Vollständig, Funktionenraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 So 15.03.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Seien (V, [mm] ||.||_1) [/mm] und (W, [mm] ||.||_2) [/mm] normierte Räume.
Zeigen Sie, dass (L(V,W), [mm] ||.||_{op})ein [/mm] normierter Raum ist.
Ist (W, [mm] ||.||_2) [/mm] vollständig so ist auch (L(V,W), [mm] ||.||_{op}) [/mm] vollständig. |
Hallo,
Die Axiome habe ich erfolgreich gezeigt, ich bin mir nur beim ersten Axiom bei einem Teil unsicher:
M1) [mm] ||L||_{op} \ge [/mm] 0 , [mm] ||L||_{op}= [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] L=0
Dass [mm] ||L||_{op} \ge [/mm] 0 ist klar, da [mm] ||Lx_2||\ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V
Wenn L=0 ist [mm] ||L(x)||_2 =||0||_2=0 \forall x\in [/mm] V also auch für das supremum über die x [mm] \in [/mm] V mit [mm] ||x||_1 \le [/mm] 1
Aber wenn [mm] ||L||_{op}=0 [/mm] d.h. [mm] ||Lx||_2 [/mm] =0 [mm] \forall x\in [/mm] V [mm] mit||x||_1 \le [/mm] 1
Woraus folgt :L(x)=0 [mm] \forall x\in [/mm] V [mm] mit||x||_1 \le [/mm] 1
Aber das heißt doch noch nicht, dass L die 0 funktion ist? L ist doch nur bei [mm] ||x||_1 \le [/mm] 1 immer 0?
Zur Vollständigkeit:
Sei [mm] (L_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Cauchyfolge in L(V,w)
Für beliebige x [mm] \in [/mm] V bezeichne ich als [mm] (L_n(x))_{n\in\IN} [/mm] die Bildfolge. Dise ist ebenfalls eine Cauchyfolge denn:
[mm] ||L_n(x)-L_m(x)||_2 [/mm] = [mm] ||L_n-L_m (x)||_2 \le ||L_n-L_m||_{op} ||x||_1
[/mm]
Da W vollständig ist existiert ein Grenzwert L(x): [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} L_n(x)=L(x)
[/mm]
0) Konvergenz bezüglich Operatornorm gegen f
[mm] ||f-f_n||_{op} [/mm] = [mm] sup_{||x||\le 1} ||f(x)-f_n(x)||_2 \le sup_{||x||\le 1} \epsilon [/mm] = [mm] \epsilon
[/mm]
1) L linear
[mm] L(\lambda_1 x_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 x_2)=\lim_{n\rightarrow\infty}(L_n(\lambda_1 x_1 +\lambda_2 x_2))=\lim_{n\rightarrow\infty} (\lambda_1 L_n(x_1)) +\lim_{n\rightarrow\infty} (\lambda_2 L_n(x_2)) [/mm] = [mm] \lambda_1 f(x_1) [/mm] + [mm] \lambda_2 f(x_2)
[/mm]
2) L stetig
Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge in V, die gegen a [mm] \in [/mm] V konvergiert
[mm] L(x)=\lim_{n\rightarrow \infty} L_n(a)=\lim_{k\rightarrow\infty} \lim_{n\rightarrow\infty} L_n(x_k)=\lim_{k\rightarrow\infty} L(x_k)
[/mm]
Passt das so?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 So 15.03.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Hallo,
> Die Axiome habe ich erfolgreich gezeigt, ich bin mir nur
> beim ersten Axiom bei einem Teil unsicher:
> M1) [mm]||L||_{op} \ge[/mm] 0 , [mm]||L||_{op}=[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] L=0
>
> Dass [mm]||L||_{op} \ge[/mm] 0 ist klar, da [mm]||Lx_2||\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x
> [mm]\in[/mm] V
> Wenn L=0 ist [mm]||L(x)||_2 =||0||_2=0 \forall x\in[/mm] V also
> auch für das supremum über die x [mm]\in[/mm] V mit [mm]||x||_1 \le[/mm] 1
>
> Aber wenn [mm]||L||_{op}=0[/mm] d.h. [mm]||Lx||_2[/mm] =0 [mm]\forall x\in[/mm] V
> [mm]mit||x||_1 \le[/mm] 1
> Woraus folgt :L(x)=0 [mm]\forall x\in[/mm] V [mm]mit||x||_1 \le[/mm] 1
> Aber das heißt doch noch nicht, dass L die 0 funktion ist?
