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| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{k+1} k^{2} [/mm] = [mm] (-1)^{n + 1}*\bruch{n(n + 1)}{2} [/mm] |
IA: bei n=1: [mm] (-1)^{1+1}*1^{2}=(-1)^{1+1}*\bruch{1(1+1)}{2} \Rightarrow [/mm] 1=1
klar
IS:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{k+1} k^{2}=(-1)^{n+1}*\bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
Man soll dann zeigen, dass [mm] (-1)^{n+1}*(-1)^{((n+1)+1)}*(\bruch{n(n+1)}{2}+(n+1)^{2})=(-1)^{((n+1)+1)}*\bruch{(n+1)((n+1)+1)}{2} [/mm] (richtig?)
Ich habe zuerst [mm] (-1)^{((n+1)+1)} [/mm] am Anfang stehen gelassen und die Addition am Ende durchgeführt. Mann hat dann folgendes: [mm] (-1)^{((n+1)+1)}*(-1)^{n+1}*\bruch{n(n+1)+2(n+1)^{2}}{2}. [/mm] Wie kann man jetzt [mm] (-1)^{n+1} [/mm] mit [mm] \bruch{n(n+1)+2(n+1)^{2}}{2} [/mm] multipilizieren? Oder ist das der falsche Weg? Habe ich velleicht irgendwo einen Fehler gemacht...? Bitte, helfen. Vielen Dank. Grüße.
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Hallo Tevulytis!
> Man soll dann zeigen, dass
> [mm](-1)^{n+1}*(-1)^{((n+1)+1)}*(\bruch{n(n+1)}{2}+(n+1)^{2})=(-1)^{((n+1)+1)}*\bruch{(n+1)((n+1)+1)}{2}[/mm]
Wie kommst Du hier auf den Term vor dem Gleichheitszeichen?
Im Induktionsschritt ist zu zeigen, dass gilt:
[mm]\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k+1}* k^2 \ = \ (-1)^{(n + 1)+1}*\bruch{(n+1)*[(n + 1)+1]}{2} \ = \ (-1)^{n+2}*\bruch{(n+1)*(n +2)}{2} [/mm]
Zerlege hier zunächst die Summe und wende dann die IV an:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k+1}* k^2 [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}* k^2 [/mm] \ + \ [mm] \summe_{k=n+1}^{n+1} (-1)^{k+1}* k^2$
[/mm]
$= \ [mm] \blue{\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}* k^2} [/mm] \ + \ [mm] (-1)^{n+1+1}* (n+1)^2$
[/mm]
$= \ [mm] \blue{(-1)^{n+1}*\bruch{n*(n + 1)}{2}} [/mm] \ + \ [mm] (-1)^{n+2}* (n+1)^2$
[/mm]
Klammere nun den Term [mm] $(-1)^{n+2}*\bruch{n+1}{2}$ [/mm] aus und fasse zusammen, und schon bist Du fertig.
Bedenke dabei, dass gilt: [mm] $(-1)^{-1} [/mm] \ = \ -1$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Mi 16.08.2006 | | Autor: | Tevulytis |
Gut erklärt. Habe ich alles verstanden. Danke!
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