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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 So 11.09.2011 | | Autor: | folken |
| Aufgabe | Eine Zufallsvariable X hat die Verteilungsfunktion
F(x) = [mm] =\begin{cases} 0, x<1 \\ \bruch{1}{4}, 1 \le x < 5
\\ 1, 5 \le x
\end{cases}
[/mm]
Für die Stichprobe [mm] (X_1,X_2, [/mm] . . . [mm] ,X_6), [/mm] die aus dieser Verteilung gezogen wird, sei [mm] \overline{X}
[/mm]
das Stichprobenmittel. Berechnen Sie
a) Erwartungswert und Varianz von [mm] \overline{X} [/mm] |
Hallo,
habe hier ein Problem mit einer kleinen Aufgabe.
Mir ist klar, dass [mm] E(\overline{X})= \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{6} E(X_i).
[/mm]
Für ein [mm] X_i [/mm] kann man den Erwartungswert über folgende Formel berechnen [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}. [/mm] Die Dichtefunktion wiederrum ist eine Ableitung von der Verteilungsfunktion. Aber das kann ich doch nicht einfach ableiten oder? Ich glaube irgendeinen Zusammenhang habe ich noch nicht verstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 So 11.09.2011 | | Autor: | folken |
Danke dir erstmal für deine Antwort, aber leider
bringt mich das noch nicht viel weiter bzw. verstehe noch nicht so ganz wie mir dieser Satz hier helfen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 So 11.09.2011 | | Autor: | luis52 |
> Danke dir erstmal für deine Antwort, aber leider
> bringt mich das noch nicht viel weiter bzw. verstehe noch
> nicht so ganz wie mir dieser Satz hier helfen kann.
Wo ist noch das Problem? Bestiimme [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma^2$ [/mm] fuer die durch die Verteilungsfunktion $F_$ gegebene Verteilung. Setze dann in die Formeln ein.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 So 11.09.2011 | | Autor: | folken |
Ok, also da steht ja, das von jedem [mm] X_i [/mm] der Erwartungswert, gleichzeitig der Erwartungswert von [mm] \overline{X} [/mm] ist. Also wäre z.B. hier nach der Erwartungswert von [mm] X_1, [/mm] was eine Konstante ist gleich [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und der Erwartungswert von [mm] X_6 [/mm] gleich 1?? Deswegen denke ich, das ich hier irgendwas noch nicht verstanden habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 So 11.09.2011 | | Autor: | luis52 |
> Ok, also da steht ja, das von jedem [mm]X_i[/mm] der Erwartungswert,
> gleichzeitig der Erwartungswert von [mm]\overline{X}[/mm] ist. Also
> wäre z.B. hier nach der Erwartungswert von [mm]X_1,[/mm] was eine
> Konstante ist gleich [mm]\bruch{1}{4}[/mm] und der Erwartungswert
> von [mm]X_6[/mm] gleich 1?? Deswegen denke ich, das ich hier
> irgendwas noch nicht verstanden habe.
Du bist vollkommen auf dem Holzweg. Alle Variablen [mm] $X_1,\dots,X_6$ [/mm] haben *denselben* Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] und *dieselbe* Varianz [mm] $\sigma^2$. [/mm]
Du musst dir ueberlegen, wie man aus der obigen Verteilungsfunktion [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma^2$ [/mm] bestimmt. Ich errechne (ohne Gewaehr): [mm] $\mu=4$ [/mm] und [mm] $\sigma^2=3$. [/mm] Also ist [mm] $\text{E}[\bar [/mm] X]=4$ und [mm] $\text{Var}[\bar [/mm] X]=1/2$.
vg Luis
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Satz 2.30, Seite 62,