Verteilungsfunktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Sa 02.02.2013 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | Gegeben sei die Verteilungsfunktion
F(x)=
[mm] \bruch{e^{x}}{2} [/mm] für x < 0
[mm] 1-e^{-x-1} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 0
sorry, mit latex hat es enfach niche funktioniert.....
1. Zeigen Sie, dass F wirklich eine Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ist.
2. Berechnen Sie den Erwartungswert einer Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F. |
erstmal zu 1
bei Dichtefunktion weiß ich, dass man die Funktion integrieren muss um zu zeigen, dass es eine Dichtefunktion ist, wenn es dann =1 ist. aber hier weiß ich nicht, was und wie ist zeigen muss.
bin dankbar für jeden Tipp!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Sa 02.02.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Gegeben sei die Verteilungsfunktion
>
> F(x)=
> [mm]\bruch{e^{2}}{2}[/mm] für x < 0
> [mm]1-e^{-x}[/mm] für x [mm]\ge[/mm] 0
bist Du sicher, dass Du die Funktion richtig abgetippt hast?
> 1. Zeigen Sie, dass F wirklich eine Verteilungsfunktion
> eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ist.
> 2. Berechnen Sie den Erwartungswert einer Zufallsvariable
> mit Verteilungsfunktion F.
>
> erstmal zu 1
> bei Dichtefunktion weiß ich, dass man die Funktion
> integrieren muss um zu zeigen, dass es eine Dichtefunktion
> ist, wenn es dann =1 ist. aber hier weiß ich nicht, was
> und wie ist zeigen muss.
Dann solltest Du einen Blick ins Skript/Buch/Wiki o.ä. werfen und die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion nachschlagen. Diese gilt es dann zu überprüfen bzw. zu zeigen.
>
> bin dankbar für jeden Tipp!
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Sa 02.02.2013 | | Autor: | kioto |
hallo notinX
sorry, jab den fehler gesehen und korrigiert
meinst du das hier?
1. F ist monoton steigend
2. F ist rechtsseitig stetig
3. [mm] \limes_{n\rightarrow-\infty}F(x)=0 [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}F(x) [/mm] =1
bei 1 ist ja klar, weil es schon gegeben ist: x<0 ist ja < als x [mm] \ge [/mm] 0
bei 3 ist
[mm] \limes_{n\rightarrow-\infty}e^{x}/2 [/mm] ist ja 0/2 also =0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1-e^{-x} [/mm] ist 1-0 also 1
stimmt es so?
bei 2 weiß ich noch nicht so recht wie es geht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Sa 02.02.2013 | | Autor: | notinX |
> hallo notinX
>
> sorry, jab den fehler gesehen und korrigiert
>
> meinst du das hier?
> 1. F ist monoton steigend
> 2. F ist rechtsseitig stetig
> 3. [mm]\limes_{n\rightarrow-\infty}F(x)=0[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}F(x)[/mm] =1
>
> bei 1 ist ja klar, weil es schon gegeben ist: x<0 ist ja <
> als x [mm]\ge[/mm] 0
Also mir ist das klar, Deine 'Begründung' ist nicht sehr mathematisch und würde vermutlich keine (vollen) Punkte in einer Klausur geben. Zeig die Monotonie doch sauber, das ist nicht schwer.
> bei 3 ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow-\infty}e^{x}/2[/mm] ist ja 0/2 also =0
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}1-e^{-x}[/mm] ist 1-0 also 1
> stimmt es so?
Nein! Es muss gelten: [mm] $\lim_{{\color{red}x}\to-\infty}F(x)=0$ [/mm] und [mm] $\lim_{{\color{red}x}\to\infty}F(x)=1$
[/mm]
>
> bei 2 weiß ich noch nicht so recht wie es geht
Dazu solltest Du wissen, was rechtsseitige Stetigkeit ist. Schlag die Definition mal nach und schau, ob Du damit weiter kommst.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Sa 02.02.2013 | | Autor: | kioto |
hallo notinX
> > meinst du das hier?
