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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Di 31.10.2006 | | Autor: | mistalan |
| Aufgabe | | Zeigen sie: [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k*k^2 =(-1)^n * \vektor{n+1 \\ 2}[/mm] |
Hallo,
obiges ist per Induktion zu zeigen. Mein Ansatz war es, die Summenschreibweise aufzulösen und alles etwas umzuformne, komme da aber irgendwo nicht mehr weiter. Gibt es auch einen einfacheren Weg mit der Summenschreibweise das zu ziegen ?
Danke und Gruß
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Di 31.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Alex
> Zeigen sie: [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^k*k^2 =(-1)^n * \vektor{n+1 \\ 2}[/mm]
>
Sicher, dass du das per Induktion zeigen willst? Ich vermute, es geht auch direkt.
[mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \vektor{n+1 \\ 2}
[/mm]
[mm] =(-1)^{n}*\bruch{(n+1)!}{2!(n-1)!}
[/mm]
[mm] =(-1)^{n}*\bruch{(n+1)*n*(n-1)*\cdots*3*2*1}{2*(n-1)*\cdots*2*1}
[/mm]
[mm] =(-1)^{n}*\bruch{(n+1)*n}{2}
[/mm]
Jetzt weisst du, oder kannst ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen dass [mm] \bruch{n(n+1)}{2}=1+2+\cdots+n [/mm] ist
Also
[mm] (-1)^{n}*\bruch{(n+1)*n}{2}
[/mm]
[mm] =(-1)^{n}*(1+2+3+4+\cdots+n)
[/mm]
[mm] =(-1)^{n}*1+(-1)^{n}*2+(-1)^{n}*3+\cdots+(-1)^{n}*n
[/mm]
[mm] =(-1)^{n}\summe_{k=1}^{n}k
[/mm]
Wenn du jetzt weisst, dass [mm] (-1)^{n}=-1=(-1)^{1}=(-1)^{3}... [/mm] für ungerade n
und [mm] (-1)^{n}=(-1)^{2}=(-1)^{2}... [/mm] =1 für gerade n ist, kannst du die [mm] (-1)^{n} [/mm] noch in die Summe hineinziehen.
Achte hierbei aber auch auf die Fallunterscheidung n gerade/n ungerade.
Hilft das weiter?
Marius
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