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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Trixi19 |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Summe sn = 2,4,6,...,2 mal n, n [mm] \in \IN [/mm] *, d.h die Summe der ersten n geraden Zahlen.
a) Berechnen Sie s1, s2, s3,... so lange, bis Sie einen allgemein gültigen Ausdruck für sn vermuten können.
b) Beweisen Sie diese Vermutung durch vollständige Induktion. |
Hallo, ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe.
Mein Lösungsvorschlag:
a) s1= 2 = 1 mal 2
s2= 2+4 = 2 mal 3
s3= 2+4+6 = 3 mal 4
s4= 2+4+6+8 = 4 mal 5
somit sn = n mal (n+1)
b) I Induktionsanfang
Zu zeigen: A(1) s1= 1 mal (1+1)
s1= 1 mal 2, Bedingung I ist also erfüllt.
II Induktionsvorausetzung: A(k), d.h. sk = k mal (k+1)
Zu zeigen: A(k+1), d.h sk+1= k mal (k+1) +1
Nachweis: sk+1= k mal (k+1) +1 = k² + k +1
Mein Problem ist nun, dass ich mir bei der Aufgabe b überhaupt nicht sicher bin, ob diese richtig ist. Der Nachweis sieht auch irgendwie komisch aus..
Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen und mich auf einen eventuellen Fehler aufmerksam machen?
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß, Trixi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Framl |
Hi,
> Betrachten Sie die Summe sn = 2,4,6,...,2 mal n, n [mm]\in \IN[/mm]
> *, d.h die Summe der ersten n geraden Zahlen.
>
> a) Berechnen Sie s1, s2, s3,... so lange, bis Sie einen
> allgemein gültigen Ausdruck für sn vermuten können.
>
> b) Beweisen Sie diese Vermutung durch vollständige
> Induktion.
> Hallo, ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe.
>
> Mein Lösungsvorschlag:
> a) s1= 2 = 1 mal 2
> s2= 2+4 = 2 mal 3
> s3= 2+4+6 = 3 mal 4
> s4= 2+4+6+8 = 4 mal 5
>
> somit sn = n mal (n+1)
>
> b) I Induktionsanfang
> Zu zeigen: A(1) s1= 1 mal (1+1)
> s1= 1 mal 2, Bedingung I ist also erfüllt.
Das ist ok.
> II Induktionsvorausetzung: A(k), d.h. sk = k mal (k+1)
> Zu zeigen: A(k+1), d.h sk+1= k mal (k+1) +1
>
Das stimmt so nicht. Du muss zeigen [mm] $s_{k+1}=(k+1)\cdot [/mm] ((k+1)+1)=(k+1)(k+2)$.
Du musst [mm] $s_{k+1}$ [/mm] als einen Ausdruck schreiben, der aus [mm] $s_k$ [/mm] besteht (damit du die Induktionsvor. anwenden kannst) und einen anderen Teil. Das muss man sich dann überlegen:
[mm] $s_{k+1}=s_k+(2k+2$),
[/mm]
da $2k$ die $k-te$ Gerade Zahl darstellt. Um zur nächsten geraden Zahl zu kommen, musst du noch 2 addieren.
Also:
[mm] $s_{k+1}=s_k+(2k+2)\stackrel{IV}{=}k\cdot (k+1)+(2k+2)=k^2+k+2k+2=k^2+3k+2=(k+1)\cdot [/mm] (k+2)$
Genau das war zu zeigen.
> Nachweis: sk+1= k mal (k+1) +1 = k² + k +1
>
> Mein Problem ist nun, dass ich mir bei der Aufgabe b
> überhaupt nicht sicher bin, ob diese richtig ist. Der
> Nachweis sieht auch irgendwie komisch aus..
> Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen und mich
> auf einen eventuellen Fehler aufmerksam machen?
> Ich bin für jede Hilfe dankbar.
>
> Gruß, Trixi
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß Framl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 So 17.08.2008 | | Autor: | Trixi19 |
Vielen, vielen Dank für diese schnelle Antwort!
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