> > 1. F ist monoton steigend
> > 2. F ist rechtsseitig stetig
> > 3. [mm]\limes_{n\rightarrow-\infty}F(x)=0[/mm] und
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}F(x)[/mm] =1
> >
> > bei 1 ist ja klar, weil es schon gegeben ist: x<0 ist ja <
> > als x [mm]\ge[/mm] 0
>
> Also mir ist das klar, Deine 'Begründung' ist nicht sehr
> mathematisch und würde vermutlich keine (vollen) Punkte in
> einer Klausur geben. Zeig die Monotonie doch sauber, das
> ist nicht schwer.
>
> > bei 3 ist
> > [mm]\limes_{n\rightarrow-\infty}e^{x}/2[/mm] ist ja 0/2 also =0
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}1-e^{-x}[/mm] ist 1-0 also 1
> > stimmt es so?
>
> Nein! Es muss gelten: [mm]\lim_{{\color{red}x}\to-\infty}F(x)=0[/mm]
> und [mm]\lim_{{\color{red}x}\to\infty}F(x)=1[/mm]
>
sorry, hab es übersehen. aber wenn es da x statt n steht, ist es immer noch falsch?
> >
> > bei 2 weiß ich noch nicht so recht wie es geht
>
> Dazu solltest Du wissen, was rechtsseitige Stetigkeit ist.
> Schlag die Definition mal nach und schau, ob Du damit
> weiter kommst.
ich konnte mit der Definition nicht viel anfangen..... kann ich für x was einsetzen und damit zeigen?
>
> Gruß,
>
> notinX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Sa 02.02.2013 | | Autor: | notinX |
> hallo notinX
>
> > > meinst du das hier?
> > > 1. F ist monoton steigend
> > > 2. F ist rechtsseitig stetig
> > > 3. [mm]\limes_{n\rightarrow-\infty}F(x)=0[/mm] und
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}F(x)[/mm] =1
> > >
> > > bei 1 ist ja klar, weil es schon gegeben ist: x<0 ist ja <
> > > als x [mm]\ge[/mm] 0
> >
> > Also mir ist das klar, Deine 'Begründung' ist nicht sehr
> > mathematisch und würde vermutlich keine (vollen) Punkte in
> > einer Klausur geben. Zeig die Monotonie doch sauber, das
> > ist nicht schwer.
> >
> > > bei 3 ist
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow-\infty}e^{x}/2[/mm] ist ja 0/2 also =0
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}1-e^{-x}[/mm] ist 1-0 also 1
> > > stimmt es so?
> >
> > Nein! Es muss gelten: [mm]\lim_{{\color{red}x}\to-\infty}F(x)=0[/mm]
> > und [mm]\lim_{{\color{red}x}\to\infty}F(x)=1[/mm]
> >
> sorry, hab es übersehen. aber wenn es da x statt n steht,
> ist es immer noch falsch?
Nein, dann stimmts.
>
> > >
> > > bei 2 weiß ich noch nicht so recht wie es geht
> >
> > Dazu solltest Du wissen, was rechtsseitige Stetigkeit ist.
> > Schlag die Definition mal nach und schau, ob Du damit
> > weiter kommst.
>
> ich konnte mit der Definition nicht viel anfangen..... kann
> ich für x was einsetzen und damit zeigen?
Für alle Werte [mm] $x\neq [/mm] 0$ ist die Sache ja klar, da ist die Funktion also Komposition stetiger Funktionen stetig. Es muss also nur der Punkt x=0 auf rechtsseitige Stetigkeit überprüft werden. Zeige dazu, dass
[mm] $\lim_{h \to 0} [/mm] F(0-h)$
existiert und mit dem Funktionswert an der Stelle x=0 übereinstimmt.
