Vollst. Indukt. mit Binomialk. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Fr 21.01.2005 | | Autor: | unagi |
Hi.
Ich bekomme diese Induktion nicht hin. Es hapert schon beim Induktionsanfang. Hier erstmal die Aufgabe:
[mm] \vektor{n \\ k} \bruch{1}{n^{k}} \le \bruch{1}{k!} [/mm] (k,n [mm] \in \IN, [/mm] k [mm] \le [/mm] n)
Bis jetzt hatten wir immer nur ein n [mm] \in \IN [/mm] als Variable. Kann mir bitte jemand erklären, wie das mit k UND n geht? Danke schonmal im Vorraus!
mfg
unagi
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Hallo Unagi
Hier die Lösung zu deinem Problem...
[mm] \bruch{1}{n^{k}} \vektor{n \\ k}\le\bruch{1}{k!}
[/mm]
1. den Binomialkoeffizienten ausschreiben...
[mm] \gdw\bruch{1}{n^{k}}\bruch{n!}{k!(n-k)!}\le\bruch{1}{k!}
[/mm]
2. eine Seite (egal welcher!) mit k! multiplizieren und kürzen
[mm] \gdw\bruch{1}{n^{k}}\bruch{n!}{(n-k)!}\le1
[/mm]
3. die Fakultäten ausschreiben und (n-k)! mit dem Zähler kürzen...
[mm] \gdw\bruch{1}{n^{k}}\bruch{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k)*(n-k-1)*...*1}{(n-k)*(n-k-1)*...*1}\le1
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{1}{n^{k}}\bruch{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)}{1}\le1
[/mm]
[mm] n^{K} [/mm] und n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1) haben jeweils k-viele Elemente. Daher gilt:
[mm] \bruch{n}{n}*\bruch{n-1}{n}*\bruch{n-k+1}{n}\le1
[/mm]
[mm] \gdw 1*(1-\bruch{1}{n})*(1-\bruch{2}{n})*...*(1-\bruch{1-k}{n})\le1
[/mm]
Da alle Elemente in der Form [mm] "1-\bruch{x}{n}" x\in\IN [/mm] kleiner als 1 sind, muss deshalb auch das Produkt kleiner als 1 sein, deshalb ist [mm] \bruch{1}{k!} [/mm] echt größer als die linke Seite.
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