Vielfachheit von Nullstellen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 So 02.01.2011 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Sei [mm](R,+,*)[/mm] Integritätsbereich mit Eins, [mm]CharR = 0[/mm], [mm]n \in \IN[/mm], [mm]f \in R[x][/mm] ein Polynom und [mm]α [mm] \in [/mm] R[mm] Nullstelle von [mm]f[/mm].
Dann gilt:
α n-fache Nullstelle von [mm]f[/mm] [mm] \gdw [/mm] α (n − 1)-fache Nullstelle von [mm]f'[/mm] |
Beweis
Die Hinrichtung habe ich bereits gezeigt, indem ich f als [mm]f(x)=(x-a)^n*g[/mm] darstelle wobei [mm]g \in R[x][/mm] und a keine NST von g ist. Durch Bildung der Ableitung von f, weiß ich dass die Vielfachheit der NST a bei der Ableitung um 1 verringert ist.
Bei der Rückrichtung hänge ich leider fest.
Hier mei Anfang:
Sei a (n-1)-fache NST von f' [mm] \gdw[/mm] [mm]f'(x)=(x-a)^{n-1}*h[/mm], wobei [mm]h \in R[x][/mm] und a keine NST von h ist.
Anschaulich find ich das ganz logisch doch für den Beweis fällt mir da nichts mehr ein... Wie kann ich hier weiter argumentieren? Vielleicht mit dem Satz von Rolle?
Vielen Dank schonmal für die Hilfe und allen ein gesundes neues Jahr :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 So 02.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm](R,+,*)[/mm] Integritätsbereich mit Eins, [mm]CharR = 0[/mm], [mm]n \in \IN[/mm],
> [mm]f \in R[x][/mm] ein Polynom und [mm]α [mm]\in[/mm] R[mm] Nullstelle von [mm]f[/mm]. [/mm][/mm]
> [mm][mm]Dann gilt:[/mm][/mm]
> [mm][mm] α n-fache Nullstelle von [mm]f[/mm] [mm]\gdw[/mm] α (n − 1)-fache Nullstelle von [mm]f'[/mm][/mm][/mm]
EDIT: Habe die Voraussetzung uebersehen! Antwort weiter unten beachten!
Also fuer $n = 1$ ist die Aussage falsch. Denn $f'$ hat dann ziemlich viele $n - 1 = 0$-fache Nullstellen, die aber nicht alle einfache Nullstellen von $f$ sein koennen.
Weiterhin: wenn [mm] $f'(\alpha) [/mm] = 0$ ist, muss noch lange nicht [mm] $f(\alpha) [/mm] = 0$ sein. Ist etwa $f = [mm] x^2 [/mm] + 1$, so ist $f' = 2 x$, und somit $f'(0) = 0$, jedoch $f(0) [mm] \neq [/mm] 0$. Die Rueckrichtung stimmt also im Allgemeinen sowieso nicht.
> [mm][mm] Beweis[/mm][/mm]
> [mm][mm] Die Hinrichtung habe ich bereits gezeigt, indem ich f als [mm]f(x)=(x-a)^n*g[/mm] darstelle wobei [mm]g \in R[x][/mm] und a keine NST von g ist. Durch Bildung der Ableitung von f, weiß ich dass die Vielfachheit der NST a bei der Ableitung um 1 verringert ist.[/mm][/mm]
Genau.
> [mm][mm]Bei der Rückrichtung hänge ich leider fest.[/mm][/mm]
Wie schon gesagt: die stimmt auch erst gar nicht 
Das einzige was du zeigen kannst: $f$ hat bei [mm] $\alpha$ [/mm] eine $n + 1$-fache [mm] $f(\alpha)$-Stelle, [/mm] d.h. das Polynom $f - [mm] f(\alpha)$ [/mm] hat in [mm] $\alpha$ [/mm] eine $n + 1$-fache Nullstelle.
> [mm][mm] Hier mei Anfang:[/mm][/mm]
> [mm][mm] Sei a (n-1)-fache NST von f' [mm]\gdw[/mm] [mm]f'(x)=(x-a)^{n-1}*h[/mm], wobei [mm]h \in R[x][/mm] und a keine NST von h ist.[/mm][/mm]
> [mm][mm] Anschaulich find ich das ganz logisch doch für den Beweis fällt mir da nichts mehr ein... Wie kann ich hier weiter argumentieren? Vielleicht mit dem Satz von Rolle? [/mm][/mm]
> [mm][mm][/mm][/mm]
> [mm][mm]Vielen Dank schonmal für die Hilfe und allen ein gesundes neues Jahr :D[/mm][/mm]
Ich wuerde mit einer Taylor-Entwicklung um [mm] $\alpha$ [/mm] argumentieren. Du kannst $f = [mm] \sum_{i=0}^n a_i [/mm] (x - [mm] \alpha)^i$ [/mm] schreiben mit [mm] $a_i \in [/mm] R$. Mit dieser Darstellung ist es eigentlich ein leichtes, beide (korrigierte!) Richtungen der Aufgabe zu zeigen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 So 02.01.2011 | | Autor: | m0ppel |
Irgendwie steh ich da gerade auf dem Schlauch. Du sagst also aus, dass der Satz so gar nicht stimmen kann, oder?