Das ist übrigens genau das, was auch bei ![[]](/images/popup.gif) Wiki steht.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Sa 02.02.2013 | | Autor: | kioto |
Hallo notinX,
also
x=0
[mm] F(x)=1-e^{0}=1-1=0
[/mm]
stimmt es so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Sa 02.02.2013 | | Autor: | notinX |
> Hallo notinX,
>
> also
> x=0
> [mm]F(x)=1-e^{0}=1-1=0[/mm]
>
> stimmt es so?
Ja, das ist aber nur die eine Hälfte des Beweises.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Sa 02.02.2013 | | Autor: | kioto |
hallo notinX,
was fehlt noch? dachte, dass die Stelle existiert, habe ich gezeigt, und dass sie mit F(x) übereinstimmt, habe ich auch gezeigt
oder ist
[mm] \limes_{h\rightarrow0}F(0-h) [/mm] = 1-1=0
was noch fehlt? aber was habe ich damit gezeigt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Sa 02.02.2013 | | Autor: | notinX |
> hallo notinX,
>
> was fehlt noch? dachte, dass die Stelle existiert, habe ich
> gezeigt, und dass sie mit F(x) übereinstimmt, habe ich
Eine Stelle kann nicht mit einer Funktion übereinstimmen! Das sind zwei völlig verschiedene Dinge.
Ich habe das Gefühl, Dir ist nicht klar was Du überhaupt zeigen willst (obwohl ich das schon klar für Dich formuliert habe).
Lies das nochmal nach und mach Dir klar, was das bedeutet.
> auch gezeigt
>
> oder ist
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}F(0-h)[/mm] = 1-1=0
> was noch fehlt? aber was habe ich damit gezeigt?
Ja, das ist das was noch fehlt. Ich sehe gerade, dass das nicht ganz richtig ist, es muss gezeigt werden, dass:
[mm] $\limes_{h\rightarrow0}F(0+h)$ [/mm] existiert - warum?
Überlege mal selbst, was Du damit gezeigt hast.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Sa 02.02.2013 | | Autor: | kioto |
> > hallo notinX,
> >
> > was fehlt noch? dachte, dass die Stelle existiert, habe ich
> > gezeigt, und dass sie mit F(x) übereinstimmt, habe ich
>
es stimmt mit dem Wert der Funktion an der Stelle überein, ist so richtig?
> Eine Stelle kann nicht mit einer Funktion übereinstimmen!
> Das sind zwei völlig verschiedene Dinge.
> Ich habe das Gefühl, Dir ist nicht klar was Du überhaupt
> zeigen willst (obwohl ich das schon klar für Dich
> formuliert habe).
> Lies das nochmal nach und mach Dir klar, was das bedeutet.
>
> > auch gezeigt
> >
> > oder ist
> > [mm]\limes_{h\rightarrow0}F(0-h)[/mm] = 1-1=0
> > was noch fehlt? aber was habe ich damit gezeigt?
>
> Ja, das ist das was noch fehlt. Ich sehe gerade, dass das
> nicht ganz richtig ist, es muss gezeigt werden, dass:
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}F(0+h)[/mm] existiert - warum?
weil es rechtsstetig sein soll, deshalb muss es + sein, stimmt?
ist das der rechtsseitige Grenzwert?
> Überlege mal selbst, was Du damit gezeigt hast.
>
> Gruß,
>
> notinX
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Sa 02.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > hallo notinX,
> > >
> > > was fehlt noch? dachte, dass die Stelle existiert, habe ich
> > > gezeigt, und dass sie mit F(x) übereinstimmt, habe ich
> >
> es stimmt mit dem Wert der Funktion an der Stelle überein,
> ist so richtig?
>
> > Eine Stelle kann nicht mit einer Funktion übereinstimmen!
> > Das sind zwei völlig verschiedene Dinge.
> > Ich habe das Gefühl, Dir ist nicht klar was Du überhaupt
> > zeigen willst (obwohl ich das schon klar für Dich
> > formuliert habe).
> > Lies das nochmal nach und mach Dir klar, was das bedeutet.
> >
> > > auch gezeigt
> > >
> > > oder ist
> > > [mm]\limes_{h\rightarrow0}F(0-h)[/mm] = 1-1=0
> > > was noch fehlt? aber was habe ich damit gezeigt?
