Verteilungsfunkt.Eigenschaften < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
eine Verständnisfrage:
man habe eine Verteilungsfunktion F . Dann hat diese bestimmte Eigenschaften wie Monotonie lim F(x) = 1 für x -> [mm] \infty [/mm] usw.
Was mir nicht so klar ist, ist folgendes: wenn wir eine Funktion haben und diese die Eigenschaften erfüllt, muss diese eine Verteilungsfunktion sein ?
Was ich weiß , ist nur : sei F eine Verteilungsfunktion ... , dann müßen die Eigenschaften gelten. Gilt hier auch die Umkehrung : eine Fkt. erfüllt Eigenschaften, dann ist diese eine Verteilungsfunktion ?
Warum?
Gruß
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Fr 28.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ist meine Frage unverständlich gestellt oder habt ihr keine Ideen bis jetzt ?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Fr 28.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
>
> eine Verständnisfrage:
>
> man habe eine Verteilungsfunktion F . Dann hat diese
> bestimmte Eigenschaften wie Monotonie lim F(x) = 1 für x
> -> [mm]\infty[/mm] usw.
> Was mir nicht so klar ist, ist folgendes: wenn wir eine
> Funktion haben und diese die Eigenschaften erfüllt, muss
> diese eine Verteilungsfunktion sein ?
>
> Was ich weiß , ist nur : sei F eine Verteilungsfunktion
> ... , dann müßen die Eigenschaften gelten. Gilt hier auch
> die Umkehrung : eine Fkt. erfüllt Eigenschaften, dann ist
> diese eine Verteilungsfunktion ?
>
> Warum?
>
> Gruß
> Igor
>
Man findet zu einem F eine meßbare Abbildung [mm] g:[0,1]\to\IR, [/mm] so dass diese als ZV auf dem W-Raum [mm] ([0,1],\mathcal{B}([0,1]),\lambda) [/mm] die Gleichung
[mm] F(t)=\lambda(g^{-1}((-\infty,t]))
[/mm]
erfüllt.
Im wesentlichen ist g eine Umkehrung von F, da wo F streng monoton steigend ist. g macht Sprünge, da wo F konstant ist und umgekehrt.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Fr 28.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe es nicht verstanden. Vielleicht soll ich die Frage nochmal zusammenfassend posten:
Man weiß, dass falls F Verteilungsfunktion ist, dann müßen die ("allen" ) bekannten
Eigenschaften der Verteilungsfunktion gelten.(Es gibt in unserem Skript 5 Eigenschaften:
F(x) [mm] \in [/mm] [0,1] , Monotonie von F , lim F(x) =1 für [mm] x->\infty. [/mm] lim F(x) = 0 [mm] x->-\infty, [/mm]
und rechtseitige Stetigkeit.
Nun habe ich zuerst mich gefragt und jetzt euch: wenn wir eine beliebige Funktion f
haben und diese , nehmen wir an, die 5 oben genannten Eigenschaften erfüllt,
ist diese dann eine Verteilungsfunktion ?
Gilt also Äquivalenz im Satz über die Eigenschaften der Verteilungsfunktion ? ( F Verteilungsfunktion [mm] \gdw [/mm] 5 Eigenschaften müßen von F erfüllt sind (Bemerkung: rechts ist F eine beliebige Funktion)
oder es gilt nur die Implikation : F Verteilungsfunktion [mm] \Rightarrow [/mm] 5 Eigenschaften müßen von F erfüllt sein )
und warum?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Fr 28.05.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
schau mal hier:
@book{rohatgi-introduction,
title={{An introduction to probability theory and mathematical statistics. 1976}},
author={Rohatgi, VK},
publisher={Wiley, New York}
}
S.56-59.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Fr 28.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo luis52,
wo finde ich das Buch?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Fr 28.05.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hallo luis52,
>
> wo finde ich das Buch?
>
In eurer Bibliothek?
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Fr 28.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
>
> ich habe es nicht verstanden. Vielleicht soll ich die Frage
> nochmal zusammenfassend posten:
>
> Man weiß, dass falls F Verteilungsfunktion ist, dann
> müßen die ("allen" ) bekannten
> Eigenschaften der Verteilungsfunktion gelten.(Es gibt in
> unserem Skript 5 Eigenschaften:
> F(x) [mm]\in[/mm] [0,1] , Monotonie von F , lim F(x) =1 für
> [mm]x->\infty.[/mm] lim F(x) = 0 [mm]x->-\infty,[/mm]
> und rechtseitige Stetigkeit.
>
> Nun habe ich zuerst mich gefragt und jetzt euch: wenn wir
> eine beliebige Funktion f
> haben und diese , nehmen wir an, die 5 oben genannten
> Eigenschaften erfüllt,
> ist diese dann eine Verteilungsfunktion ?
>
> Gilt also Äquivalenz im Satz über die Eigenschaften der
> Verteilungsfunktion ? ( F Verteilungsfunktion [mm]\gdw[/mm] 5
> Eigenschaften müßen von F erfüllt sind (Bemerkung:
> rechts ist F eine beliebige Funktion)
> oder es gilt nur die Implikation : F Verteilungsfunktion
> [mm]\Rightarrow[/mm] 5 Eigenschaften müßen von F erfüllt sein )
>
> und warum?
Was bedeutet denn "Verteilungsfunktion sein"?
Ist X eine ZV auf einem W-Raum, so ist die Verteilungsfunktion über das Bildmaß von X definiert:
[mm] F_X(t):=P_X((-\infty,t])=P(X^{-1}((-\infty,t]))
[/mm]
Hieraus folgen die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion.
Hat man nun ein F(t) gegeben, welches die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion besitzt, ist die Frage, ob es eine ZV gibt, deren Verteilungsfunktion [mm] F_X(t) [/mm] mit F(t) übereinstimmt.
Wählt man ([0,1], [mm] \mathcal{B}([0,1]), \lambda) [/mm] als W-Raum, dann sucht man eine meßbare Abbildung [mm] X:[0,1]\to\IR, [/mm] so dass die Verteilungsfunktion von X mit F übereinstimmt, d.h. man sucht ein X, so dass
[mm] F(t)=\lambda(X^{-1}((-\infty,t]))
[/mm]
erfüllt ist.
[mm] X:[0,1]\to\IR [/mm] kann man nun aus der Umkehrung von [mm] F:\IR\to [/mm] [0,1] unter entsprechender Berücksichtigung der Sprünge und konstanten Abschnitte gewinnen.
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Fr 28.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Igor,
in der Tat ist jede monoton wachsende rechtsseitig stetige Funktion [mm] $F:\IR\to\IR$ [/mm] mit [mm] $\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$ [/mm] und [mm] $\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$ [/mm] die Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf dem messbaren Raum [mm] $(\IR,\IB)$, [/mm] wobei [mm] $\IB$ [/mm] die borelsche Sigma-Algebra sei.
Viele Grüße
Tobias
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