falsch ist!!
...*seufzz*
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Bei Induktionsbeweisen mit Ungleichungen bietet es sich m.E. viel eher an, mit einer Ungleichheitskette zu arbeiten:
[mm] $$2^{n+1} [/mm] \ = \ 2* \ [mm] \red{2^n \ > \ }2*\red{n^2} [/mm] \ = \ [mm] n^2+\ \blue{n^2 \ > } [/mm] \ [mm] n^2+ [/mm] \ [mm] \blue{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] (n+1)^2 [/mm] \ \ [mm] \text{q.e.d.}$$
[/mm]
In der "roten Zone" habe ich die Induktionsvoraussetzung eingesetzt.
Die blaue Ungleichung [mm] $\blue{n^2 \ > \ 2n+1}$ [/mm] musst Du nun mit einer Nebenrechnung beweisen: entweder ebenfalls mit eine Induktion, oder mittels Umformen:
[mm] $$n^2 [/mm] \ > \ 2n+1$$
[mm] $$n^2-2n+1 [/mm] \ > \ 2$$
[mm] $$(n-1)^2 [/mm] \ > \ 2$$
Dies ist offensichtlich erfüllt für $n \ [mm] \ge [/mm] \ 5$ .
Gruß
Loddar
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Hallo,
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> ich weiß einfach nicht wo dort "Vorne" und "Hinten" bei
> deinem Beweiß ist.
>
> [mm]n^2+n^2 \ge n^2+5n[/mm] Im Moment rechnen wir irgendwo in der
> Mitte rum, und ich weiß immer noch wieso die "zusammen
> geschweißt wurden"
>
> Ich weiß davon nur, dass ich dir gezeigt habe wie man auf
> [mm]n^2+n^2[/mm] kommt und du aufeinmal sagt das wäre > [mm]n^2+5n[/mm] aber
Es muss [mm] n^2 [/mm] + [mm] n^2 \ge n^2 [/mm] +5n heißen, nochmal zur Erklärung: dein Indunktionsanfang ist bei n=5 und du willst zeigen, dass [mm] 2^n >n^2 [/mm] für alle weiteren n >5 gilt, wobei n [mm] \in \IN, [/mm] von daher kannst du bei dem Beweis problemlos verwenden, dass n [mm] \ge [/mm] 5 ist, woraus folgt, dass [mm] n^2 \ge [/mm] 5n, einfach weil n [mm] \ge [/mm] 5 auf beiden Seiten mit n multipliziert wurde.
Nun konnte ich aus [mm] n^2 [/mm] + [mm] n^2 \ge n^2 [/mm] +5n machen (weil eben,wie ich eben festgestellt hab, [mm] n^2 \ge [/mm] 5n ist): Nun ist [mm] n^2 [/mm] +5n = [mm] n^2 [/mm] +2n +3n [mm] \ge n^2 [/mm] +2n + 3*5 (weil n [mm] \ge [/mm] 5 ist nach Induktionsanfang) und das ist widerum > [mm] n^2 [/mm] +2n +1 = [mm] (n+1)^2
[/mm]
> da stand doch ein Binom vorher!!??? Ich dachte einen Beweis
> wäre schwer zumachen, aber ich kann ihn ja nicht mal
> nachvollziehen, das macht mir Angst :( Und das ist noch
> bestimmt einfach.
>
> Also meine Induktionsschluß war doch eigentlcih richtig
> geführt bis
>
> $ [mm]n^2+n^2 \ge (n+1)^2[/mm] ich kann nicht glauben dass das
> falsch ist,
aber das heißt noch lange nicht, dass es durch alleiniges hinschreiben schon bewiesen ist, warum ist [mm] n^2 +n^2 \ge (n+1)^2??
[/mm]
> ...*seufzz*
Ich hoffe nun wurds endlich etwas klarer.
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Beide Antworten von euch zusammen haben mir ein paar Zundfunken in meinen Synapsen initalisiert,...danke schön erstmal für eure Zeit...
Aber nun zwinge ich mich jetzt erstmal einer Pause zuunterziehen, sonst bringt mich die Aufgabe gleich um^^! Ich werd mir beide Postings von euch noch mal genaustens studieren^^...