> >
> > Ja, das ist das was noch fehlt. Ich sehe gerade, dass das
> > nicht ganz richtig ist, es muss gezeigt werden, dass:
> > [mm]\limes_{h\rightarrow0}F(0+h)[/mm] existiert - warum?
> weil es rechtsstetig sein soll, deshalb muss es + sein,
> stimmt?
> ist das der rechtsseitige Grenzwert?
Ja
FRED
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> > Überlege mal selbst, was Du damit gezeigt hast.
> >
> > Gruß,
> >
> > notinX
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:12 Mi 10.04.2013 | | Autor: | kioto |
das hier habe ich wieder vergessen....
umzu beweisen, dass F(x) monoton steigend ist, reicht es wenn ich die Funktion einfach ableite? also ohne die Fallunterscheidung zu beachten?
> > 1. F ist monoton steigend
> > 2. F ist rechtsseitig stetig
> > 3. [mm]\limes_{n\rightarrow-\infty}F(x)=0[/mm] und
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}F(x)[/mm] =1
> >
danke schon mal!
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Hallo,
> das hier habe ich wieder vergessen....
>
> umzu beweisen, dass F(x) monoton steigend ist, reicht es
> wenn ich die Funktion einfach ableite? also ohne die
> Fallunterscheidung zu beachten?
Irgendwie stimmt dein F in der Aufgabe immer noch nicht.
Das ist ja gar nicht monoton wachsend, denn die Funktion hat F(0) = 0, aber [mm] $\lim_{x\to 0-}F(x) [/mm] = 1/2$.
Unabhängig davon:
Du musst die Fallunterscheidung beachten. Du kannst mit Hilfe der 1. Ableitung zunächst nachweisen, dass F auf den beiden Bereichen [mm] $(-\infty,0)$ [/mm] und $(0, [mm] \infty)$ [/mm] monoton wächst.
Dann musst du noch zeigen, dass an der Stelle 0 kein Sprung nach unten auftritt.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:55 Mi 10.04.2013 | | Autor: | kioto |
hallo stefan,
> > das hier habe ich wieder vergessen....
> >
> > umzu beweisen, dass F(x) monoton steigend ist, reicht
> es
> > wenn ich die Funktion einfach ableite? also ohne die
> > Fallunterscheidung zu beachten?
>
> Irgendwie stimmt dein F in der Aufgabe immer noch nicht.
> Das ist ja gar nicht monoton wachsend, denn die Funktion
> hat F(0) = 0, aber [mm]\lim_{x\to 0-}F(x) = 1/2[/mm].
aber da heißt es ja x<0, dann wird der wert 0 hier doch nicht angenommen
> Unabhängig davon:
>
> Du musst die Fallunterscheidung beachten. Du kannst mit
> Hilfe der 1. Ableitung zunächst nachweisen, dass F auf den
> beiden Bereichen [mm](-\infty,0)[/mm] und [mm](0, \infty)[/mm] monoton
> wächst.
ich versteh nicht ganz, was ich mit der Fallunterscheidung machen soll. wie beachte ich sie beim ableiten?
> Dann musst du noch zeigen, dass an der Stelle 0 kein
> Sprung nach unten auftritt.
meinst du, dass für [mm] \ge [/mm] 0 stetig ist? aber das ist doch erst das nächste Kriterium.
lg
ki
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Hallo kioto,
mir scheint, dass du ganz einfach die gegebene
Verteilungsfunktion nicht richtig wiedergegeben hast !
Für [mm] x\ge0 [/mm] muss es doch wohl so lauten:
$\ F(x)\ =\ [mm] 1\,-\,\frac{e^{-x}}{2}$
[/mm]
Damit wird die Funktion durchwegs stetig und
monoton steigend. So wie du die Funktion angegeben
hast (mit dem Sprung nach unten an der Stelle
x=0) kann F keine Verteilungsfunktion sein !
