Verträglichkeit < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:23 Do 01.03.2007 | | Autor: | dhn.tony |
Hallo, im Web habe ich keine Definition für Verträglichkeit von Abbildungen/Operationen/etc. gefunden. Ist "verträglichkeit" überhaupt ein mathematisch eindeutiger Begriff? Wenn ja, bitte die Definition angeben. Wenn nein, bitte die allgemein übliche Nutzung dieses Wortes erklären.
Natürlich wäre ich auch froh, einen Link zu meiner Fragestellung zu erhalten.
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 Do 01.03.2007 | | Autor: | straussy |
Meinst du Verträglichkeit im Sinne von eine Äquivalenzrelation [mm]\kappa[/mm] auf einer Algebra [mm] \underline{ A}:=(A,F)[/mm]ist verträglich mit Operationen aus [mm]F[/mm] g.d.w. [mm]\kappa[/mm] ist eine Kongruenz? in diesem Falle heißt verträglich: [mm] \forall f \in F:(\forall (x_i,y_i)\in \kappa\rightarrow(f(x_1,...,x_n),f(y_1,..y_n))\in \kappa)[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Do 01.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo tony,
Verträglichkeit ist zunächst mal nicht eindeutig definiert.
Im Zusammenhang mit Abbildungen zwischen zwei Mengen ,auf denen Verknüpfungsoperationen definiert sind,spricht man von Strukturverträglichkeit falls die Abbildung diese Strukturen "respektiert".
Ein einfaches Beispiel ist z.B. exp: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR_{>0}, [/mm] denn es gilt [mm] e^{x+y}= e^x*e^y.
[/mm]
MfG
Heiko
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Hallo Heiko, eine Frage: Weißt Du, dass Verträglichkeit nicht eindeutig definiert ist, aus Erfahrung, oder kann man das irgendwo nachlesen? Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 Sa 03.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo tony,
warum ist es so wichtig, dass es eine "Universaldefinition" für Verträglichkeit gibt ?
Definitionen sind in dem jeweiligen Kontext in dem sie verwendet werden immer eindeutig, sonst hätten sie keinen Sinn.
Wie man jedoch etwas genau definiert, liegt doch in der Freiheit des Schaffenen.
z.B wird je nach Standpunkt [mm] 0\in\IN [/mm] (z.B. v. Otto Forster) oder eben 0 [mm] \not\in\IN [/mm] definiert .
MfG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Sa 03.03.2007 | | Autor: | dhn.tony |
Hallo Heiko,
ich möchte nicht eine "Universaldefinition" von Verträglichkeit wissen, sondern es geht mir darum herauszufinden, OB es eine allgemein anerkannte Definition/Konvention zu diesem Begriff existiert. Beispielsweise ist die Definition von [mm] \IN [/mm] als Menge der natürlichen Zahlen (d. h. eine Menge, die die Peano-Axiome erfüllt) mit oder ohne 0 allgemein anerkannt. Es gibt keine anderen Definitionen von [mm] \IN.
[/mm]
Es würde mir auch schon weiterhelfen, wenn ich beispielsweise wüsste, dass zu den verträglichen Abbildungen mindestens alle Homomorphismen (X, [mm] f)\to [/mm] (Y, g) gehörten. Solche Homomorphismen sind exakt definiert, und solche Aussagen wären somit eindeutig.
Was ich an Deiner ersten Antwort vermisst habe, ist eine Beschreibung, was Du mit Struktur meinst oder auf welche Verknüpfungsoperationen beziehst. In einer algebraischen Struktur kann es nämlich auch äußere Verknüpfungen geben; was würde es dann bedeuten, wenn eine Abbildungen mit solchen Verknüpfungen verträglich ist? Das kann ich mir nicht einfach intuitiv denken.
Übrigens wäre die Aussage "Verträglichkeit ist nicht eindeutig definiert" auch exakt, aber das würde ich gerne entweder selbst nachlesen oder Du kannst es mir aus Erfahrung zusichern. (Weil diese Aussage ja nicht so was wie die Lösung einer Aufgabe wäre, die man allein anhand der Informationen aus der Aufgabenstellung verifizieren kann.) Im letzteren Fall glaube ich es Dir gerne, es geht mir aber auch darum zu wissen, aus welcher Quelle ich mein "Glauben" beziehe.
Mfg, Tony
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Mo 05.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Mit meiner Frage wollte ich herausfinden, 1. ob es eine zumindest für das Gebiet Algebra allgemein gültige Definition gibt und 2. wie man das Wort "verträglich" genau anwendet: "Eine Abbildung ist verträglich mit einer anderen Abbildung gdw, ...", oder wie?
@straussy: In einem Algebra-Buch (Meyberg) habe ich gesehen, dass bei einer Halbgruppe [mm] (H,\circ) [/mm] und einer Äquivalenzrelation R auf H die Links-/Rechtsverträglichkeit eindeutig definiert ist: "R heißt mit der Verknüpfung [mm] \circ [/mm] linksverträglich, wenn für alle [mm] (x,y)\in [/mm] R und alle [mm] a\in [/mm] H auch (a [mm] \circ [/mm] x, a [mm] \circ [/mm] y) in R liegen. Das müsste zu Deiner Mitteilung passen.
Aber [mm] \circ [/mm] muss per Definition einer Halbgruppe eine innere Verknüpfung, d. h. HxH [mm] \to [/mm] H sein. Was ist aber, wenn ich statt [mm] \circ [/mm] eine Abbildung A zwischen zwei verschiedenen algebraischen Strukturen (X, f, g) [mm] \to [/mm] (Y, h, i) habe, wobei f, g, h, i innere Verknüpfungen sind? Wie ist da Verträglichkeit definiert?
Ein Ansatz wäre vielleicht: Man pickt sich aus beiden alg. Strukturen jeweils eine Verknüpfung, z. B. g und h, heraus und definiert "A ist eine verträgliche Abbildung von (X, g) nach (Y, h), gdw. [mm] \forall x_{1}, x_{2}\in [/mm] X: [mm] a(g(x_{1}, x_{2})) [/mm] = [mm] h(a(x_{1}), a(x_{2}))". [/mm] Äquivalent wäre die Aussage "A ist ein Homomorphismus zwischen (X, g) und (Y, h)". Ein Beispiel wäre die von Heiko angegebene Abbildung exp zwischen [mm] (\IR, [/mm] +) und [mm] (\IR_{>0}, [/mm] *). In dem Fall würde es heißen: "exp ist eine verträgliche Abbildung von [mm] (\IR, [/mm] +) nach [mm] (\IR_{>0}, [/mm] *) ". Korrekt?
Dann die entscheidende Frage: Hat man mit diesen zwei Definitionen alle möglichen Arten von "Verträglichkeit" im Bereich Algebra berücksichtigt?
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