Dann hoffentlich starte ich mit ein paar besseren Fragen und mehr Verständnis natürlich.
p.s. das [mm] n\ge5 [/mm] | [mm] n^2\ge5n [/mm] ist war mir wirklich schon die ganze Zeit klar aber hast du wirklich super erklärt 
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Guten Morgen
[mm] n^2 \ge5n [/mm] die Herleitung von diesem Ausdruck war mir immer klar, nur wie kommst du von [mm] n^2 \ge5n [/mm] auf [mm] n^2+n^2\ge n^2+5n [/mm] ! Weil ich kann mir nicht vorstellen kann dass du auf die Idee kams ein [mm] +n^2 [/mm] auf beiden Seiten zu addieren und dann gegen die Gleichung die wir hergeleitet hatten ausgetauscht hast.
[mm] 2n^2 [/mm] > [mm] (n+1)^2 [/mm] //War doch richtig, dass wir mit unseren nachfolgenden Rechnung auf das [mm] (n+1)^2 [/mm] wieder kommen, um zu zeigen A(n)->A(n+1) oder?
Also hatten wir Ausgangmäßig
[mm] n^2+n^2>(n+1)^2 [/mm] (Ausgangsgleichung)
Du wolltest jetzt irgendwie die linke Seite [mm] (n^2+n^2) [/mm] der Ausgangsgleichung ersetzen und hast überlegt, wie du dies schaffs. Dann kams du auf die Idee [mm] n^2\ge2n [/mm] ! ZU dieser Gleichung hast du also nochmal [mm] n^2 [/mm] addiert und kams so auf [mm] n^2+n^2\ge5n+n^2 [/mm] (Neue Gleichung)
Und dann darf man das so austauschen? Ich substituiere mal kurz [mm] n^2+n^2 [/mm] zu x
Also haben wir
x > [mm] (n+1)^2 [/mm] (Ausgangsgleichung)
x [mm] \ge 5n+n^2 [/mm] (Neuegleichung)
Ich hab jetzt Probleme das mit einander zuverbinden...Ich hätte 2 Möglichkeiten einmal von unten nach oben einsetzen und umgekehrt.
[mm] (n+1)^2 \ge 5n+n^2 [/mm] oder
dein Ergebnis [mm] 5n+n^2 [/mm] > [mm] (n+1)^2
[/mm]
Ja aber das erste wäre ja offentsichtlich falsch, liegen bei mir grundlegende Mathemathische Unkenntnisse vor, wie ich damit umzugehen habe? Oder liegt in der Logik der Fehler oder im schlimmsten Fall beides ??
Ich hoffe ich frustiere euch nicht zu sehr. :(
Ich möchte es einfach nur grundlegend verstehen.
Gruß Daniel
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Hallo,
> [mm]n^2 \ge5n[/mm] die Herleitung von diesem Ausdruck war mir immer
> klar, nur wie kommst du von [mm]n^2 \ge5n[/mm] auf [mm]n^2+n^2\ge n^2+5n[/mm]
> ! Weil ich kann mir nicht vorstellen kann dass du auf die
> Idee kams ein [mm]+n^2[/mm] auf beiden Seiten zu addieren und dann
> gegen die Gleichung die wir hergeleitet hatten ausgetauscht
> hast.
>
> [mm]2n^2[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm] //War doch richtig, dass wir mit
> unseren nachfolgenden Rechnung auf das [mm](n+1)^2[/mm] wieder
> kommen, um zu zeigen A(n)->A(n+1) oder?
>
> Also hatten wir Ausgangmäßig
>
> [mm]n^2+n^2>(n+1)^2[/mm] (Ausgangsgleichung)
>
Nochmal zum Verständnis, ich sags nochmal ganz deutlich: Es ist nicht trivial, dass [mm] 2n^2 [/mm] = [mm] n^2 +n^2 [/mm] > [mm] (n+1)^2 [/mm] ist, das muss man erst mal zeigen, das hast du nicht gegeben, (auch wenns am Ende stimmt)!!! Jetzt hab ich überlegt, wie kann ich [mm] n^2 +n^2 [/mm] nach unten abschätzen, offensichtlich ist doch [mm] n^2 \ge [/mm] 5n. Ganz allgemein gilt doch für 2 reelle Zahlen a,b: Wenn a [mm] \ge [/mm] b ist, dann ist a+x [mm] \ge [/mm] b + x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR.
[/mm]
> Du wolltest jetzt irgendwie die linke Seite [mm](n^2+n^2)[/mm] der
> Ausgangsgleichung ersetzen und hast überlegt, wie du dies
> schaffs. Dann kams du auf die Idee [mm]n^2\ge2n[/mm]
Wo hab ich das gemacht, ich hab nur verwendet, dass [mm] n^2 \ge [/mm] 5n, woraus natürlich auch folgen würde, dass [mm] n^2 \ge [/mm] 2n ist.
