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| Aufgabe | Gegeben ist ein gleichverteiltes [mm] \alpha.
[/mm]
Dieses wird in die Funktion [mm] \summe_{i=1}^{50} [/mm] (cos [mm] (\alpha_i)) [/mm] gesteckt. |
Kann man sagen was für eine verteilung da herauskommen wird und wie man auf standardabweichung usw. kommt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Di 17.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Gegeben ist ein gleichverteiltes [mm]\alpha.[/mm]
> Dieses wird in die Funktion [mm]\summe_{i=1}^{50}[/mm] (cos
> [mm](\alpha_i))[/mm] gesteckt.
> Kann man sagen was für eine verteilung da herauskommen
> wird und wie man auf standardabweichung usw. kommt?
Ich würde erstmal
[mm] F_{\cos\alpha}(t)=\integral 1_{(-\infty,t]}(\cos\alpha)dP
[/mm]
ausrechnen und dann schauen was bei der zweifachen, dreifachen,... Faltung herauskommt, und prüfen ob man eine rekursive oder gar explizite Form findet:
[mm] Z_n:=\summe_{j=1}^n cos\alpha_j
[/mm]
[mm] F_{Z_n}(t)=\integral 1_{(-\infty,t]}(Z_n)dP [/mm] (*)
LG
gfm
P.S.: Manchmal kommt man in (*) besser weiter, wenn man zur Dichte übergeht, und unter dem Integral auf erlaubte Weise an entsprechender Stelle nacht t differenziert.
P.P.S.: Im Endeffekt läuft Deine Frage auf folgende Berechnung hinaus:
Dichte von [mm] \cos\alpha
[/mm]
[mm] f(t):=\frac{1}{b-a}\lambda(\{\alpha\in[a,b]:\cos\alpha\le t\})
[/mm]
Rekursive Bestimmung der Dichten von [mm] \summe\cos\alpha_i
[/mm]
[mm] f_1(t):=f(t)
[/mm]
[mm] f_n(t):=\integral f_{n-1}(y)f(t-y)dy
[/mm]
k-tes Moment von [mm] \summe\cos\alpha_i:
[/mm]
[mm] \integral t^k f_n(t)dt[/mm]
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