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Hallo,
ich lese mir momentan ein paar Aufgaben mit Lösungen aus dem Buch durch und dabei komme ich an einer Stelle bei der Lösung nicht mit.
Die Aufgabe:
[mm] a_n:=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k^2}{n^3+k}
[/mm]
Zu zeigen ist der Grenzwert für n--> [mm] \infty [/mm] von [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Nun zu der Lösung, die im Buch steht - ich zitiere:
Wir benutzen die Summenformel
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^2=\bruch{1}{3}n^3+Q(n),
[/mm]
wobei Q(n) ein quadratisches Polynom in n ist (Genauer gilt
[mm] Q(n)=\bruch{1}{2}n^2+\bruch{1}{6}n,
[/mm]
jedoch kommt es auf die genaue Gestalt von Q nicht an. Da
[mm] \bruch{1}{n^3+n}\summe_{k=1}^{n}k^2 \le \summe_{k=1}^{n}\bruch{k^2}{n^3+k} \le \bruch{1}{n^3}\summe_{k=1}^{n}k^2
[/mm]
folgt
[mm] \bruch{1}{3}(1+\bruch{1}{n^2})^{-1} [/mm] + [mm] \bruch{Q(n)}{n^3+n} \le a_n \le \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{Q(n)}{n^3}
[/mm]
lim n --> [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\bruch{1}{3}
[/mm]
Ich finde die Lösung an sich klar, da ich sie nachvollziehen kann. Allerdings komme ich zum anfang mit diesem Q(n) nicht klar: Woher kommt das und wieso kann man das (scheinbar) benutzen?
Kann mir da jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank für eure Mühe.
Liebe Grüße
friekeline
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Hallo friekeline, erstmal ein spätes ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Prima, dass Du direkt den Formeleditor verwendest. So ist alles gut lesbar.
> Die Aufgabe:
> [mm]a_n:=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k^2}{n^3+k}[/mm]
> Zu zeigen ist der Grenzwert für n--> [mm]\infty[/mm] von [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
Der rechte Pfeil geht (u.a.) so: \to ergibt [mm] \to
[/mm]
> Nun zu der Lösung, die im Buch steht - ich zitiere:
> Wir benutzen die Summenformel
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k^2=\bruch{1}{3}n^3+Q(n),[/mm]
> wobei Q(n) ein quadratisches Polynom in n ist (Genauer
> gilt
> [mm]Q(n)=\bruch{1}{2}n^2+\bruch{1}{6}n,[/mm]
> jedoch kommt es auf die genaue Gestalt von Q nicht an.
> [...]
> Ich finde die Lösung an sich klar, da ich sie
> nachvollziehen kann. Allerdings komme ich zum anfang mit
> diesem Q(n) nicht klar: Woher kommt das und wieso kann man
> das (scheinbar) benutzen?
> Kann mir da jemand helfen?
Das ist hier nur eine Vereinfachung. Die Summenformel ist zwar bekannt, ihre genaue Kenntnis ist für die Lösung aber nicht nötig.
Normalerweise wird sie so angegeben: [mm] \summe_{k=1}^{n}k^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
Soweit ich mich erinnere, gilt generell [mm] \summe_{k=1}^{n}k^m=\bruch{n^{m+1}}{m+1}+P(n), [/mm] wobei P(n) ein Polynom vom Grad m ist.
Gerade für Grenzwertbildungen ist das oft nützlich, da - so wie in dieser Aufgabe - oft die kleineren Potenzen (also alle in $ P(n) $ zusammengefassten) gegenüber der größten unbedeutend werden und am Grenzübergang "verschwinden".
> Vielen Dank für eure Mühe.
Gern. Ich bin nur nicht ganz sicher, ob das wirklich Deine Frage war.
Hoffe ich aber. 
Herzliche Grüße
reverend
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Hallo,
vielen lieben Dank für deine schnelle Antwort
Ich bin mir bei dem Q(n) nur nicht sicher, woher das kommt. Denn wenn ich die Lösung nicht kennen würde/ sie also nicht gesehen hätte würde ich nicht auf dieses Q(n) oder P(n) kommen... und das gefällt mir nicht wirklich...