Wir hatten nur gegeben, dass n [mm] \ge [/mm] 5 ist und somit [mm] n^2 \ge [/mm] 5n und wir waren soweit, dass wir sagten [mm] 2^{n+1}= [/mm] 2* [mm] 2^n, [/mm] und [mm] 2*2^n [/mm] ist nach Induktionsvoraussetzung größer als [mm] 2n^2. [/mm] Jetzt müssen wir aber noch ZEIGEN, dass [mm] 2n^2 \ge (n+1)^2 [/mm] ist, das ist wie ich sagte NICHT klar, dass dem so ist.
Also bin ich auf folgende Idee gekommen: [mm] 2n^2= n^2 +n^2 \ge n^2 [/mm] + 5n, denk dabei an oben: Ganz allgemein gilt doch für 2 reelle Zahlen a,b: Wenn a [mm] \ge [/mm] b ist, dann ist a+x [mm] \ge [/mm] b + x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR.
[/mm]
[mm] n^2 [/mm] + 5n ist wiederum = [mm] n^2 [/mm] +2n + 3n, das wiederum wenn ich das n bei den 3n durch den minimalen Wert des n´s =5, (da ja n [mm] \ge [/mm] 5 ist) ersetze [mm] \ge n^2 [/mm] +2n + 3*5 und das widerum ist > [mm] n^2 [/mm] +2n +1 = [mm] (n+1)^2 [/mm]
Und damit wärs gezeigt, ich hoffe das war nun verständlich.
> Ich hoffe ich frustiere euch nicht zu sehr. :(
> Ich möchte es einfach nur grundlegend verstehen.
>
Ach, wenn dus am Ende verstanden hast, bin ich auch froh, ich hab Geduld.
Ich hoffe, das war nun verständlich.
Viele Grüße
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Was bedeutet "nach unten abschätzen"? Und wieso muss man "schätzen"?
Habs schon ein paar Mal gehört, aber wusste nie was das soll? Kannst du mir ein Bsp. geben?
Gruß
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Hallo,
> Was bedeutet "nach unten abschätzen"? Und wieso muss man
> "schätzen"?
> Habs schon ein paar Mal gehört, aber wusste nie was das
> soll? Kannst du mir ein Bsp. geben?
Naja, wenn du zum Beispiel gegeben hast, dass n [mm] \ge [/mm] 5 ist, könntest du abschätzen, dass [mm] n^2 [/mm] + [mm] n^2 \ge [/mm] 5*5 +5*5 = 50 ist.
Oder bei Brüchen kannst du sagen [mm] \bruch{x+3}{4} [/mm] > [mm] \bruch{x}{4}, [/mm] für alle x aus den reellen Zahlen, während [mm] \bruch{3}{4+x} [/mm] < [mm] \bruch{3}{x} [/mm] für alle x >0.
Es ist kein "schätzen" im Sinne von raten, es steckt schon noch Logik dahinter.
Viele Grüße
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Mann kann aus [mm] n^2 [/mm] > 5n [mm] n^2 [/mm] > 2n folgern, das hab ich verstanden...
Aus [mm] n^2\ge5n [/mm] folgerst du [mm] n^2+n^2 \ge n^2+5n [/mm] das hab ich glaube ich auch verstanden..Wobei das wiederum größer als [mm] (x+1)^2 [/mm] sein soll.
Aber wieso setzt du nur an einer Stelle n=5 ein um das absolute Glied zuerhalten, ist das zulässig? Das sieht so aus wie nach "Wünsch dir was"...^^
WARUM hast du an der einen Stelle schätzen müssen, zu welchem Zwecke?
Irgendwie hab ich das Gefühl, das ich es verstanden hätte, aber zugleich ich bin mir sehr unsicher ob das der Fall ist.
Gruß
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> Mann kann aus [mm]n^2[/mm] > 5n [mm]n^2[/mm] > 2n folgern, das hab ich
> verstanden...
> Aus [mm]n^2\ge5n[/mm] folgerst du [mm]n^2+n^2 \ge n^2+5n[/mm] das hab ich
> glaube ich auch verstanden..Wobei das wiederum größer als
> [mm](x+1)^2[/mm] sein soll.
Du meinst wohl [mm] (n+1)^2, [/mm] aber das soll so sein, dass es so ist muss erst bewiesen werden.
> Aber wieso setzt du nur an einer Stelle n=5 ein um das
> absolute Glied zuerhalten, ist das zulässig?
Das sieht so
> aus wie nach "Wünsch dir was"...^^
> WARUM hast du an der einen Stelle schätzen müssen, zu
> welchem Zwecke?
