Vollständige Induktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 So 05.12.2004 | | Autor: | Mato |
Aufgabe: Beweisen Sie durch vollständige Induktion!
A(n): [mm] \summe_{i=0}^{n} a^i [/mm] < [mm] \bruch{1}{1-a} [/mm] ; 0<a<1 und n [mm] \in\IN
[/mm]
Mein Ansatz:
A(0): [mm] a^0<\bruch{1}{1-a} \gdw [/mm] 1-a< 1 wahr, denn 0<a<1
Ziel: A(n) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1)
[mm] \summe_{i=0}^{n+1} a^i< \bruch{1}{1-a}
[/mm]
Meine Frage: Wie komme ich jetzt auf den Induktionsschritt?
Ich bedanke mich im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 So 05.12.2004 | | Autor: | Palin |
Ansatz:
1/1-a + [mm] \summe_{i=1}^{n} a^{i} [/mm] < 1/1-a + 1/1-a
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> Aufgabe: Beweisen Sie durch vollständige Induktion!
> A(n): [mm]\summe_{i=0}^{n} a^i[/mm] < [mm]\bruch{1}{1-a}[/mm] ; 0<a<1 und n
> [mm]\in\IN
[/mm]
>
> Mein Ansatz:
> A(0): [mm]a^0<\bruch{1}{1-a} \gdw[/mm] 1-a< 1 wahr, denn 0<a<1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ziel: A(n) [mm]\Rightarrow[/mm] A(n+1)
> [mm]\summe_{i=0}^{n+1} a^i< \bruch{1}{1-a}[/mm]
Ich denke, der Trick besteht darin, nicht wie sonst oft die Summe aufzuteilen gemäß
[mm]\summe_{i=0}^{n+1} a^i=\summe_{i=0}^{n} a^i +a^{n+1}.[/mm]
Vielmehr solltest Du über den Zusammenhang
[mm]\summe_{i=0}^{n+1} a^i=1+a\summe_{i=0}^{n} a^i[/mm]
gehen. Vielleicht überlegst Du Dir selbst mal, warum das gilt und versuchst dann die Induktion noch mal.
Viele Grüße
Brigitte
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