> L ist doch nur bei [mm]||x||_1 \le[/mm] 1 immer 0?
Sei $x [mm] \neq [/mm] 0$ beliebig. Betrachte nun [mm] $y=\frac{x}{||x||_1}$. [/mm] Was kannst du über $Ly$ sagen?
> Zur Vollständigkeit:
>
> Sei [mm](L_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Cauchyfolge in L(V,w)
> Für beliebige x [mm]\in[/mm] V bezeichne ich als
> [mm](L_n(x))_{n\in\IN}[/mm] die Bildfolge. Dise ist ebenfalls eine
> Cauchyfolge denn:
> [mm]||L_n(x)-L_m(x)||_2[/mm] = [mm]||L_n-L_m (x)||_2 \le ||L_n-L_m||_{op} ||x||_1[/mm]
>
> Da W vollständig ist existiert ein Grenzwert L(x):
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} L_n(x)=L(x)[/mm]
> 0) Konvergenz
> bezüglich Operatornorm gegen f
> [mm]||f-f_n||_{op}[/mm] = [mm]sup_{||x||\le 1} ||f(x)-f_n(x)||_2 \le sup_{||x||\le 1} \epsilon[/mm]
> = [mm]\epsilon[/mm]
> 1) L linear
> [mm]L(\lambda_1 x_1[/mm] + [mm]\lambda_2 x_2)=\lim_{n\rightarrow\infty}(L_n(\lambda_1 x_1 +\lambda_2 x_2))=\lim_{n\rightarrow\infty} (\lambda_1 L_n(x_1)) +\lim_{n\rightarrow\infty} (\lambda_2 L_n(x_2))[/mm]
> = [mm]\lambda_1 f(x_1)[/mm] + [mm]\lambda_2 f(x_2)[/mm]
> 2) L stetig
> Sei [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge in V, die gegen a [mm]\in[/mm] V
> konvergiert
> [mm]L(x)=\lim_{n\rightarrow \infty} L_n(a)=\lim_{k\rightarrow\infty} \lim_{n\rightarrow\infty} L_n(x_k)=\lim_{k\rightarrow\infty} L(x_k)[/mm]
>
> Passt das so?
Die Idee ist richtig, das was du in 1)-3) machst, ist aber ziemlich ungenau. Außerdem hast du a mit x vertauscht und f mit L.
> LG,
> sissi
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mo 16.03.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deine Antwort!
> Sei $ x [mm] \neq [/mm] 0 $ beliebig. Betrachte nun $ [mm] y=\frac{x}{||x||_1} [/mm] $. Was kannst du über Ly sagen?
ZZ.: [mm] ||L||_{op} [/mm] =0 [mm] \Rightarrow [/mm] L=0
Ist [mm] ||L||_{op} [/mm] =0, d.h. [mm] ||Lx||_2=0 \forall x\in [/mm] V mit [mm] ||x||_1 \le [/mm] 1
[mm] \Rightarrow [/mm] L=0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V mit [mm] x_1 \le [/mm] 1
Sei x [mm] \not=0 [/mm] beliebig und [mm] y=\frac{x}{||x||_1}
[/mm]
[mm] 0=Ly=L\frac{x}{||x||_1} [/mm] = [mm] ||x||_1 [/mm] L(x) [mm] \Rightarrow [/mm] Lx =0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V
> Die Idee ist richtig, das was du in 1)-3) machst, ist aber ziemlich ungenau. Außerdem hast du a mit x vertauscht und f mit L.
