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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Fr 23.01.2009 | | Autor: | tuxor |
| Aufgabe | f(x) = [mm] e^{1-0.5x^2}
[/mm]
Für x > 1 gilt offensichtlich [mm]xe^{1-0.5x^2} > e^{1-0.5x^2}[/mm]. Zeigen Sie damit, dass [mm]\integral_{4}^{\infty}{f(x) dx} < 10^{-3}[/mm] ist. |
Die Aufgabe dürfte mir eigentlich gar keine Probleme bereiten, denn es ist nur eine einfache Abi-Übungsaufgabe von www.isb.bayern.de, aber irgendwie durchschaue ich sie trotzdem nicht so ganz, obwohl auf jener Seite sogar eine "Lösung" steht.
Die Lösung besagt schlicht und ergreifend: [mm]F(x) < F(4) + 0.001[/mm]. Es ist klar und offensichtlich, dass man die zu zeigende Ungleichung auf diese Art umschreiben kann (für x geht gegen unendlich). Aber diese umgeformte Ungleichung ist doch auch nicht offensichtlich richtig oder sehe ich da etwas falsch?
Bitte helft mir auf die Sprünge :)
Viele Grüße
tuxor
Anmerkung: Ich glaube nicht, dass man in diesem Kontext zur Lösungsfindung das stochastische Tafelwerk heranziehen soll. Und eine grafische Lösung halte ich zwar nicht für ganz abwegig, die will mir aber nicht ganz in den Kopf passen ^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Fr 23.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Benutzt wird hier doch, dass man ein Integral vergroessert, wenn man den Integranden vergroessert, und das hat man in dem Bereich x>4 ja zweifellos.
Wenn nur nach ner Loesung, ohne den Tip gefragt waere, wuerde ich [mm] e^{1-0.5x^2}=e*e^{-0.5x^2}
Welches du die "umgeformte Ungl. findest, die nicht klar ist sehe ich nicht ganz. Was F(x) ist ist auch nicht klar, ich nehm an die Stammfkt von [mm] x*e^{-0.5x^2}?
[/mm]
Wenn ich dich falsch verstanden hab, frag nochmal nach.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Fr 23.01.2009 | | Autor: | tuxor |
Erstmal vielen Dank für deine Antwort :)
> Benutzt wird hier doch, dass man ein Integral
> vergroessert, wenn man den Integranden vergroessert, und
> das hat man in dem Bereich x>4 ja zweifellos.
Aber geht es nicht um x > 1?
> Wenn nur nach ner Loesung, ohne den Tip gefragt waere,
> wuerde ich [mm]e^{1-0.5x^2}=e*e^{-0.5x^2}
> x>e einfacher finden.
Was kann man denn aus diesem Tipp über das Integral schließen?
> Welches du die "umgeformte Ungl. findest, die nicht klar
> ist sehe ich nicht ganz.
Damit habe ich mich auf F(x) < F(4) + 0.001 bezogen. Dabei soll es sich schließlich um die Lösung handeln. Aber warum soll das irgendetwas beweisen? Mir kommt es eher so vor, als müsste man das auch erstmal beweisen!
> Was F(x) ist ist auch nicht klar,
> ich nehm an die Stammfkt von [mm]x*e^{-0.5x^2}?[/mm]
F(x) kommt kommentarlos in der "offiziellen" Lösung vor und wird aller Wahrscheinlichkeit nach eine Stammfunktion von f(x) sein.
Ich habe leider nicht das Gefühl, dass ich die Ungleichung jetzt durchschaue. Was mir inzwischen einfach nur noch immer rätselhafter vorkommt ist, wieso da gerade 0.001 steht und nicht irgendeine andere kleine Zahl. Und wieso man ohne weitere Erklärung von F(x) < F(4) + 0.001 ausgehen kann, kommt mir auch ziemlich spanisch vor...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Sa 24.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn man ne positive fkt mit irgendwas >1 multipl. wird sie groesser. deshalb gilt die Ungleichung
[mm] e^{1-0.5x^2}
[mm] \integral_{4}^{x}{e^{1-0.5x^2} dx}<\integral_{4}^{x}{x*e^{1-0.5x^2} dx}=-e^{1-0.5x^2}+e^{1-0.5*4^2}=0.00091..-e^{1-0.5x^2}<0.001
[/mm]
die [mm] e^{1-0.5*4^2} [/mm] sind F(4) die 0.001 als + dahinter sind ein Druckfehler oder ein Abschreibefehler von dir.
du musst ja an die urspruengliche Aufgabe denken!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Sa 24.01.2009 | | Autor: | tuxor |
So Danke, ich habe es jetzt gerafft :)
> wenn man ne positive fkt mit irgendwas >1 multipl. wird
> sie groesser. deshalb gilt die Ungleichung
>
> [mm]e^{1-0.5x^2}
> mehr hat die 1 nicht zu sagen. deshalb gilt
Soweit war mir das ja auch noch klar ;)
> [mm]\integral_{4}^{x}{e^{1-0.5x^2} dx}<\integral_{4}^{x}{x*e^{1-0.5x^2} dx}=-e^{1-0.5x^2}+e^{1-0.5*4^2}=0.00091..-e^{1-0.5x^2}<0.001[/mm]
*Hand vor die Stirn schlag* Ohmann, ich war mal wieder mit Blindheit geschlagen, wie es aussieht...
> die [mm]e^{1-0.5*4^2}[/mm] sind F(4) die 0.001 als + dahinter sind
> ein Druckfehler oder ein Abschreibefehler von dir.
Nein, das habe ich nicht falsch abgeschrieben, sondern das steht da tatsächlich. Und es ist aber auch nicht falsch. Wenn - wie ich gesagt habe - F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, dann ist nämlich F(4) nicht [mm]e^{1-0.5*4^2}[/mm] sondern etwas anderes, was man nicht als Term ohne Integral darstellen kann.
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