Aber der Satz steht bei mir leider so im Skript und wir sollen nur noch den Beweis dafür zeigen.
![[]](/images/popup.gif) Link zu unserem Algebra Skript
Der Satz steht auf Seite 57 unten.
Meine Hinrichtung lautet so:
Sei a n-fache NST von f [mm] \gdw [/mm] f(x)= [mm] (x-a)^n*g [/mm] mit [mm]g \in R[x][/mm] und [mm]g(a) \not= 0[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]f'(x)= n*(x-a)^{n-1}*g+(x-a)^n*g'[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]f'(x)= (x-a)^{n-1}*(n*g+(x-a)*g')[/mm] das heißt, a ist mindestens (n-1)-fache NST von f'
noch zu zeigen, a ist keine NST von [mm](n*g+(x-a)*g')[/mm] Das würde bedeuten: [mm]0=(n*g(a)+(x-a)*g'(a))[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]0=g(a)[/mm] welches ein Widerspruch ist. Daher ist a wirklich nur (n-1)-fache NSt von f'
Hinrichtung wäre also gezeigt.
Du meintest ja, dass die Hinrichtung gar nicht gilt, wo ist dann hier mein Fehler?
Und bei der Rückrichtung bin ich leider immer noch nicht weitergekommen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 So 02.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Irgendwie steh ich da gerade auf dem Schlauch. Du sagst
> also aus, dass der Satz so gar nicht stimmen kann, oder?
> Aber der Satz steht bei mir leider so im Skript und wir
> sollen nur noch den Beweis dafür zeigen.
Oh, sorry, ich habe die Voraussetzung ueberlesen! Du hattest ja erwaehnt, dass [mm] $\alpha$ [/mm] eine Nullstelle sein muss. Damit stimmt das dann :) Sorry!
(Genau das war ja der Knackpunkt bei meinen "Gegenbeispielen"...)
> Link zu unserem Algebra Skript
>
> Der Satz steht auf Seite 57 unten.
>
> Meine Hinrichtung lautet so:
> Sei a n-fache NST von f [mm]\gdw[/mm] f(x)= [mm](x-a)^n*g[/mm] mit [mm]g \in R[x][/mm]
> und [mm]g(a) \not= 0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f'(x)= n*(x-a)^{n-1}*g+(x-a)^n*g'[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]f'(x)= (x-a)^{n-1}*(n*g+(x-a)*g')[/mm] das heißt, a ist
> mindestens (n-1)-fache NST von f'
> noch zu zeigen, a ist keine NST von [mm](n*g+(x-a)*g')[/mm] Das
> würde bedeuten: [mm]0=(n*g(a)+(x-a)*g'(a))[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]0=g(a)[/mm]
> welches ein Widerspruch ist. Daher ist a wirklich nur
> (n-1)-fache NSt von f'
Genau. (Und hier hast du verwendet, dass $n [mm] \neq [/mm] 0$ ist in $K$, was aus $Char(K) = 0$ folgt.)
> Hinrichtung wäre also gezeigt.
> Du meintest ja, dass die Hinrichtung gar nicht gilt, wo
> ist dann hier mein Fehler?
Die Hinrichtung gilt. Ich bezog mich auf die Rueckrichtung; die macht Probleme, wenn man nicht voraussetzt, dass [mm] $\alpha$ [/mm] eine Nullstelle ist.
> Und bei der Rückrichtung bin ich leider immer noch nicht
> weitergekommen...
Ueberleg dir erst, dass du das Polynom als $f(x) = [mm] \sum_{i=0}^m a_i [/mm] (x - [mm] \alpha)^i$ [/mm] schreiben kannst mit [mm] $a_i \in [/mm] R$. (Betrachte dazu das Polynom $g(x) := f(x + [mm] \alpha)$. [/mm] Dies ist ein Polynom in $R[x]$. Rechne jetzt auf zwei verschiedene Art und Weisen $g(x - [mm] \alpha)$ [/mm] aus.)
Damit kannst du jetzt $f'(x)$ berechnen. Jetzt beachte, dass du bei $f'(x)$ gerade $(x - [mm] \alpha)^n$ [/mm] ausklammern kannst (und kein weiteres mal). Was bedeutet das fuer die Koeffizienten [mm] $a_i$?
[/mm]
Dann kannst du sofort hinschreiben, wie oft du $(x - [mm] \alpha)$ [/mm] aus $f(x)$ ausklammern kannst.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:53 So 02.01.2011 | | Autor: | m0ppel |
Sry, aber mir ist gerade diese Schreibweise irgendwie neu. [mm]f(x) = \sum_{i=0}^m a_i (x - \alpha)^i[/mm] ich kenn nur diese:
[mm]f=\produkt_{i=1}^{s}(x-a_{i})^{r_{i}}*g[/mm] wobei [mm]a_{i}[/mm] [mm] r_{i}-fache [/mm] NST und [mm] a_{i} [/mm] mit i=1,...,s paarweise verschieden.
Wie habe ich deine Polynom-Gleichung zu verstehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 05.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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