Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:36 Mi 30.04.2014 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | | Seien [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{n} [/mm] reelle Zahlen mit [mm] a_{i} \ge [/mm] 0 und [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} \le [/mm] 1. Dann gilt [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1 + [mm] a_{i} \le [/mm] 1 + 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] |
Hallo Leute! 
Ich hab eine Frage zu folgender Aufgabe. Und zwar versuche ich sie, durch vollständige Induktion zu beweisen - in der Hoffnung, dass das so funktioniert.
IA: Für n=1 stimmt die Behauptung, denn 1 + [mm] a_{1} \le [/mm] 1 + [mm] 2a_{2} [/mm]
Somit lautet meine Induktionsvorraussetzung:
Seien [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{n} [/mm] reelle Zahlen mit [mm] a_{i} \ge [/mm] 0 und [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} \le [/mm] 1. Dann gilt [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1 + [mm] a_{i}) \le [/mm] 1 + 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} [/mm]
Induktionsschritt: n -> n+1
Zu Zeigen: Seien [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{n+1} [/mm] reelle Zahlen mit [mm] a_{i} \ge [/mm] 0 und [mm] \summe_{i=1}^{n+1} a_{i} \le [/mm] 1. Dann gilt [mm] \produkt_{i=1}^{n+1} [/mm] (1 + [mm] a_{i}) \le [/mm] 1 + 2 [mm] \summe_{i=1}^{n+1} a_{i}. [/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1} [/mm] (1 + [mm] a_{i}) [/mm] =
(1 + [mm] a_{n+1}) [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1 + [mm] a_{i}) [/mm]
[mm] \le [/mm] (1 + [mm] a_{n+1}) [/mm] * (1 + 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}) [/mm]
= 1 + 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] (a_{n+1}) [/mm] * 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} [/mm]
= 1 + 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] + [mm] 2a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] (a_{n+1}) [/mm] * 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} [/mm]
= 1 + 2 [mm] \summe_{i=1}^{n+1} a_{i} [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] (a_{n+1}) [/mm] * 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
Nun kann ich ja folgern, dass:
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1} [/mm] (1 + [mm] a_{i}) \le [/mm] 1 + 2 [mm] \summe_{i=1}^{n+1} a_{i} [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] (a_{n+1}) [/mm] * 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}.
[/mm]
Bestenfalls ist nun - [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] (a_{n+1}) [/mm] * 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} \le [/mm] 0.
Denn somit würde gelten:
Ist [mm] \produkt_{i=1}^{n+1} [/mm] (1 + [mm] a_{i}) \le [/mm] 1 + 2 [mm] \summe_{i=1}^{n+1} a_{i} [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] (a_{n+1}) [/mm] * 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}, [/mm]
so ist sowieso [mm] \produkt_{i=1}^{n+1} [/mm] (1 + [mm] a_{i}) \le [/mm] 1 + 2 [mm] \summe_{i=1}^{n+1} a_{i}
[/mm]
Allerdings habe ich nun eine Frage zum zweiten Fall: Ich will zeigen, dass - [mm] a_{n+1} [/mm] (1 - 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}) \le [/mm] 0 ist. - [mm] a_{n+1} [/mm] ist ja laut Vorraussetzung [mm] \le [/mm] 0. Allerdings bin ich mir bei der zweiten Klammer (#) , welche idealerweise [mm] \ge [/mm] 0 ist, damit [mm] a_{n+1} [/mm] (1 - 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}) \le [/mm] 0, nicht ganz sicher.
Es folgt aus der Vorraussetzung, dass [mm] \summe_{i=1}^{n+1} a_{i} \le [/mm] 1 <=> [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} \le [/mm] 1 <=> [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} \le [/mm] 1 - [mm] a_{n+1} [/mm] <=> 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} \le [/mm] 2 - [mm] 2a_{n+1}
[/mm]
Somit ist: (#) (1 - 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}) \ge [/mm] 0 <=> 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} \le [/mm] 1 <=> 2 - [mm] 2a_{n+1} \ge [/mm] 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} \le [/mm] 1 <=> 1 - [mm] a_{n+1} \ge \summe_{i=1}^{n} a_{i} \le [/mm] 1/2
Alles in allem bekomme ich heraus, dass meine Klammer (~1) "größer gleich" null ist, für den Fall, dass
1) [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} \le [/mm] 1/2 oder
2) [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} \le [/mm] 1 - [mm] a_{n+1} [/mm] <=> [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} \le [/mm] 1, da [mm] a_{n+1} \ge [/mm] 0. Diese Summe ist ja laut Vorraussetzung sowieso [mm] \le [/mm] 1, und somit müsste es ja stimmen, dass die Klammer (#) [mm] \ge [/mm] 0 ist und insgesamt die Behauptung gezeigt ist.
