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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Lisa-19 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Die Summe der ersten n positiven Kubikzahlen ist gleich dem Quadrat der Summe der ersten n positiven Zahlen. |
Hallo,
ich komme bei der Aufgabe nicht weiter :(
Meine Lösung:
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^3 [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n} i)^2 [/mm] = (in Vorlesung bewiesen) [mm] ((n(n+1))/2)^2
[/mm]
I-Anfang:
Für n=1 gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{1} i^3 [/mm] =1 = [mm] (\summe_{i=1}^{1} i)^2
[/mm]
I-Schritt:
I-Voraussetzung: Für ein beliebiges n [mm] \in [/mm] IN gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^3 [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n} i)^2 [/mm] = (in Vorlesung bewiesen) [mm] ((n(n+1))/2)^2
[/mm]
I-Behauptung: Für den Nachfolger n+1 gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} i^3 [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n+1} i)^2 [/mm] = (in Vorlesung bewiesen) [mm] (((n+1)(n+1+1))/2)^2
[/mm]
I-Beweis:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} i^3= \summe_{i=1}^{n} i^3 +(n+1)^3 [/mm] = [mm] ((n(n+1))/2)^2 [/mm] + [mm] (n+1)^3 [/mm] = [mm] ((n^2+n)/2)^2 [/mm] + [mm] n^3+3n^2+3n+1
[/mm]
So jetzt komme ich nicht weiter. Ist es wohl bis hier hin richtig?
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Hallo Lisa-19,
> Beweisen Sie: Die Summe der ersten n positiven Kubikzahlen
> ist gleich dem Quadrat der Summe der ersten n positiven
> Zahlen.
> Hallo,
> ich komme bei der Aufgabe nicht weiter :(
>
> Meine Lösung:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} i^3[/mm] = [mm](\summe_{i=1}^{n} i)^2[/mm] = (in
> Vorlesung bewiesen) [mm]((n(n+1))/2)^2[/mm]
>
> I-Anfang:
> Für n=1 gilt:
> [mm]\summe_{i=1}^{1} i^3[/mm] =1 = [mm](\summe_{i=1}^{1} i)^2[/mm]
>
> I-Schritt:
> I-Voraussetzung: Für ein beliebiges n [mm]\in[/mm] IN gilt:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} i^3[/mm] = [mm](\summe_{i=1}^{n} i)^2[/mm] = (in
> Vorlesung bewiesen) [mm]((n(n+1))/2)^2[/mm]
>
> I-Behauptung: Für den Nachfolger n+1 gilt:
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} i^3[/mm] = [mm](\summe_{i=1}^{n+1} i)^2[/mm] = (in
> Vorlesung bewiesen) [mm](((n+1)(n+1+1))/2)^2[/mm]
>
> I-Beweis:
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} i^3= \summe_{i=1}^{n} i^3 +(n+1)^3[/mm] =
> [mm]((n(n+1))/2)^2[/mm] + [mm](n+1)^3[/mm] = [mm]((n^2+n)/2)^2[/mm] + [mm]n^3+3n^2+3n+1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> So jetzt komme ich nicht weiter. Ist es wohl bis hier hin
> richtig?
Ja, nur etwas umständlich, wenn du alles ausmultiplizierst, siehst du nicht so gut, wie du auf das Ergebnis kommst
Klammere lieber aus:
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{n+1}i^3=...=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3$
[/mm]
Mit 4 erweitern
[mm] $=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{\blue{4}(n+1)^3}{\blue{4}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)(n+1)^2}{4}$
[/mm]
Nun [mm] $(n+1)^2$ [/mm] ausklammern und du bist schon fast am Ziel 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Lisa-19 |
Erst mal: Danke :)
Wie komme ich denn dadrauf, mit 4 zu erweitern?
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Hallo Lisa!
Hier wurde mit 4 erweitert, um mit dem 1. Bruch gleichnamig zu machen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Lisa-19 |
Ich verstehe wohl, dass man die beiden Brüche auf einen Nenner bringen will, aber wie kommt man dabei auf die 4?
Und wenn ich dann [mm] (n+2)^2 [/mm] aus klammere, sieht das dann so aus:
[mm] ((n+1)^2*(n^2+4(n+1))/2 [/mm] ?
Irgendwie finde ich meine Behauptung hier immernoch nicht wieder...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Lisa-19 |
ich meine /4 nicht /2
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Hallo Lisa,
es geht ja um die Rechenschritte ab hier:
[mm] \sum\limits_{i=1}^{n+1}i^3=...=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3
[/mm]
schachuzipus löst erst einmal die linke große Klammer auf:
[mm] \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3=\bruch{n^2(n+1)^2}{\blue{2^2}}+(n+1)^3
[/mm]
Dann bringt er (im gleichen Schritt) auch den rechten Term auf den Nenner [mm] \blue{2^2=4}:
[/mm]
[mm] =\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{\blue{4}(n+1)^3}{\blue{4}}
[/mm]
Auf einen Bruchstrich bringen und ausklammern:
[mm] =\bruch{\red{n^2}(n+1)^2+(\red{4(n+1)}(n+1)^2}{4}=\bruch{\red{(n^2+4(n+1))}(n+1)^2}{4}
[/mm]
Und jetzt musst Du "nur noch" die rote Klammer in eine andere Form bringen. Das Ergebnis, das Du im Induktionsschritt haben willst bzw. das zu zeigen ist, wäre dieses:
[mm] \bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=\left(\bruch{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2
[/mm]
Da bist Du doch nicht mehr weit entfernt...
lg,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Lisa-19 |
Ahhh...viele Dank! Jetzt habe ich es verstanden!! Danke :)
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