Nochmals zur Vollständigkeit:
Sei [mm] (L_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Cauchyfolge in L(v,W):
[mm] \forall \epsilon>0 \exists \overline{N}: \forall [/mm] n,m [mm] \ge \overline{N} [/mm] : [mm] ||L_n [/mm] - [mm] L_m||_{op} [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Für beliebige x [mm] \in [/mm] V sei die Bildfolge gegeben durch [mm] (L_n(x))_{n\in \IN}, [/mm] dies ist eine Cauchyfolge:
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig, N:= [mm] \overline{N}, \forall [/mm] n,m [mm] \ge [/mm] N:
[mm] ||L_n(x)-L_m(x)||_2 [/mm] = [mm] ||(L_n [/mm] - [mm] L_m) (x)||_2 \le ||L_n [/mm] - [mm] L_m||_{op} ||x||_1 [/mm] < [mm] \epsilon ||x||_1
[/mm]
Frage WIe kann ich sicher sein, dass [mm] ||x||_1 [/mm] nicht unendlich ist?
Da W vollständig ist existiert ein Grenzwert L(x):= [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} L_n(x).
[/mm]
1) L linear
$ [mm] L(\lambda_1 x_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 x_2)=\lim_{n\rightarrow\infty}(L_n(\lambda_1 x_1 +\lambda_2 x_2))=lim_{n\rightarrow \infty} (\lambda_1 L_n(x_1)+\lambda_2 L_n(x_2))=\lim_{n\rightarrow\infty} (\lambda_1 L_n(x_1)) +\lim_{n\rightarrow\infty} (\lambda_2 L_n(x_2)) [/mm] $= $ [mm] \lambda_1 L(x_1) [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 L(x_2) [/mm] $
Findest du das noch immer zu ungenau?
2) L stetig
Sei [mm] (x_k)_{k\in\IN} [/mm] eine Folge mit [mm] \lim_{k\rightarrow\infty} x_k=a
[/mm]
[mm] L(a)=\lim_{n\rightarrow\infty} L_n(a)
[/mm]
Da [mm] L_n [/mm] stetig gilt [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: L_n(a)=\lim_{k\rightarrow\infty} L_n(x_k)
[/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} L_n(a) [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \lim_{k\rightarrow\infty} L_n(x_k) \overbrace{=}^{(\*)}\lim_{k\rightarrow\infty} \lim_{n\rightarrow\infty} L_n(x_k) [/mm] = [mm] \lim_{k\rightarrow\infty} L(x_k)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] L stetige Funktion
Frage [mm] (\*) [/mm] Darf ich die Limes vertauschen? Hab da nicht wirklich einen Satz gefunden, der das aussagt.
3) Konvergenz
Sei [mm] \epsilon [/mm] >0 beliebig
Da [mm] L_n [/mm] (x) gegen L(x) konvergiert existiert ein [mm] n_0 [/mm] sodass [mm] ||L_n(x) [/mm] - [mm] L(x)||_2 \le \epsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_0.
[/mm]
Wähle [mm] N:=n_0. [/mm] So gilt [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N:
[mm] ||L_n-L||_{op} [/mm] = [mm] sup_{||x||\le 1} ||L_n(x) [/mm] - [mm] L(x)||_2 \le sup_{||x||\le 1} \epsilon= \epsilon
[/mm]
Ich würde mich freuen, wenn du mir genauer sagst, was jetzt noch an welchen Stellen ungenau ist und wie gesagt zwei Fragen sind aufgekommen.
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Mo 16.03.2015 | | Autor: | andyv |
> Hallo,
> Danke für deine Antwort!
>
> > Sei [mm]x \neq 0[/mm] beliebig. Betrachte nun [mm]y=\frac{x}{||x||_1} [/mm].
> Was kannst du über Ly sagen?
> ZZ.: [mm]||L||_{op}[/mm] =0 [mm]\Rightarrow[/mm] L=0
> Ist [mm]||L||_{op}[/mm] =0, d.h. [mm]||Lx||_2=0 \forall x\in[/mm] V mit
> [mm]||x||_1 \le[/mm] 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] L=0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] V mit [mm]x_1 \le[/mm] 1
> Sei x [mm]\not=0[/mm] beliebig und [mm]y=\frac{x}{||x||_1}[/mm]
> [mm]0=Ly=L\frac{x}{||x||_1}[/mm] = [mm]||x||_1[/mm] L(x) [mm]\Rightarrow[/mm] Lx =0
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] V
>
> > Die Idee ist richtig, das was du in 1)-3) machst, ist aber
> ziemlich ungenau. Außerdem hast du a mit x vertauscht und
> f mit L.