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:20 Mi 10.04.2013 | | Autor: | kioto |
hallo
habe tatsächlich was vergessen, bei x [mm] \ge [/mm] 0 muss es so aussehen
[mm] F(x)=1-e^{-x-1}
[/mm]
>
> Für [mm]x\ge0[/mm] muss es doch wohl so lauten:
>
> [mm]\ F(x)\ =\ 1\,-\,\frac{e^{-x}}{2}[/mm]
>
> Damit wird die Funktion durchwegs stetig und
> monoton steigend.
aber wie beweise ich es?
So wie du die Funktion angegeben
> hast (mit dem Sprung nach unten an der Stelle
> x=0) kann F keine Verteilungsfunktion sein !
>
> LG , Al-Chwarizmi
>
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Hallo,
> hallo
> habe tatsächlich was vergessen, bei x [mm]\ge[/mm] 0 muss es so
> aussehen
> [mm]F(x)=1-e^{-x-1}[/mm]
> > Damit wird die Funktion
> > monoton steigend.
> aber wie beweise ich es?
Berechne F'(x) dort, wo F differenzierbar ist. Dort kannst du das Kriterium
F' [mm] \ge [/mm] 0 --> F monoton wachsend
benutzen. Bei dir ist F auf den Intervallen [mm] (-\infty,0) [/mm] und (0, [mm] \infty) [/mm] differenzierbar (also NICHT bei 0).
Dort kannst du die Ableitungen berechnen: Auf [mm] (-\infty,0) [/mm] ist F'(x) = [mm] \frac{e^x}{2} [/mm] > 0$, ....
Damit erhältst du, dass F auf [mm] (-\infty,0) [/mm] und (0, [mm] \infty) [/mm] monoton wachsend ist. Es gibt nur noch ein Problem, nämlich die Sprungstelle x = 0.
Du musst also zeigen, dass F auch dort monoton wachsend ist, also einen Sprung nach oben macht.
Dazu zeigst du: [mm] $\lim_{x\to 0-}F(x) [/mm] = 1/2 < 1-1/e = F(0)$.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Mi 10.04.2013 | | Autor: | kioto |
hallo
> habe tatsächlich was vergessen, bei x [mm]\ge[/mm] 0 muss es so
> aussehen
> [mm]F(x)=1-e^{-x-1}[/mm]
>
das zweite Kriterium mit der rechtsstetigkeit:
ich muss zeigen
[mm] \limes_{h\rightarrow0} [/mm] F(x-h) = F(x)
ich setze dann für x=0 ein und bekomme auf beiden Seiten 1-exp(-1), ist die rechtsstetigkeit somit bewiesen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mi 10.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> hallo
> > habe tatsächlich was vergessen, bei x [mm]\ge[/mm] 0 muss es so
> > aussehen
> > [mm]F(x)=1-e^{-x-1}[/mm]
> >
> das zweite Kriterium mit der rechtsstetigkeit:
> ich muss zeigen
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}[/mm] F(x-h) = F(x)
????????
>
> ich setze dann für x=0 ein und bekomme auf beiden Seiten
> 1-exp(-1), ist die rechtsstetigkeit somit bewiesen?
>
Du mußt zeigen
$ [mm] \lim_{x\to 0+0}F(x) [/mm] = F(0) $
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mi 10.04.2013 | | Autor: | kioto |
hallo,
also
F(0)=1-exp(-1)
[mm] \limes_{x\rightarrow0+0} [/mm] F(x)=1-exp(-1)
somit gilt [mm] F(0)=\limes_{x\rightarrow0+0} [/mm] F(x)und die rechtsstetigkeit ist bewiesen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mi 10.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
> also
>
> F(0)=1-exp(-1)
> [mm]\limes_{x\rightarrow0+0}[/mm] F(x)=1-exp(-1)
>
> somit gilt [mm]F(0)=\limes_{x\rightarrow0+0}[/mm] F(x)und die
> rechtsstetigkeit ist bewiesen?
Ja
FRED
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