Völlständige Induktion, Ungl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 So 21.11.2004 | | Autor: | salami |
Aufgabenstellung:
Es sei 0<x<1. Zeigen sie durch VI für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1, dass
[mm] (1-x)^n [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+nx}
[/mm]
Für n = 1 ist das ganze leicht ersichtlich wahr. Für den Induktionsschritt ist mir ganz klar, wie ich das sinnvollerweise Umformen soll.
Ein gleichnamig machen beider Seiten bringt nur einen Moloch, der so auch nicht unbedingt weiter hilft:
[mm] (1+(n+1)x)(1-x)^n+1 [/mm] < 1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo.
Es fehlt doch garnicht viel zu deinem Beweis:
Gelte die Aussage für n
=> [mm](1-x)^n< \bruch {1}{1+nx}[/mm].
Für 0<x<1 ist 1>1-x>0 (*).
=> [mm](1-x)^{n+1}< \bruch {1-x}{1+nx}[/mm] und mit (*):
[mm](1-x)^{n+1}< \bruch {1}{1+nx}[/mm].
Zudem gilt: [mm]\bruch {1}{m}>\bruch {1}{m+x}[/mm], wenn x>0 und m>0 (ist ja offensichtlich).
Daher gilt auch:
[mm]\bruch {1}{1+nx}>\bruch {1}{1+nx+x}[/mm] und damit wiederum
[mm](1-x)^{n+1}< \bruch {1}{1+(n+1)x}[/mm], was unsere Aussage für n+1 ist, also sind wir damit fertig.
Gruß,
Christian
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