Kann ich das denn alles in allem so abschätzen, oder sehr ihr irgendwo einen markanten Fehler? :)
Viele Grüße,
Christian!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Mi 30.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn in der Beh. nicht steht, dass das für alle n gilt kann ja [mm] a_{n+1}=1 [/mm] sein.
nimm die harmonische Summe die ist für [mm] a_i=1(i+1) [/mm] und n=2 <1 ab n=3 dann >1.
Also kannst du keine vollstandige Induktion machen. die geht nur, wenn da für alle [mm] n\in\IN [/mm] steht.
Hinweis: nimm mal den ln des Produks und benutze ln(1+x)< 1+x
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Mi 30.04.2014 | | Autor: | X3nion |
Hallo!
Ich bin momentan in der dritten Woche von Analysis I, von dem her haben wir den Logarithmus noch nicht behandelt und folglich dürfen wir ihn auch nicht anwenden. Funktioniert diese Aufgabe denn wirklich nicht durch vollständige Induktion? Wie würde sie denn sonst funktionieren?
Viele Grüße,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Do 01.05.2014 | | Autor: | X3nion |
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Hallo,
mir Fallen zwei Lösungsmöglichkeiten ein:
Einmal über ln(1+x)<x oder über die ungleichung vom arithm. und geom. Mittel.
Für beides brauche ich noch [mm] $$e^x\leq [/mm] 1+2x$$ für $$0 [mm] \leq [/mm] x [mm] \leq [/mm] 1$$ was z.B. mit einer Kuvendiskussion geht.
Ich sehe keinen Weg wie hier vollst. Ind. anwendbar sein soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
was hälst du von folgendem Lösungsweg :
Links alles ausmultiplizieren, diejenigen Summanden, die rechts nicht vorkommen, weglassen und damit die Abschätzung erhalten.
Gruß Sax.
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Hi,
wir sollen doch nach oben sbschätzen, nicht nach unten?
Daher wäre weglassen pos. Terme keine so gute Idee.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Fr 02.05.2014 | | Autor: | X3nion |
Hallo!
Ist denn nicht ln(1+x) [mm] \le [/mm] x ? ln(x) ist ja konvex und somit [mm] \le [/mm] jeder Tangente. Insbesondere wäre ja doch ln(1+x) [mm] \le [/mm] x. Denn für x=0 wäre y=x ja die Tangente an der Stelle x=0. Da ln(1+x) konvex ist, liegt die Funktion ja dann auch immer unter der Geraden y=x oder berührt sie eben, oder?
Ich würde das ganze nun so angehen:
ln [mm] \produkt_{i=1}^{n} (1+a_{i}) [/mm] = ln [mm] (1+a_{1}) [/mm] + ln [mm] (1+a_{2}) [/mm] + ... + ln [mm] (1+a_{n}) \le a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] a{i}.
Es folgt nun, wenn man die Ungleichung mit der Umkehrfunktion von ln umschreibt:
[mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1+a{i}) [mm] \le e^{\summe_{i=1}^{n} a{i}}.
[/mm]
Und [mm] e^{\summe_{i=1}^{n} a{i}} \le [/mm] 1 + 2 [mm] e^{\summe_{i=1}^{n} a{i}} [/mm] mit 0 [mm] \le \summe_{i=1}^{n} [/mm] a{i} [mm] \le [/mm] 1. Dies folgt aus: [mm] e^{x} \le [/mm] 1 + 2x für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1.
Und somit ist auch [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1+a{i}) [mm] \le [/mm] 1 + 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] a{i}.
Nocn zu zeigen: [mm] e^{x} \le [/mm] 1 + 2x für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1.
