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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Lisa-19 |
| Aufgabe | | Für n [mm] \in [/mm] IN mit [mm] n\ge [/mm] 4 ist n! > [mm] 2^n [/mm] |
I-Anfang: Für n=4 gilt:
4! > [mm] 2^4
[/mm]
24 > 16 wahre Aussage
I-Schritt:
I-Voraussetzung: Für ein beliebiges n [mm] \in [/mm] IN mit n [mm] \ge [/mm] 4 gilt:
n! > [mm] 2^n
[/mm]
I-Behauptung: Für den Nachfolger n+1 gilt:
(n+1)! > 2^(n+1)
I-Beweis:
Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, was ich an (n+1)! verändern kann.
ich würde die I-Behauptung dann so betrachten: 2^(n+1)< n!
und dann beim Beweis:
2^(n+1)= [mm] 2^n [/mm] * 2 < n! *2
Jetzt weiß ich nicht wie ich weiter machen soll. Kann mir jemand helfen?
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Hallo Lisa-19,
> Für n [mm]\in[/mm] IN mit [mm]n\ge[/mm] 4 ist n! > [mm]2^n[/mm]
> I-Anfang: Für n=4 gilt:
> 4! > [mm]2^4[/mm]
> 24 > 16 wahre Aussage
>
> I-Schritt:
> I-Voraussetzung: Für ein beliebiges n [mm]\in[/mm] IN mit n [mm]\ge[/mm] 4
> gilt:
> n! > [mm]2^n[/mm]
>
> I-Behauptung: Für den Nachfolger n+1 gilt:
> (n+1)! > 2^(n+1)
>
> I-Beweis:
> Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, was ich an (n+1)!
> verändern kann.
> ich würde die I-Behauptung dann so betrachten: 2^(n+1)<
> n!
> und dann beim Beweis:
> 2^(n+1)= [mm]2^n[/mm] * 2 < n! *2
Jetzt mußt Du nur noch zeigen, für welche n gilt:
[mm]2n! < \left(n+1\right)![/mm]
> Jetzt weiß ich nicht wie ich weiter machen soll. Kann mir
> jemand helfen?
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Mi 21.01.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo MathePower,
> Hallo Lisa-19,
>
> > Für n [mm]\in[/mm] IN mit [mm]n\ge[/mm] 4 ist n! > [mm]2^n[/mm]
> > I-Anfang: Für n=4 gilt:
> > 4! > [mm]2^4[/mm]
> > 24 > 16 wahre Aussage
> >
> > I-Schritt:
> > I-Voraussetzung: Für ein beliebiges n [mm]\in[/mm] IN mit n [mm]\ge[/mm]
> 4
> > gilt:
> > n! > [mm]2^n[/mm]
> >
> > I-Behauptung: Für den Nachfolger n+1 gilt:
> > (n+1)! > 2^(n+1)
> >
> > I-Beweis:
> > Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, was ich an
> (n+1)!
> > verändern kann.
> > ich würde die I-Behauptung dann so betrachten: 2^(n+1)<
> > n!
> > und dann beim Beweis:
> > 2^(n+1)= [mm]2^n[/mm] * 2 < n! *2
>
> Jetzt mußt Du nur noch zeigen, für welche n gilt:
>
> [mm]2n! < \left(n+1\right)![/mm]
das wurde doch schon im Induktionsanfang gezeigt. Ich finde sie sollte lieber da weiter machen, wo sie aufgehört hat.
2n!<....<....<....<(n+1)n!=(n+1)!
Viele Grüße
Smarty
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Lisa-19 |
ich hab noch was rausgefunden:
(n+1)! = (n+1)*n*(n-1)*(n-2)*...*(2*1)=(n+1)*n! > [mm] (n+1)*2^n [/mm] wegen [mm] n\ge4 [/mm] ist [mm] (n+1)*2^n> 2*2^n
[/mm]
Ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Mi 21.01.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo Lisa,
> ich hab noch was rausgefunden:
> (n+1)! = (n+1)*n*(n-1)*(n-2)*...*(2*1)=(n+1)*n! >
> [mm](n+1)*2^n[/mm] wegen [mm]n\ge4[/mm] ist [mm](n+1)*2^n> 2*2^n[/mm]
> Ist das
> richtig?
genau das hatte ich gemeint ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße
Smarty
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Lisa-19 |
Vielen Dank :)
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