Ich würde gerne selber "ohne diese Vorgaben aus dem Buch" die Aufgabe lösen können....
Hast du eine Idee, wie ich das machen könnte, oder wie ichauf dieses Q(n) bzw. die Summenformel komme??? Diesen teil habe ich leider immernoch nicht verstanden...
Geht das damit:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^m=\bruch{n^{m+1}}{m+1}+P(n)
[/mm]
??
Liebe Grüße
friekeline
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Hallo nochmal,
ich glaube, ich verstehe es jetzt etwas besser.
> Ich bin mir bei dem Q(n) nur nicht sicher, woher das
> kommt. Denn wenn ich die Lösung nicht kennen würde/ sie
> also nicht gesehen hätte würde ich nicht auf dieses Q(n)
> oder P(n) kommen... und das gefällt mir nicht wirklich...
Der Witz an dem Q(n) oder meinem P(n) ist eigentlich, dass man es eben gar nicht kennen muss, sondern nur seinen Grad.
Du schreibst also damit in Deinen Ansatz sozusagen hinein: und ein Polynom vom Grad ..., das ich nicht kenne und das, wie sich zeigt, auch völlig egal ist.
Es wäre daher besser gewesen, wenn das Buch gar nicht angegeben hätte, wie Q(n) tatsächlich aufgebaut ist.
> Ich würde gerne selber "ohne diese Vorgaben aus dem Buch"
> die Aufgabe lösen können....
Ja, klar. Das musst Du ja auch, u.a. in Klausuren. Es ist darum wichtig, dass Du den "Trick" verstehst, also die Vorgehensweise.
Es ist ein bisschen wie mit Formeln, in denen ein riesiger und komplizierter Term vorkommt, der nur mit äußerster Mühe und vielleicht numerischen Näherungsverfahren berechnet werden könnte, der aber mit einem unscheinbaren Faktor, sagen wir a, multipliziert wird.
Wenn Du jetzt das große Formelgemüse vor Dir hast, aber weißt, dass a=0 ist (oder vielleicht gerade nur diesen Fall betrachtest), dann schenkst Du Dir doch auch die Bestimmung des großen Terms. Er fällt in der weiteren Rechnung dann ja ausnahmsweise, aber sicher weg.
So ist das auch hier mit dem Restpolynomansatz: der Rest muss gar nicht bestimmt werden, weil er bei der Grenzwertbildung sowie wegfällt.
> Hast du eine Idee, wie ich das machen könnte, oder wie
> ichauf dieses Q(n) bzw. die Summenformel komme??? Diesen
> teil habe ich leider immernoch nicht verstanden...
Das ist komplizierter, als es aussieht, aber:
> Geht das damit:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k^m=\bruch{n^{m+1}}{m+1}+P(n)[/mm]
> ??
Ja, das geht. Das ist ja insgesamt ein Polynom (m+1)ten Grades, hat also m+2 voneinander unabhängige Koeffizienten.
Du brauchst also nur für m+2 voneinander verschiedene n die Summe auszurechnen und hast damit m+2 Funktionswerte. Über ein LGS (klar, wieder mit m+2 unabhängigen Gleichungen) kannst Du dann "leicht" die Koeffizienten bestimmen.
Was "leicht" ist, ist dann aber auch ein bisschen Geschmackssache. Für m=17 möchte ich das z.B. schon nicht mehr zu Fuß machen.
In Formelsammlungen müsstest Du die Formeln bis ca. m=6 aber nachschlagen können, und höhere braucht man im allgemeinen auch nicht.
Wenn Deine Herleitung vollständig sein soll, musst Du aber auch noch nachweisen, dass der Polynomialansatz zutrifft - entweder allgemein, oder Du beweist Deine Polynomformel (mit den schon ausgerechneten Koeffizienten!) dann per Induktion. Auch das möchte ich für m=17 nicht machen...
Ich fürchte, dafür bin ich zu faul. Genauso wie der Autor des Dir vorliegenden Beweises. Wozu Q(n) ausschreiben, wenn es doch reicht, es so kurz zu benennen und mitzuteilen, dass sein Grad <3 ist?
> Liebe Grüße
> friekeline
Herzlich
reverend
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