> Nochmals zur Vollständigkeit:
> Sei [mm](L_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Cauchyfolge in L(v,W):
> [mm]\forall \epsilon>0 \exists \overline{N}: \forall[/mm] n,m [mm]\ge \overline{N}[/mm]
> : [mm]||L_n[/mm] - [mm]L_m||_{op}[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
> Für beliebige x [mm]\in[/mm] V sei die Bildfolge gegeben durch
> [mm](L_n(x))_{n\in \IN},[/mm] dies ist eine Cauchyfolge:
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig, N:= [mm]\overline{N}, \forall[/mm] n,m [mm]\ge[/mm]
> N:
> [mm]||L_n(x)-L_m(x)||_2[/mm] = [mm]||(L_n[/mm] - [mm]L_m) (x)||_2 \le ||L_n[/mm] -
> [mm]L_m||_{op} ||x||_1[/mm] < [mm]\epsilon ||x||_1[/mm]
> Frage WIe kann ich
> sicher sein, dass [mm]||x||_1[/mm] nicht unendlich ist?
Die Norm von einem Vektor ist doch immer endlich.
> Da W vollständig ist existiert ein Grenzwert L(x):=
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} L_n(x).[/mm]
>
> 1) L linear
> [mm]L(\lambda_1 x_1[/mm] + [mm]\lambda_2 x_2)=\lim_{n\rightarrow\infty}(L_n(\lambda_1 x_1 +\lambda_2 x_2))=lim_{n\rightarrow \infty} (\lambda_1 L_n(x_1)+\lambda_2 L_n(x_2))=\lim_{n\rightarrow\infty} (\lambda_1 L_n(x_1)) +\lim_{n\rightarrow\infty} (\lambda_2 L_n(x_2)) [/mm]=
> [mm]\lambda_1 L(x_1)[/mm] + [mm]\lambda_2 L(x_2)[/mm]
> Findest du das noch immer zu ungenau?
Was sind [mm] $x_1,x_2,\dots$? [/mm] Zu den Gleichheiten könnte man außerdem auch noch ein Wort verlieren.
> 2) L stetig
> Sei [mm](x_k)_{k\in\IN}[/mm] eine Folge mit
> [mm]\lim_{k\rightarrow\infty} x_k=a[/mm]
>
> [mm]L(a)=\lim_{n\rightarrow\infty} L_n(a)[/mm]
> Da [mm]L_n[/mm] stetig gilt
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN: L_n(a)=\lim_{k\rightarrow\infty} L_n(x_k)[/mm]
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} L_n(a)[/mm] =
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \lim_{k\rightarrow\infty} L_n(x_k) \overbrace{=}^{(\*)}\lim_{k\rightarrow\infty} \lim_{n\rightarrow\infty} L_n(x_k)[/mm]
> = [mm]\lim_{k\rightarrow\infty} L(x_k)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] L stetige
> Funktion
> Frage [mm](\*)[/mm] Darf ich die Limes vertauschen? Hab da nicht
> wirklich einen Satz gefunden, der das aussagt.
Das funktioniert schon, aber um das etwas abzukürzen: [mm] $(||L_n||)$ [/mm] ist eine Cauchyfolge, also auch beschränkt. Unter Verwendung der Stetigkeit der Norm zeige die Beschränktheit von L.
> 3) Konvergenz
> Sei [mm]\epsilon[/mm] >0 beliebig
> Da [mm]L_n[/mm] (x) gegen L(x) konvergiert existiert ein [mm]n_0[/mm]
> sodass [mm]||L_n(x)[/mm] - [mm]L(x)||_2 \le \epsilon \forall[/mm] n [mm]\ge n_0.[/mm]
>
> Wähle [mm]N:=n_0.[/mm] So gilt [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N:
> [mm]||L_n-L||_{op}[/mm] = [mm]sup_{||x||\le 1} ||L_n(x)[/mm] - [mm]L(x)||_2 \le sup_{||x||\le 1} \epsilon= \epsilon[/mm]
Hier gibt es ein kleines (oder eher großes) Problem: N hängt von x ab!
Stattdessen betrachte $||L_nx-Lx||$ und verwende die Definition von L, sowie abermals die Stetigkeit der Norm.