Klar ist das zulässig, aber ich will ja nicht haben [mm] n^2 [/mm] +5n [mm] \ge [/mm] 25+25= 50, sondern
ich möcht ja ganz allgemein zeigen, dass [mm] n^2 [/mm] +5n [mm] \ge (n+1)^2 [/mm] ist, mit nem schlichten [mm] \ge [/mm] 50 wär das nicht zu zeigen^^, und somit automatisch auch ganz allgemein zeigen, dass [mm] 2n^2= n^2 +n^2 \ge (n+1)^2 [/mm] ist, ich denk mal jeder sieht, dass [mm] n^2 [/mm] +2n +1+14 echt größer ist als [mm] n^2 [/mm] +2n +1.
Das war der Zweck dessen.
Viele Grüße
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Man muss schon Lehrer sein, um das zu sehen, was hier falsch gelaufen ist und von allen offensichtlich übersehen wurde. Da könnt ihr Euch sicher vorstellen, wie mühsam manche Mathekorrektur ist.
Zur Sache:
>
> Induktionsschluß
>
> A(n+1) gilt es zuzeigen also: [mm]2^{n+1}>(n+1)^2[/mm]
>
> [mm]2^{n+1}[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm]
>
> [mm]2*2^n>(n+1)^2[/mm]
>
> Jetzt kommt meine Induktionsannahme ins Spiel
>
> [mm]2*\red{n^2}[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm] // Jetz löse ich das Binom auf
>
Warum schreibst du hier [mm] n^2 [/mm] und nicht [mm] 2^n [/mm] ?
Zu zeigen: [mm] 2*2^n>(n+1)^2=n^2+2n+1.
[/mm]
Nach Voraussetzung ist nun
[mm] 2*2^n>2*n^2 [/mm] und dies ist = [mm] n^2+n^2 [/mm] und damit [mm] >n^2+2n+1, [/mm] da
[mm] n^2>2n+1 [/mm] ist für [mm] n\ge5.
[/mm]
Für n>5 ist nämlich n-1>4 und damit [mm] (n-1)^2>16, [/mm] also
[mm] n^2-2n+1>16 \Rightarrow n^2>2n+15>2n+1.[/mm]
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Hallo Leute & Herr Lehrer.
> Man muss schon Lehrer sein, um das zu sehen, was hier
> falsch gelaufen ist und von allen offensichtlich übersehen
> wurde. Da könnt ihr Euch sicher vorstellen, wie mühsam
> manche Mathekorrektur ist.
>
> Zur Sache:
>
>
> >
> > Induktionsschluß
> >
> > A(n+1) gilt es zuzeigen also: [mm]2^{n+1}>(n+1)^2[/mm]
> >
> > [mm]2^{n+1}[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm]
> >
> > [mm]2*2^n>(n+1)^2[/mm]
> >
> > Jetzt kommt meine Induktionsannahme ins Spiel
> >
> > [mm]2*\red{n^2}[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm] // Jetz löse ich das Binom auf
> >
> Warum schreibst du hier [mm]n^2[/mm] und nicht [mm]2^n[/mm] ?
Jetzt wo Sie mich hierrauf aufmerksam machen glaube ich, dass hier schon mein erster falscher Gedanke überhaupt in meinem Beweis liegt, weil ich aus [mm] 2*2^n [/mm] > [mm] (n+1)^2 [/mm] einfach [mm] 2*n^2 [/mm] > [mm] (n+1)^2 [/mm] gemacht habe, sozusagen einfach gleichgesetz hatte quasi [mm] 2^n [/mm] = [mm] n^2 [/mm]
Okay...diesmal versuch ich es besser zu argumentieren.
Es gilt zu zeigen: [mm] 2*2^n [/mm] > [mm] (n+1)^2
[/mm]
[mm] 2*2^n>2*n^2=n^2+n^2> (n+1)^2
[/mm]
Das [mm] 2^n>n^2 [/mm] geht aus meiner Induktionsvorraussetzung hervor.
Jetzt muss ich nur noch den Schritt [mm] 2n^2 [/mm] > [mm] (n+1)^2 [/mm] begründen, dann müsste der Beweis vollständig sein. Wenn mich jetzt nicht alle guten Dinge verlassen haben..
