Vieta Satz, Ungleichung, Fälle < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Do 05.10.2006 | | Autor: | Eisbude |
| Aufgabe | [mm] x^{2}-7x+10<0
[/mm]
Löse die quadratische Ungleichung!
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Hallo!
Ich hab diesbezüglich ein paar Fragen!
Ich forme di Ungleichung zur Gleichung um
[mm] x^{2}-7x+10=0
[/mm]
dann bestimm ich x1 und x2 und bekomme eine
Lösungsmenge x1 x2 in dem Fall:
L=(2;5)
Jetzt stand an der Tafel:
(x-5).(x-2)<0 -> kann ich mir nicht erklären! Bitte um Rat
Dann wendete der Lehrende den Vieta-Satz an:
Dazu hab ich keine passende Formel!
Wieso nun der Vieta-Satz, wenn ich die Lösungsmenge L schon habe?
Hier steht auch noch was von einer Fallunterscheidung, aber ich kapier nichts!
Ich bedank mich für jede hilfreiche Antwort bez. der Aufgabestellung!
Danke!
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Do 05.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Eisbude,
> [mm]x^{2}-7x+10<0[/mm]
>
> Löse die quadratische Ungleichung!
>
>
> Hallo!
>
> Ich hab diesbezüglich ein paar Fragen!
>
> Ich forme di Ungleichung zur Gleichung um
> [mm]x^{2}-7x+10=0[/mm]
>
> dann bestimm ich x1 und x2 und bekomme eine
> Lösungsmenge x1 x2 in dem Fall:
> L=(2;5)
>
> Jetzt stand an der Tafel:
>
> (x-5).(x-2)<0 -> kann ich mir nicht erklären! Bitte um
> Rat
>
Wie oben von Dir beschrieben soll ja die Lösungsmenge [mm] \IL=\{x\in\IR | x^{2}-7x+10<0 \} [/mm] bestimmt werden.
Da [mm] x^{2}-7x+10=(x-5)*(x-2) [/mm] gilt, ist die Lösungsmenge [mm] \IL
[/mm]
[mm] \IL=\{x\in\IR | (x-5)*(x-2)<0 \} [/mm]
Jetzt ist die Frage, wann wird ein Produkt kleiner als 0. Nur dann, wenn die Vorzeichen der beiden Faktoren unterschiedlich sind. Da hast Du dann Deine Fallunterscheidung.
Fall I) (x-5)<0 und (x-2)>0
Fall II) (x-5)>0 und (x-2)<0 also ist die Lösungsmenge
[mm] \IL=\{x\in\IR | (x-5)<0 \wedge (x-2)>0 \} \cup \{x\in\IR | (x-5)>0 \wedge (x-2)<0 \}
[/mm]
Das muss man sich grafisch klar machen.
> Dann wendete der Lehrende den Vieta-Satz an:
>
> Dazu hab ich keine passende Formel!
>
Üblicherweise wird eine quadratische Gleichung in der Form [mm] x^2+p*x+q=0 [/mm] geschrieben.
Der Satz von Vieta besagt, dass gilt
[mm] p=-(x_1+x_2) [/mm] und [mm] q=x_1*x_2 [/mm] mit [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] Lösungen der quadratischen Gleichung, also
[mm] x^2+p*x+q=(x-x_1)*(x-x_2)
[/mm]
> Wieso nun der Vieta-Satz, wenn ich die Lösungsmenge L schon
> habe?
>
Die Lösungsmenge ist ja nicht [mm] \IL=\{x\in\IR | x=2 \wedge x=5 \} [/mm] sondern die oben beschriebene Lösungsmenge.
> Hier steht auch noch was von einer Fallunterscheidung, aber
> ich kapier nichts!
> Ich bedank mich für jede hilfreiche Antwort bez. der
> Aufgabestellung!
> Danke!
>
>
> PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
mfg ullim
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Wobei man das:
$ [mm] \IL=\{x\in\IR | (x-5)<0 \wedge (x-2)>0 \} \cup \{x\in\IR | (x-5)>0 \wedge (x-2)<0 \} [/mm] $
noch etwas eleganter ausdrücken kann:
$ [mm] \IL=\{x\in\IR | x<5 \wedge x>2 \} \cup \{x\in\IR | x>5 \wedge x<2 \} [/mm] $
Doch halt! Rechts wird nach einem x verlangt, das größer als 5 und kleiner als 2 ist. Das gibt's nicht! Die rechte Menge ist also leer, und es bleibt nur die linke, die sich auch noch so schreiben läßt:
[mm] $\IL=\{x\in\IR | 2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:19 Fr 06.10.2006 | | Autor: | ullim |
Genau so ist es.
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