Verwendung des Produktzeichens < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei folgende Tabelle von [mm] n^{2} [/mm] Zahlen:
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{21} & ... & a_{1j} & ... & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & ... & a_{2j} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ...& ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{ii} = a_{jj} & ... & a_{in} \\ ... & ... & ...& ... & ... & ... \\ a_{1n} & a_{2n} & ... & a_{nj } & ... & a_{nn}}
[/mm]
Geben Sie unter Verwendung des Produktzeichens folgende Produkte an:
1. Produkt aller Elemente auf und unterhalb der Nebendiagonalen an
2. Produkt aller Randelemente der Tabelle |
Hallo Community,
zu 1. --> die Nebendiagonale ist doch definitionsgemäß jene Diagonale, die von rechts oben nach links unten läuft? Prinzipiell müsste es ja ähnlich der Hauptdiagonalen funktionieren.
zu 2. --> damit ist gemeint, dass sowohl die oberste als auch die unterste Spalte sowie die linke und die rechte Randspalte innerhalb des Produktzeichens erfasst werden sollen ...
Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich hier anfangen soll!
Ich bin für alle Hinweise, die zur Lösung führen, dankbar.
Besten Dank vorab!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Mach es am Beispiel explizit.
Sei [mm]A=\pmat{a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}\\
a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}\\
a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}}[/mm]
> zu 1. --> die Nebendiagonale ist doch definitionsgemäß jene Diagonale, die von rechts oben nach links unten läuft? Prinzipiell müsste es ja ähnlich der Hauptdiagonalen funktionieren.
Jepp. Achte auf "auf und unterhalb der Nebendiagonale".
> zu 2. --> damit ist gemeint, dass sowohl die oberste als auch die unterste Spalte sowie die linke und die rechte Randspalte innerhalb des Produktzeichens erfasst werden sollen ...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Für i) und ii)
- Wie sieht das Produkt ausgeschrieben aus?
- versuche die Faktoren anzuordnen
Wenn du einen Vorschlag für die Anordnung der Elemente hier schreibst, dann fällt dir wohlmöglich selbst auf, wie man es mit dem Produktzeichen schreibt, oder wir "setzen dich auf den richtigen Gaul".
gruß
wieschoo
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Danke erstmal für die Hinweise!
Ich verstehe zwar die Aufgabe und kann auch einkreisen, welche Elemente in der Menge enthalten sein sollen, aber ich kann es nicht mit dem Produktzeichen formulieren.
Ich weiß einfach nicht, wo ich ansetzen soll. Wenn ich das Summenzeichen betrachte sowie das Produktzeichen, so gibt der ( [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] ) Buchstabe n doch jenes Element an, das bis zu dem gezählt wird. Das i=1 gibt dabei dann jeweils den Startpunkt an. Soweit richtig?
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Hallo JohannvFels,
> Ich verstehe zwar die Aufgabe und kann auch einkreisen,
> welche Elemente in der Menge enthalten sein sollen, aber
> ich kann es nicht mit dem Produktzeichen formulieren.
Dann schreibs doch erstmal ohne Produktzeichen auf. Das ist halt auch aufwändig, aber dann findest Du vielleicht, wie Du eine Multiplikationsregel formulieren kannst.
> Ich weiß einfach nicht, wo ich ansetzen soll. Wenn ich das
> Summenzeichen betrachte sowie das Produktzeichen, so gibt
> der ( [mm]\produkt_{i=1}^{n}[/mm] ) Buchstabe n doch jenes Element
> an, das bis zu dem gezählt wird. Das i=1 gibt dabei dann
> jeweils den Startpunkt an. Soweit richtig?
Ja, das ist soweit richtig.
Grüße
reverend
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wenn ich die Elemente einzeln multipliziere, dann ergibt sich für
1. [mm] a_{51} \* a_{52} \* a_{53} \* a_{54} \* a_{55} \* a_{42} \* a_{43} \* a_{44} \* a_{45} \* a_{33} \* a_{34} \* a_{35} \* a_{24} \* a_{25} \* a_{15} [/mm]
und für
2. [mm] a_{11} \* a_{12} \* a_{13} \* a_{14} \* a_{15} \* a_{25} \* a_{35} \* a_{45} \* a_{55} \* a_{54} \* a_{53} \* a_{52} \* a_{51} \* a_{41} \* a_{31} \* a_{21} [/mm]
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Hallo nochmal,
beides geht nur mit doppeltem Produktzeichen.
Du setzt offenbar einfach mal n=5 als Beispiel. Du findest bestimmt selbst heraus, wie das für allgemeines n geht:
> wenn ich die Elemente einzeln multipliziere, dann ergibt
> sich für
>
> 1. [mm]a_{51} \* a_{52} \* a_{53} \* a_{54} \* a_{55} \* a_{42} \* a_{43} \* a_{44} \* a_{45} \* a_{33} \* a_{34} \* a_{35} \* a_{24} \* a_{25} \* a_{15}[/mm]
Das ist [mm] \produkt_{i=1}^{5}\produkt_{j=6-i}^{5}a_{ij}
[/mm]
> und für
>
> 2. [mm]a_{11} \* a_{12} \* a_{13} \* a_{14} \* a_{15} \* a_{25} \* a_{35} \* a_{45} \* a_{55} \* a_{54} \* a_{53} \* a_{52} \* a_{51} \* a_{41} \* a_{31} \* a_{21}[/mm]
Das kann man verschieden schreiben.
Übersichtlich wäre z.B. [mm] \left(\produkt_{j=1}^{5}a_{1j}*a_{5j}\right)\left(\produkt_{i=2}^{4}a_{i1}*a_{i5}\right)
[/mm]
Mit Komma im Index ist schlechter verständlich, aber kürzer
[mm] \produkt_{i=1}^{4}a_{1,i}a_{i,5}a_{5,6-i}a_{6-i,1}
[/mm]
Eleganter ist der Quotient [mm] \bruch{\produkt_{i=1}^{5}\produkt_{j=1}^{5}a_{ij}}{\produkt_{i=2}^{4}\produkt_{j=2}^{4}a_{ij}}
[/mm]
- allerdings nur machbar, wenn außer Randelementen kein weiteres Null ist, da sonst ja der Quotient nicht definiert ist.
Klarer?
Grüße
reverend
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Ja, vielen Dank! Wesentlich klarer ist es jetzt. Für die allg Tabelle werde ich es später machen, das sollte dann jetzt auch klappen.
Danke!
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