Nebenrechnung also
[mm] 2n^2 [/mm] > [mm] (n+1)^2
[/mm]
[mm] n^2 [/mm] > 2n+1
[mm] n^2+2n-1 [/mm] > 0
[mm] n^2+2n+1 [/mm] > 2
[mm] (n+1)^2 [/mm] > 2 und das is offentlich für alle n größergleich 5 der Fall
Somit ist [mm] n^2+n^2 [/mm] > (n+1) bewiesen in diesem "Nebenbeweis" und damit ist der Hauptbeweis richtig. [mm] 2*2^n [/mm] > [mm] (n+1)^2 [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 5
Sind meine Begründungen in Ordnung? Zumindest größtenteils mal richtig?
Könnte die den Nebenbeweis gegebenfalls auch in die Ungleichungskette miteinbringen?
Gruß Daniel
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Hallo Daniel,
> Hallo Leute & Herr Lehrer.
>
> > Man muss schon Lehrer sein, um das zu sehen, was hier
> > falsch gelaufen ist und von allen offensichtlich übersehen
> > wurde. Da könnt ihr Euch sicher vorstellen, wie mühsam
> > manche Mathekorrektur ist.
> >
> > Zur Sache:
> >
> >
> > >
> > > Induktionsschluß
> > >
> > > A(n+1) gilt es zuzeigen also: [mm]2^{n+1}>(n+1)^2[/mm]
> > >
> > > [mm]2^{n+1}[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm]
> > >
> > > [mm]2*2^n>(n+1)^2[/mm]
> > >
> > > Jetzt kommt meine Induktionsannahme ins Spiel
> > >
> > > [mm]2*\red{n^2}[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm] // Jetz löse ich das Binom auf
> > >
> > Warum schreibst du hier [mm]n^2[/mm] und nicht [mm]2^n[/mm] ?
>
> Jetzt wo Sie mich hierrauf aufmerksam machen glaube ich,
> dass hier schon mein erster falscher Gedanke überhaupt in
> meinem Beweis liegt, weil ich aus [mm]2*2^n[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm] einfach
> [mm]2*n^2[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm] gemacht habe, sozusagen einfach
> gleichgesetz hatte quasi [mm]2^n[/mm] = [mm]n^2[/mm]
>
> Okay...diesmal versuch ich es besser zu argumentieren.
>
> Es gilt zu zeigen: [mm]2*2^n[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm]
>
> [mm]2*2^n>2*n^2=n^2+n^2> (n+1)^2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das [mm]2^n>n^2[/mm] geht aus meiner Induktionsvorraussetzung
> hervor.
Ja!
>
> Jetzt muss ich nur noch den Schritt [mm]2n^2[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm]
> begründen, dann müsste der Beweis vollständig sein. Wenn
> mich jetzt nicht alle guten Dinge verlassen haben..
Haben sie nicht ...
>
> Nebenrechnung also
>
> [mm]2n^2[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm]
> [mm]n^2[/mm] > 2n+1
> [mm] $n^2\red{+}2n-1 [/mm] > 0$
Da muss doch ein [mm] $\red{-}$ [/mm] stehen
> [mm]n^2+2n+1[/mm] > 2
> [mm] $(n\red{-}1)^2 [/mm] > 2$ und das ist offensichtlich für alle n größergleich 5 der Fall
Du solltest mal irgendwelche Zeichen zwischen den Umformungsschritten machen, idealerweise Äquivalenzpfeile, denn du gehst ja von der zu zeigenden Ungleichung aus und landest bei einer wahren Aussage, du brauchst aber eigentlich (nur) die andere Richtung.
Mache also [mm] $\gdw$ [/mm] dazwischen, aber überzeuge dich davon, dass es auch wirklich Äquivalenzumformungen sind ...
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> Somit ist [mm]n^2+n^2[/mm] > (n+1) bewiesen in diesem "Nebenbeweis"
> und damit ist der Hauptbeweis richtig. [mm]2*2^n[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm]
> für alle n [mm]\ge[/mm] 5
>
> Sind meine Begründungen in Ordnung? Zumindest
> größtenteils mal richtig?
> Könnte die den Nebenbeweis gegebenfalls auch in die
> Ungleichungskette miteinbringen?
Jo, füge in deine Ungleichungskette noch einen kleinen Zusatz ein:
[mm] $2^{n+1}=2\cdot{}2^n>2\cdot{}n^2>n^2+\blue{n^2}>n^2+\blue{2n+1}=(n+1)^2$
[/mm]
Entweder schreibe halt, dass die letzte Ungleichung offensichtlich gilt [mm] $(n^2>2n+1$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] 3)$.
Oder mache an der entsprechenden Stelle ein [mm] $(\star)$ [/mm] und verweise auf deinen "Nebenbeweis".
Da hast du ja genau das gezeigt (modulo Vorzeichenfehler)
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> Gruß Daniel
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LG
schachuzipus
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