> Ich würde mich freuen, wenn du mir genauer sagst, was
> jetzt noch an welchen Stellen ungenau ist und wie gesagt
> zwei Fragen sind aufgekommen.
>
> LG,
> sissi
Liebe Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Di 17.03.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo nochmal.
> Das funktioniert schon, aber um das etwas abzukürzen: $ [mm] (||L_n||) [/mm] $ ist eine Cauchyfolge, also auch beschränkt. Unter Verwendung der Stetigkeit der Norm zeige die Beschränktheit von L.
Zur Stetigkeit: Der Beweis passt und du möchtest einen Alternativ-Beweis vorschlagen, hab ich das richtig verstanden?
Was nutz die Beschränktheit von L zu zeigen?
Meinst du nicht [mm] (L_n)_{n\in \IN} [/mm] ist eine Cauchyfolge, ohne die Norm?
> Hier gibt es ein kleines (oder eher großes) Problem: N hängt von x ab!
> Stattdessen betrachte $ ||L_nx-Lx|| $ und verwende die Definition von von L, sowie abermals die Stetigkeit der Norm.
Geht das nicht auch so:
[mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] ist ja eine Cauchyfolge: Zu vorgegebenen [mm] \epsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] ||f_n [/mm] - [mm] f_m [/mm] || < [mm] \epsilon \forall [/mm] n,m [mm] \ge [/mm] N
Nun: [mm] m\rightarrow \infty,||.|| [/mm] stetig
[mm] ||f_n [/mm] - f|| [mm] <\epsilon [/mm] (n [mm] \ge [/mm] N)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Di 17.03.2015 | | Autor: | andyv |
> Hallo nochmal.
> > Das funktioniert schon, aber um das etwas abzukürzen:
> [mm](||L_n||)[/mm] ist eine Cauchyfolge, also auch beschränkt.
> Unter Verwendung der Stetigkeit der Norm zeige die
> Beschränktheit von L.
> Zur Stetigkeit: Der Beweis passt und du möchtest einen
> Alternativ-Beweis vorschlagen, hab ich das richtig
> verstanden?
Im Prinzip ja; die Vertauschung der Limites ist natürlich noch zu begründen.
> Was nutz die Beschränktheit von L zu zeigen?
Dann folgt die Stetigkeit von L, da L linear ist.
> Meinst du nicht [mm](L_n)_{n\in \IN}[/mm] ist eine Cauchyfolge,
> ohne die Norm?
Das ist egal, die sind beide Cauchy-Folgen.
>
> > Hier gibt es ein kleines (oder eher großes) Problem: N
> hängt von x ab!
> > Stattdessen betrachte [mm]||L_nx-Lx||[/mm] und verwende die
> Definition von von L, sowie abermals die Stetigkeit der
> Norm.
>
> Geht das nicht auch so:
> [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] ist ja eine Cauchyfolge: Zu vorgegebenen
> [mm]\epsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN:[/mm]
> [mm]||f_n[/mm] - [mm]f_m[/mm] || < [mm]\epsilon \forall[/mm]
> n,m [mm]\ge[/mm] N
> Nun: [mm]m\rightarrow \infty,||.||[/mm] stetig
> [mm]||f_n[/mm] - f|| [mm]<\epsilon[/mm] (n [mm]\ge[/mm] N)
Nein, eher so: [mm] $||L_nx-Lx||=\lim\limits_{m \to \infty}||L_nx-L_mx||\le\epsilon||x||$ [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] N$.
Jetzt auf beiden Seiten das Supremum bilden.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Do 19.03.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
> Im Prinzip ja; die Vertauschung der Limites ist natürlich noch zu begründen.
> $ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \lim_{k\rightarrow\infty} L_n(x_k) \overbrace{=}^{(*)}\lim_{k\rightarrow\infty} \lim_{n\rightarrow\infty} L_n(x_k) [/mm] $
Ja aber genau dass hab ich nicht hinbekommen, soll ich auf den anderen Weg umswitchen weil es keine Begründung für die Vertauschung der beiden Limes gibt oder sie zu kompliziert ist?
