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| Aufgabe | Nach dem diesjährigen Doping Destaster bei der Tour de France (diese Klausuraufgabe wurde schon 98 gestellt :) ) mußte der internationale Radsportverband feststellen, daß 10% aller Profiradfahre gedopt sind.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Team bestehend aus 8 Fahrern mindestens 2 gedopt sind.
b) wie viele Fahrer müssen von der Tour Leitung mindestens untersucht weren, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von über 50%, wenigstens ein Dopingsünder gefunden wird?
c) Angenommen 10 Teams nehmen an der Tour teil. Ein Team wird von der Tour ausgeschlossen, sobalrd ein Fahrer des Dopings überführt wurde. Wie groß ist der Erwartungswert der ausgeschlossenen Teams? |
Hoffe mir kann jemand bei meinen Fragen weiterhelfen - meine vorläufigen Lösungen:
Zu a) [mm] \vektor{8 \\ 1}*0,1^{1}*0,9^{7} +\vektor{8 \\ 0}*0,1^{0}*0,9^{8}=0,813 [/mm] --> 1-0,813=0,187
Zu b)
fehlt mit der Ansatz
Zu c)
Hier weiß ich nicht konkret was ich als "n" und "x" nehmen soll. Ich weiß zwar das ich p ausrechnen und dann in die Formel E(X)=n*p einsetzen muss - das hilft mir jedoch nicht weiter.
Vielen Dank für jeden Tipp!
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Hallo alexchill,
> Nach dem diesjährigen Doping Destaster bei der Tour de
> France (diese Klausuraufgabe wurde schon 98 gestellt :) )
> mußte der internationale Radsportverband feststellen, daß
> 10% aller Profiradfahre gedopt sind.
Also ist [mm]p := 0.1[/mm] wie du schon festgestellt hast. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Team
> bestehend aus 8 Fahrern mindestens 2 gedopt sind.
>
> Zu a) [mm]\vektor{8 \\ 1}*0,1^{1}*0,9^{7} +\vektor{8 \\ 0}*0,1^{0}*0,9^{8}=0,813[/mm]
> --> 1-0,813=0,187
>
Ich denke das stimmt. (Den konkreten Wert habe ich jetzt nicht nachgerechnet.)
> b) wie viele Fahrer müssen von der Tour Leitung mindestens
> untersucht weren, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von
> über 50%, wenigstens ein Dopingsünder gefunden wird?
Sei [mm]X\sim\operatorname{Bin}(n,0.1)[/mm] die Anzahl der Dopingsünder aus [mm]n[/mm] kontrollierten Fahrern. Gegeben ist:
[mm]P(X \ge 1) = 1-P(X=0) = 1-\binom{n}{0}0.1^00.9^n = 1-0.9^n > 0.5[/mm]
Formt man dies nach [mm]0.9^n[/mm] um, logarithmiert(, und beachtet, daß sich bei der Division mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen umdreht), kommt man nach dem Aufrunden auf mindestens 7 Fahrer, die kontrolliert werden sollten. Seltsam, daß die Doping-W'keit schon nach der Kontrolle von 7 Fahrern so hoch ist. Entweder mache ich doch einen Denkfehler oder die Tour ist mittlerweile tatsächlich so verkommen!? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> c) Angenommen 10 Teams nehmen an der Tour teil. Ein Team
> wird von der Tour ausgeschlossen, sobalrd ein Fahrer des
> Dopings überführt wurde. Wie groß ist der Erwartungswert
> der ausgeschlossenen Teams?
>
> Zu c)
> Hier weiß ich nicht konkret was ich als "n" und "x" nehmen
> soll. Ich weiß zwar das ich p ausrechnen und dann in die
> Formel E(X)=n*p einsetzen muss - das hilft mir jedoch nicht
> weiter.
Na ja bei a) steht ja, daß ein Team aus 8 Fahrern besteht, also wäre der Erwartungswert für jedes Team [mm]8\cdot{0.1}[/mm]. Und für alle Teilnehmer wäre der Erwartungswert 8. Ich markiere die Frage aber doch lieber als teilweise beantwortet. 
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Mi 02.08.2006 | | Autor: | alexchill |
Vielen Dank für die rasche Beantwortung. Mit der b) liegt du wohl richtig. Ich hätte einen ähnlichen Ansatz auch mal, aber es dann gelassen weil wir für gewöhnlich nicht mit ln gearbeitet haben, aber nun gut:). Bei c) liegst du glaub ich falsch, ich denke nicht das man davon ausgehen kann, dass die Bedingung unter a) auch für c) gilt ?!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mi 02.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Nach dem diesjährigen Doping Destaster bei der Tour de
> France (diese Klausuraufgabe wurde schon 98 gestellt :) )
> mußte der internationale Radsportverband feststellen, daß
> 10% aller Profiradfahre gedopt sind.
>
> a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Team
> bestehend aus 8 Fahrern mindestens 2 gedopt sind.
>
Der Ansatz von Karl ist korrekt, es ist auch sinnvoll, hier über das Gegenereignis zu rechnen, nämlich, dass höchstens ein Fahrer aus einem Team gedopt ist.
Was Karl nur vergass ist der Fall, dass alle sauber sind, also musst du folgendes berechnen.
p(E = mind. 2 Fahrer gedopt) = 1- p(E = höchstens 1 Fahrer gedopt) =
1- [mm] [\vektor{8 \\ 0} [/mm] * [mm] 0,1^{0} *0,9^{8} [/mm] + [mm] \vektor{8 \\ 1} [/mm] * [mm] 0,1^{1} [/mm] * [mm] 0,9^{7}] [/mm] =...
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mi 02.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
> c) Angenommen 10 Teams nehmen an der Tour teil. Ein Team wird von > der Tour ausgeschlossen, sobalrd ein Fahrer des Dopings überführt > wurde. Wie groß ist der Erwartungswert der ausgeschlossenen Teams?
Hallo
Das sinnvollste ist, erst einmal die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Team sauber bleibt.
Hier gilt:
p = [mm] \vektor{8 \\ 0} [/mm] * [mm] 0,1^{0} [/mm] * [mm] 0,9^{8} \approx [/mm] 0,43 = 43%.
Also beträgt die W-keit, dass ein Team sauber ist, gerade mal 43%.
Der Erwartungswert E ist ja n * p, also in deinem Fall
E = [mm] \underbrace{10}_{Teams} [/mm] * [mm] \underbrace{(1-0,43)}_{W.-keit f. ein Team m. Dopingf.} [/mm] = 5,7.
Also müsste man nach der Regelung damit rechnen, dass fünf bis sechs Teams ausgeschlossen werden.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 03.08.2006 | | Autor: | alexchill |
Jo - klingt logisch. Vielen Dank!
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