[mm] e^{x} [/mm] ist konkav. Die Tangente in x=0 ist y=1+x. Somit ist z = 1+2x eine Sekante, welche für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] t größer gleich [mm] e^{x} [/mm] ist mit t [mm] \ge [/mm] 0 Nun ergibt sich für [mm] e^{x} \le [/mm] 1+2x für x=1:
[mm] e^{1} \le [/mm] 1 + 2 <=> e [mm] \le [/mm] 3. Da [mm] e^{x} [/mm] konkav ist, ist z=1+2x [mm] \ge e^{x} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Fr 02.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 So 04.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
>
> Ich bin momentan in der dritten Woche von Analysis I, von
> dem her haben wir den Logarithmus noch nicht behandelt und
Hallo Christian,
dürft ihr denn Grundrechenarten benutzen oder müsst ihr damit bis zum 3. Semester warten?
Sofern nicht explizit eine vollständige Induktion verlangt wurde und sofern nicht Schulstoff der Klasse 10 ausdrücklich verboten wurde, spricht nichts gegen eine Verwendung von Logarithmen.
Gruß Abakus
> folglich dürfen wir ihn auch nicht anwenden. Funktioniert
> diese Aufgabe denn wirklich nicht durch vollständige
> Induktion? Wie würde sie denn sonst funktionieren?
>
> Viele Grüße,
> Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 So 04.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> > Hallo!
> >
> > Ich bin momentan in der dritten Woche von Analysis I,
> von
> > dem her haben wir den Logarithmus noch nicht behandelt
> und
> Hallo Christian,
> dürft ihr denn Grundrechenarten benutzen oder müsst ihr
> damit bis zum 3. Semester warten?
>
> Sofern nicht explizit eine vollständige Induktion verlangt
> wurde und sofern nicht Schulstoff der Klasse 10
> ausdrücklich verboten wurde, spricht nichts gegen eine
> Verwendung von Logarithmen.
der Logarithmus ist schon etwas speziell, und genausowenig trivial wie
die Exponentialfunktion. Bei meinem Professor wäre es hier eben genau
anders herum gewesen:
Solange der Logarithmus in der Vorlesung noch nicht explizit eingeführt
ist, müsste man ihn selber einführen, oder auf eine Lösung, die auf
solch einer Anwendung basiert, verzichten - bzw. normalerweise hätte
er dann vielleicht "etwas mehr" als 50% der erreichbaren Punkte noch
dafür gegeben. Nach dem Motto: "Wenigstens hat sich jemand überhaupt
Gedanken gemacht, und alleine das sollte man belohnen..."
Den einzigen Hinweis, den man in dieser Richtung geben könnte, wäre
es, den Dozenten selbst mal zu fragen:
"Werden Lösungen, für die das Werkzeug noch nicht explizit in der
Vorlesung gegeben wurde, akzeptiert oder wenigstens teilweise
anerkannt?"
P.S. Diese Ansicht meines Profs. hat durchaus auch einen Sinn: Z.B. viele
Induktionsaufgaben, die man lösen soll, um eben Induktion zu üben,
kann man oft auch anders lösen, wenn man sich z.B. ein wenig mit
Kurvendiskussion auskennt. Und wenn Induktionsaufgaben geübt werden
sollen, dann sollen eben Induktionsaufgaben geübt werden und nicht
andere Methoden. 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Mo 05.05.2014 | | Autor: | X3nion |
Hallo!
Ich vermute nämlich auch, dass wir den Logarithmus noch nicht benutzen dürfen, da er eben noch nicht Bestandteil der Vorlesung war. Die Vorlesung beginnt ja bei "null", und somit kennen wir ja eigentlich den Logarithmus eigentlich noch gar nicht ... auch wenn wir ihn in der Schule natürlich behandelt haben!
Bisher haben wir lediglich die vollständige Induktion, die Körper-Axiome sowie die Anordnungs-Axiome behandelt. Somit muss es ja anhand dieser irgendwie funktionieren! ;)
Lg Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 So 04.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> wenn in der Beh. nicht steht, dass das für alle n gilt
> kann ja [mm]a_{n+1}=1[/mm] sein.
das verstehe ich nicht.
