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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Di 16.09.2008 | | Autor: | LiliMa |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion.
[mm] 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(\bruch{n*(n+1)}{2})^{2} [/mm] |
Hallo liebes Forum,
ich habe folgendes gemacht:
Induktionsanfang:
[mm] 1=(\bruch{1*(1+1)}{2})^{2}=1
[/mm]
Induktionsschritt:
Wenn [mm] 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(\bruch{n*(n+1)}{2})^{2} [/mm] gilt, dann gilt auch [mm] 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}+(n+1)^{3}=(\bruch{(n+1)*(n+2)}{2})^{2}
[/mm]
Beweis:
[mm] 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}+(n+1)^{3}=(\bruch{n*(n+1)}{2})^{2}+(n+1)^{3}
[/mm]
Ab hier komme ich nicht mehr weiter, weil ich nicht weis, wie ich hier umformen soll.
Ist das überhaupt so richtig?
Viele Grüsse und danke
Lilli
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Hallo Lilli,
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion.
>
> [mm]1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(\bruch{n*(n+1)}{2})^{2}[/mm]
> Hallo liebes Forum,
>
> ich habe folgendes gemacht:
>
> Induktionsanfang:
>
> [mm]1=(\bruch{1*(1+1)}{2})^{2}=1[/mm]
>
> Induktionsschritt:
>
> Wenn [mm]1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(\bruch{n*(n+1)}{2})^{2}[/mm]
> gilt, dann gilt auch
> [mm]1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}+(n+1)^{3}=(\bruch{(n+1)*(n+2)}{2})^{2}[/mm]
>
> Beweis:
>
> [mm]1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}+(n+1)^{3}=(\bruch{n*(n+1)}{2})^{2}+(n+1)^{3}[/mm]
>
> Ab hier komme ich nicht mehr weiter, weil ich nicht weis,
> wie ich hier umformen soll.
>
> Ist das überhaupt so richtig?
ja, sehr gut soweit, du bist auf dem besten Wege und fast am Ziel, der Rest ist nur "geschickte" Umformung
Weiter: [mm] $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3$
[/mm]
Nun der eigentliche "Trick"
[mm] $=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{\blue{4}(n+1)^3}{\blue{4}}$
[/mm]
Klammere nun [mm] $\frac{(n+1)^2}{4}$ [/mm] aus ...
>
> Viele Grüsse und danke
> Lilli
LG
schachuzipus
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