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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	14:40 So 06.11.2005
Autor:	stevarino

Hallo

Hab folgendes Beispiel:
[mm] a_{n+1}= \wurzel{3a_{n}-2} a_{0}=\bruch{3}{2} [/mm] man soll zeigen ob die Folge konvergent ist und den Grenzwert bestimmen.

1.Monotonie zu zeigen [mm] a_{n+1} \gea_{n} [/mm]

[mm] \wurzel{3a_{n}-2}\gea_{n} [/mm]
[mm] 3a_{n}-2\gea_{n}^{2} [/mm]
0 [mm] \gea_{n}^{2}-3a_{n}+2 [/mm] ist wahr wenn [mm] a_{n} \in[1;2] [/mm]

jetzt muss ich mit Induktion beweisen das [mm] a_{n} \le2 [/mm] und [mm] a_{n+1} \le2 [/mm] ist

Induktionsanfang für n=0
[mm] a_{0}=\bruch{3}{2}\le2 [/mm] wahr

Induktionsbehauptung
[mm] a_{n} \le2 [/mm] und [mm] a_{n+1} \le2 [/mm]

Induktionsschluss
[mm] a_{n+1}= \wurzel{3a_{n}-2} [/mm]
[mm] a_{n+1}= \wurzel{3*2-2} [/mm] wegen [mm] a_{n} \le2 [/mm]
[mm] a_{n+1}= \wurzel{4} [/mm]
[mm] a_{n+1}= [/mm] 2

und für [mm] a_{n}\ge1 [/mm] würde ich das analog machen

stimmt die Induktion so oder hab ich was falsch gemacht
Danke

Stevo

Bezug

Vollständige Induktion: Sieht gut aus ... (fast)

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	11:32 Mo 07.11.2005
Autor:	Roadrunner

Hallo Stevo!

Das sieht ja schon gut aus ...

> 1.Monotonie zu zeigen [mm]a_{n+1} \ge a_{n}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{3a_{n}-2}\ge a_{n}[/mm]
> [mm]3a_{n}-2\ge a_{n}^{2}[/mm]
> 0 [mm]\ge a_{n}^{2}-3a_{n}+2[/mm] ist wahr wenn [mm]a_{n} \in[1;2][/mm]

Richtig!


> jetzt muss ich mit Induktion beweisen das [mm]a_{n} \le2[/mm] und
> [mm]a_{n+1} \le2[/mm] ist
>
> Induktionsanfang für n=0
> [mm]a_{0}=\bruch{3}{2}\le 2[/mm] wahr
>
> Induktionsbehauptung
> [mm]a_{n} \le 2[/mm] und [mm]a_{n+1} \le 2[/mm]
>
> Induktionsschluss
> [mm]a_{n+1}= \wurzel{3a_{n}-2}[/mm]
> [mm]a_{n+1}= \wurzel{3*2-2}[/mm] wegen [mm]a_{n} \le 2[/mm]

Kleine Korrektur! Hier muss stehen:

[mm] $a_{n+1} [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] \wurzel{3*2-2}$ [/mm] wegen Induktionsvoraussetzung

> [mm]a_{n+1} \ \red{\le} \ \wurzel{4}[/mm]
> [mm]a_{n+1} \ \red{\le} \ 2[/mm]

Siehe Korrekturen!


> und für [mm]a_{n}\ge 1[/mm] würde ich das analog machen

Genau!

> stimmt die Induktion so oder hab ich was falsch gemacht

Von den Korrekturen abgesehen, alles okay!

Gruß vom
Roadrunner