Zu deinen Weg:
[mm] ||Lx||_{W}=||lim_{n\rightarrow\infty} L_n x||_{W}= lim_{n\rightarrow\infty}||L_nx|| \le lim_{n\rightarrow\infty} ||L_n||_{op} [/mm] ||x|| [mm] \le [/mm] C ||x|| [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] L stetig nach Satz 11 im Forster
Genügt also Zuzeigen: [mm] ||L_n||_{op} \le [/mm] C [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] (L_n)_{n\in \IN} [/mm] ist eine Cauchyfolge. ZZ.:( [mm] ||L_n||_{op})_{n \in \IN} [/mm] ebenfalls Cauchyfolge denn dann gilt [mm] ||L_n||_{op} \le C\forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] da jede Cauchyfolge in metrischen Raum beschränkt.
Aber, warum ( [mm] ||L_n||_{op})n \in \IN [/mm] eine Cauchyfolge ist hab ich nicht kapiert.
[mm] ||L_n [/mm] - [mm] L_m||_{op}=sup_{||x||\le 1, x \in V} ||L_n (x)-L_m(x)|| \le [/mm] ..??
Die Norm ist doch nicht zwingend monoton?
Danke, dass mit der Konvergenz von [mm] L_n \rightarrow [/mm] L [mm] (n\rightarrow \infty) [/mm] bezüglich der Operatornorm ist nun klar. Warum mein Weg im letzten Post falsch war hast du leider nicht dazu gesagt oder war der zu unverständlich?
Liebe Grüße und danke für deine Mühe*
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Do 19.03.2015 | | Autor: | andyv |
> Hallo,
> > Im Prinzip ja; die Vertauschung der Limites ist
> natürlich noch zu begründen.
> > [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \lim_{k\rightarrow\infty} L_n(x_k) \overbrace{=}^{(*)}\lim_{k\rightarrow\infty} \lim_{n\rightarrow\infty} L_n(x_k)[/mm]
>
> Ja aber genau dass hab ich nicht hinbekommen, soll ich auf
> den anderen Weg umswitchen weil es keine Begründung für
> die Vertauschung der beiden Limes gibt oder sie zu
> kompliziert ist?
Es ist zu umständlich. Dass man aber die Limiten vertauschen kann, kannst du hier nachlesen: http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaMPhy/Weidl/analysis2/vorlesung-ana2/node61.html
Beachte, dass die Voraussetzungen alle erfüllt sind.
> Zu deinen Weg:
> [mm]||Lx||_{W}=||lim_{n\rightarrow\infty} L_n x||_{W}= lim_{n\rightarrow\infty}||L_nx|| \le lim_{n\rightarrow\infty} ||L_n||_{op}[/mm]
> ||x|| [mm]\le[/mm] C ||x|| [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] V [mm]\Rightarrow[/mm] L stetig nach
> Satz 11 im Forster
> Genügt also Zuzeigen: [mm]||L_n||_{op} \le[/mm] C [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm](L_n)_{n\in \IN}[/mm] ist eine Cauchyfolge. ZZ.:(
> [mm]||L_n||_{op})_{n \in \IN}[/mm] ebenfalls Cauchyfolge denn dann
> gilt [mm]||L_n||_{op} \le C\forall[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm] da jede
> Cauchyfolge in metrischen Raum beschränkt.
> Aber, warum ( [mm]||L_n||_{op})n \in \IN[/mm] eine Cauchyfolge ist
> hab ich nicht kapiert.
Wegen (inverser) Dreiecksungleichung.
> [mm]||L_n[/mm] - [mm]L_m||_{op}=sup_{||x||\le 1, x \in V} ||L_n (x)-L_m(x)|| \le[/mm]
> ..??
> Die Norm ist doch nicht zwingend monoton?
>
>
> Danke, dass mit der Konvergenz von [mm]L_n \rightarrow[/mm] L
> [mm](n\rightarrow \infty)[/mm] bezüglich der Operatornorm ist nun
> klar. Warum mein Weg im letzten Post falsch war hast du
> leider nicht dazu gesagt oder war der zu unverständlich?
Du hast noch keine Konvergenz bzgl. Operatornorm gezeigt, insofern ist unklar, dass nach Grenzübergang [mm] $||L_n-L||<\epsilon$ [/mm] folgt.
>
> Liebe Grüße und danke für deine Mühe*
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Fr 20.03.2015 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank für alle Infos,
LG,
sissi
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