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Vollst. Induktion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:15 Mi 07.12.2005
Autor: Ronin

Hi,
ich soll die Binomische Formel mittels Induktion beweisen und komm net recht weiter

Also die Bin Formel sieht ja so aus

[mm] (a+b)^n= \summe_{k=0}^{n} \bruch{n!}{(n-k)!*k!}*n^{n-k}*b^k [/mm]

Ich denke mein Problem besteht darin dass auf der rechten seite in der summe sowohl k als auch n vorkommt... ich hab ein paar vorgehensweisen probiert und bin zu keinem erg gekommen.

ich denke dass man beides, n und k im Induktionsschritt durch (n+1) ersetzen muss oder ist das bereits falsch???

wenn ich das tue dann komm ich auf  [mm] (a+b)^n+b^{n+1} [/mm] und es soll eigentlich (a+b)^(n+1) also [mm] a*(a+b)^n+b*(a+b)^n [/mm] rauskommen irgendwelche ideen

danke im Voraus

        
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Vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:18 Mi 07.12.2005
Autor: Ronin

Ich weiss da ist ein schreibfehler drinn den ich aber beim rechnen nicht gemacht habe
es muss heissen

[mm] (a+b)^n= \summe_{k=0}^{n} \bruch{n!}{(n-k)!*k!}*a^{n-k}*b^k [/mm]


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Vollst. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Mi 07.12.2005
Autor: Stefan

Hallo Ronin!

Vielleicht schaust du dir einfach mal diese Diskussion hier an.

> Ich denke mein Problem besteht darin dass auf der rechten
> seite in der summe sowohl k als auch n vorkommt... ich hab
> ein paar vorgehensweisen probiert und bin zu keinem erg
> gekommen.
>  
> ich denke dass man beides, n und k im Induktionsschritt
> durch (n+1) ersetzen muss oder ist das bereits falsch???

Das ist falsch. Nur n.

> wenn ich das tue dann komm ich auf  [mm](a+b)^n+b^{n+1}[/mm] und es
> soll eigentlich (a+b)^(n+1) also [mm]a*(a+b)^n+b*(a+b)^n[/mm]
> rauskommen irgendwelche ideen

Schau dir die Lösung mal an und versuche es dann selbst für dich noch einmal aufzuschreiben. Frage gegebenenfalls nach. :-)

Liebe Grüße
Stefan

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Vollst. Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Mi 07.12.2005
Autor: Ronin

joa hab mir das ganze jetzt ne weile durchgelesen und probiert aber irgendwie klappts no net

Als erstes versteh ich schonmal nicht warum alle immer die summe beibehalten und das [mm] (a+b)^n [/mm] durch diese ersetzen und nicht andersrum...

Geht das nicht???? Muss doch aber eigentlich... ich seh jedenfalls keinen Grund warum es nicht gehen soll da ja beides äquivalent ist

zur erläuterung :
Ich bin jetzt soweit...

für n=0 hab ich gezeigt und ich setze voraus dass

[mm] (a+b)^n= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}*b^k [/mm]

also dann fang ich an und sage

          = [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{(n+1) \\ k} a^{n+1-k}*b^k [/mm]

          =( [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}*b^k [/mm] ) + [mm] \vektor{(n+1) \\ k} a^{n+1-k}*b^k [/mm]


und wegen [mm] (a+b)^n= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}*b^k [/mm]


          = [mm] (a+b)^n [/mm] + [mm] \vektor{(n+1) \\ k} a^{n+1-k}*b^k [/mm]

jo und dann gehts net weiter

hab versucht des irgendwie umzuwurschdeln mit
[mm] \vektor{n+1 \\ k}= \vektor{n \\ k-1}+ \vektor{n \\ k} [/mm]

aber s wird nix

der Ansatz muss doch aber richtig sein
ich mein genau so hab ich diverse andere Induktionsaufgaben gelöst....

Danke

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Vollst. Induktion: Fehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:29 Do 08.12.2005
Autor: leduart

Hallo
> also dann fang ich an und sage
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{(n+1) \\ k} a^{n+1-k}*b^k[/mm]
>  
> =( [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}*b^k[/mm] ) +
> [mm]\vektor{(n+1) \\ k} a^{n+1-k}*b^k[/mm]

falsch! und das müsstest du sehen! [mm] (a+b)^{n+1} [/mm] kann nicht nur 1 term länger sein als [mm] (a+b)^{n} [/mm] !
( [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n+1 \\ k} a^{n-k}*b^k[/mm] ) +
[mm]\vektor{(n+1) \\ k} a^{n+1-k}*b^k[/mm]
jetzt kannst du, wenn du unbedingt so vorgehen willst auf  [mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] deine Formel loslassen!
Gruss leduart

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Vollst. Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:38 Do 08.12.2005
Autor: Ronin

hmmm das wird wohl nix
der term wird immer hässlicher

das ist komplett falsch oder???

[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k-1}a^{n-k}*b^k+ \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}a^{n-k}*b^k+ \vektor{n \\ k-1}a^{n+1-k}*b^k+\vektor{n \\ k}a^{n+1-k}*b^k [/mm]

und dann

[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k-1}a^{n-k}*b^k+ (a+b)^n+ \vektor{n \\ k-1}a^{n+1-k}*b^k+\vektor{n \\ k}a^{n+1-k}*b^k [/mm]

Danke

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Vollst. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:02 Fr 09.12.2005
Autor: R4ph43l

Achtung, du hast die Summe falsch auseinander gezogen. Benutze zuerst deine Formel $ [mm] \vektor{n+1 \\ k}= \vektor{n \\ k-1}+ \vektor{n \\ k} [/mm] $ in der Summe, und ziehe diese dann auseinander:

$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{(n+1) \\ k} a^{n+1-k}\cdot{}b^k [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} [/mm] ( [mm] \vektor{n \\ k-1 } [/mm] + [mm] \vektor{ n \\ k })\cdot{}a^{n+1-k}\cdot{}b^k [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n \\ k-1 }\cdot{}a^{n+1-k}\cdot{}b^k [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n \\ k }\cdot{}a^{n+1-k}\cdot{}b^k [/mm] $
Jetzt siehst du das in der linken Summe für k = n+1 der Summand Null ist wegen [mm] \vektor{ n \\ n+1 } [/mm] = 0, also kannst du die Summe auf k=0 bis n verringern. Ausserdem kannst du ein a herausziehen um dann auf die Formel nach Induktionsvoraussetzung zu gelangen.
Bei der rechten Summe ist für k=0 der Summand Null wegen [mm] \vektor{ n \\ -1 } [/mm] = 0, also summierst du nur noch über k=1 bis n+1. Nun verschiebst du den Index um 1, d.h. du summierst von k=0 bis n und tauscht in der Summe jedes k durch k+1 aus. Dann kannst du wieder ein b herausziehen aus der Summe und erhältst damit auch dort wieder die Summe wie in der IV. Damit erhältst du dann folgendes:

= $ [mm] a\cdot{}\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k }\cdot{}a^{n-k}\cdot{}b^k [/mm] + [mm] b\cdot{}\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k }\cdot{}a^{n-k}\cdot{}b^k \underbrace{=}_{IV} a(a+b)^n [/mm] + [mm] b(a+b)^n [/mm] = [mm] (a+b)^{n+1} [/mm] $

Fertig :)

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