> nimm die harmonische Summe die ist für [mm]a_i=1(i+1)[/mm] und n=2
> <1 ab n=3 dann >1.
> Also kannst du keine vollstandige Induktion machen. die
> geht nur, wenn da für alle [mm]n\in\IN[/mm] steht.
Natürlich ist die Aufgabe hier auch als Induktionsaufgabe geeignet. Das
hat doch gar nichts mit der Fragestellung zu tun; und ich könnte sie auch
Deinen Wünschen entsprechend umformulieren:
"Zeigen Sie:
Ist $n [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig, aber fest, so gilt:
Sind [mm] $a_1,...,a_n$ [/mm] reelle Zahlen mit..."
Hier gibt's aber oft einen 'Hänger' im Induktionsschritt: Wenn man die
[mm] $a_1,...,a_{n+1}$ [/mm] hat, so sollte man gucken, ob die [mm] $a_1,...,a_n$ [/mm] dann auch
die Voraussetzungen erfüllen, die laut Aufgabe vorgegeben sind.
Übrigens, um das Ganze mal ganz trivial zu machen:
Behauptung: Sind [mm] $a_1,...,a_n$ [/mm] alle [mm] $\ge 0\,,$ [/mm] so auch
[mm] $\sum_{k=1}^n a_k \ge 0\,.$
[/mm]
Beweis: Ist [mm] $n=1\,,$ [/mm] so ist alles klar.
$n [mm] \to [/mm] n+1:$ Seien nun [mm] $a_1,...,a_n,a_{n+1}$ [/mm] alle [mm] $\ge 0\,.$ [/mm] Dann sind insbesondere
auch
[mm] $a_1,...,a_n$ [/mm] alle [mm] $\ge [/mm] 0$
und nach I.V. dann
[mm] $\sum_{k=1}^n a_k \ge 0\,.$
[/mm]
Mit
[mm] $\sum_{k=1}^{\red{n+1}}a_k=(a_1+...+a_n)+a_{n+1}= \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)+a_{n+1} \ge [/mm] 0+0=0$ (man beachte hier das Assoziativgesetz
der Addition!)
folgt dann wegen [mm] $a_{n+1} \ge [/mm] 0$ die Behauptung.
Und diese (triviale) Aussage beweist fast keiner mit Induktion - obwohl
man aber wissen sollte, dass das so geht (ich frage mich mittlerweile
manchmal, wie vielen das gar nicht klar ist, dass man diese Aussage auch
sauber beweisen kann/können sollte). Und da habe ich in der Formulierung
auch kein "für alle $n [mm] \in \IN$" [/mm] mit verwendet.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Mo 05.05.2014 | | Autor: | X3nion |
Hallo Marcel!
Ich finde es wirklich sehr interessant, was man so alles durch Induktion beweisen kann! Und den Beweis kann ich durchaus sehr gut nachvollziehen!
Ich hab dir eine private Nachricht wegen dem Skriptum geschickt!
Viele Grüße
CHristian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Do 01.05.2014 | | Autor: | X3nion |
Ist denn diese Aufgabe etwa wirklich so schwer, dass niemand von euch weiß wie man sie lösen kann? :)
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Es kann auch sehr viele andere Gründe dafür geben, dass du keine Antwort kriegst. Z.B. eine schlecht gewählte Überschrift, verwirrende Eröffnungspost usw...
Oder die Aufgabe ist vielen zu einfach, oder, oder, oder ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Fr 09.05.2014 | | Autor: | X3nion |
Hallo Leute!
Es gibt eine recht profane Erklärung für diese Aufgabe. Nach einer Diskussion von Übungsleitern und Professor, welche ich mit angestoßen habe, kam Folgendes heraus: diese Aufgabe existiert in der neuesten Auflage des Übungsbuches zur Analysis I (Forster) gar nicht mehr, was auf einen Autorenfehler schließt. Die Vorraussetzung sollte wahrscheinlich Summe der [mm] a_i's [/mm] <= 1/2 sein. Nach dem Professor gilt die Aufgabe jetzt als für uns nicht lösbar!
Ich fand es jedoch sehr interessant, mich damit zu beschäftigen, und danke euch für eure Mühe!
Viele Grüße,
Christian!
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