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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:29 Sa 28.01.2017 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | Sei [mm] (Z_n)_{n\in\IN_0} [/mm] ein Verzweigungsprozess mit Startpopulation 1. Die Nachkommenverteilung
sei durch die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion p(0) = p(2) [mm] =\bruch{1}{2} [/mm] gegeben.
a) Bestimme die Verteilung von [mm] Z_3.
[/mm]
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Verzweigungsprozess ausstirbt. |
Hallo ihr Lieben,
ehrlich gesagt weiß ich gar nichts damit anzufangen.
Könnte mir da bitte einer mal auf die Sprünge helfen?
Eine Familie von [mm] \IN_0-wertigen [/mm] Zufallsvariablen [mm] (Z_n)_{n\in\IN_0} [/mm] nennt man Verzweigungsprozess
mit Nachkommenverteilung [mm] \alpha [/mm] und Startpopulation [mm] z_0 \in \IN_0, [/mm] wenn:
1) [mm] P(Z_0 [/mm] = [mm] z_0) [/mm] = 1
2) [mm] Z_{n+1} [/mm] = [mm] X^{n}_1 [/mm] + ... + [mm] X^{n}_Z_{n} [/mm] für jedes n [mm] \in \IN_0, [/mm] wobei
i) [mm] X^{n}_1 ,...,X^{n}_{Z_n} [/mm] unabhängig sind und die Verteilung [mm] \alpha [/mm] besitzen
ii) [mm] X^{n}_1 ,...,X^{n}_{Z_n} [/mm] von [mm] Z_n [/mm] unabhängig sind
Wir sagen, dass der Verzweigungsprozess [mm] (Z_n)_{n\in\IN_0} [/mm] ausstirbt, wenn ein N [mm] \in \IN_0 [/mm] mit [mm] Z_N [/mm] = 0 existiert
(damit gilt natürlich automatisch [mm] Z_n [/mm] = 0 für alle n [mm] \ge [/mm] N).
und man kann wohl sehr gut mit Erzeugendenfkt hier arbeiten.
Dazu die Wiederhoilung aus dem Skript :
X ist [mm] \IN_0 [/mm] - wertig
[mm] G_X(s) [/mm] = [mm] E[s^X] \forall [/mm] s [mm] \in \IR [/mm] für die [mm] E[s^X] [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
- Insbesondere wohldefiniert für alle s [mm] \in [/mm] [0,1]
[mm] -X_1,...,X_k [/mm] unabhängig, so [mm] G_{\summe^{k}_{i=1}}(s) [/mm] = [mm] \produkt^{k}_{i=1}G_{X_i}(s)
[/mm]
-E[X] = [mm] G_{X}'(1)
[/mm]
Satz : Seien [mm] E[X_1] [/mm] = [mm] \mu [/mm] und Var [mm] (X_1) [/mm] = [mm] \sigma^2 \in (0,\infty)
[/mm]
Dann gilt : [mm] E[Z_n] [/mm] = [mm] \mu^n [/mm] und
[mm] Var(Z_n)=\begin{cases} n\sigma^2, & \mbox{für } \mu =1 \\ \bruch{\sigma^2 \cdot \mu^{n-1} (\mu^n -1)}{\mu -1}, & \mbox{für }\mu \not= 1 \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Ich soll nun die Verteilungsfkt von [mm] Z_3 [/mm] bestimmen.
Also [mm] Z_3 [/mm] = [mm] Z_{2+1} [/mm] = [mm] X^{2}_1 [/mm] + [mm] X^{2}_{Z_{1}}+ X^{2}_{Z_{2}}. [/mm] oder?
Die Nachkommenverteilung [mm] \alpha [/mm] sei durch die WKTmassefkt [mm] p(0)=p(2)=\bruch{1}{2} [/mm] gegeben.
wktmassefkt : [mm] p_X(x)=P(X=x) [/mm]
und da gilt E(X) [mm] =\sum_{x \in \IR} [/mm] x *P(X=x)
da ja gilt [mm] G_X(s) [/mm] = [mm] E[s^X] [/mm] = [mm] \sum s^x [/mm] *P(X=x)
wenn ich nun wüsste wie [mm] Z_3 [/mm] aussieht müsste ich ja die Erzeugendenfunktion bestimmen können mit Hilfe des Erwartungswertes und der Wktmassefkt oder?
Ich habe echt keine Ahnung...
Vielen Dank und schönes Wochenende.
Grüße Noya
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Mo 30.01.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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