Verständnisfragen Ändergs.rate < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Di 05.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | 10 Gym S 130 Nr 6
besteht aus Fragen von a) bis f)
Die einzelnen Fragen sind voneinander unabhg.
Deshalb beginne ich erstmal nur mit a)
a)
Wie findet man einen guten Nähergs.wert f. die Steig. eines Fkt.graphen an der Stelle a? |
Nabend,
meine eig. Überlegungen dazu:
Mit der Ableitg. f ´(x)=___________
f ´(a)=___________
Das ist der allerbeste Näherungswert (besser geht nicht)
Aber da nach dem exkaten Wert nicht gefragt war, neuer Versuch:
guter Nähergs.wert ist es, wenn man ein ganz besonders kl. h wählt.
Dann über msek(x) zu lim (wobei h->0)
msek(x)= [mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x} [/mm] = [mm] \bruch{f(x+h) - f(x)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{(x+h)^n - x^n}{h}
[/mm]
Mein Probl.:
Es ist keine konkrete Fkt. vorgegeben, d.h. die Aufg. ist allg. zu lösen.
Die allg. Formen aller Polynome sind mir zwar bekannt
y=mx+b
[mm] y=ax^2+bx+c [/mm] usw. usw.
Die kriege ich noch alle mit hoch n unter einen Hut
Aber wie kriege ich da noch die anderen Sorten, z.B. gebroch.-rat.Fkt. unter?
Könnte mir vorstellen, dass das gar nicht geht.
Oder wie soll ich die Aufg. angehen?
Für Hilfe vielen DANK
Gruß
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Di 05.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast schon die richtige Antwort gegeben mit Sekantensteigung mit moeglichst kleinem h.Das gilt allgemein fuer jede stetige Funktion f(x) also auch fuer poltnome aber dass f ein Polynom sein soll steh da ja nicht lass das also weg.
Computer "differenzieren" so uebrigens die meisten Funktionen! das heisst dann numerische Differentiation!
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:57 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hey leduart,
> du hast schon die richtige Antwort gegeben mit
> Sekantensteigung mit möglichst kleinem h. Das gilt
> allg. für jede stetige Funktion f(x).
Dummerweise weiß ich nicht, was stetig heißt. Das Wort ist mir nur einmal bisher über den Weg gelaufen, nämlich: Nur stetige Fkt. lassen sich differenzieren. Und da war ein Bsp. für eine nicht stetige Fkt., der Graph hatte Lücken u. Sprünge u. genau an diesen Stellen war das Differenzieren nicht möglich.
Es wäre zu schön, wenn es mehr dazu nicht zu sagen gäbe u. wenn es das schon wäre.
Lösg. der Aufg. über Sekantensteig. mit kl. h, gültig für alle stetigen Fkt., also auch für Polynome. Aber, dass es Polynome sein sollen gibt die Aufg. nicht vor;
vermutl. soll ich das hoch n weglassen.
Ja aber wie denn dann? Die Frage nach der allg. Form von stetigen Fkt. ist vermutl. unsinnig.
msek(x)= $ [mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{\Delta y}{h}$ [/mm] = $ [mm] \bruch{f(x+h) - f(x)}{h} [/mm] $
Gefragt war nach einen gutem Nähergs.wert der Steig. an der Stelle a.
Ich wähle h=0,00001
msek(a)=$ [mm] \bruch{f(a+h) - f(a)}{0,00001} [/mm] $
So?
Wenn nicht, bist du bitte so gut u. würdest es mir vormachen?
Gruß
Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Sa 09.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 So 10.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo,
Aufg.: Wie findet man einen guten Näherungswert für die Steig. eines Fkt.-Graphen an der Stelle a?
Wenn ich leduart richtig verstanden habe soll ich es nicht so
$ [mm] \bruch{(x+h)^n - x^n}{h} [/mm] $
machen, weil in der Aufg. nichts von Polynomen gesagt wird.
Wäre denn
$ [mm] \bruch{f(a+h) - f(a)}{0,00001} [/mm] $
die Lösung?
Auf Antwort freut sich wie immer
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 So 10.06.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die exakte Steigung einer (differenzierbaren) Funktion an der Stelle a berechnest du ja über den Grenzwert
[mm] $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
[/mm]
Für eine Annäherung an den Grenzwert setze für h einen sehr kleinen Wert ein, 0,00001 ist da denke ich schon ganz gut, dann setze aber auch bei f(a+h) diesen Wert für h ein.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 10.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Marius,
> Die exakte Steigung einer (differenzierbaren) Funktion an
> der Stelle a berechnest du ja über den Grenzwert
>
> [mm]f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/mm]
>
> Für eine Annäherung an den Grenzwert setze für h einen
> sehr kleinen Wert ein, 0,00001 ist da denke ich schon ganz
> gut, dann setze aber auch bei f(a+h) diesen Wert für h
> ein.
[mm]\lim_{h=0,00001}\frac{f(a+0,00001)-f(a)}{0,00001}[/mm]
So richtig?
Ich würde aber [mm] f'(a)=\lim_{h\to0}\frac [/mm] nur für die exakte Steig., wie du es auch sagst, benutzten. Ich soll aber einen Näherungswert finden u. bei dem stelle ich mir dann doch immer noch ein
winzigkleines Steigs.dreieck (Sekante, mittlere Steig.) vor, aber keine Tangentensteig.
Ich würde statt des lim da vorne deswegen doch besser den Differenzen-Quot. nehmen.
Ich komme da immer noch durcheinander, weil eine sehr gute Näherung doch ein Zwischending zwischen Differenzen-Quot. u. Differential-Quot. ist.
Was ist richtig, wie muss ich es schreiben?
Für nochmalige Antw. im voraus vielen DANK
Gruß
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 So 10.06.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
>
> > Die exakte Steigung einer (differenzierbaren) Funktion an
> > der Stelle a berechnest du ja über den Grenzwert
> >
> > [mm]f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/mm]
> >
> > Für eine Annäherung an den Grenzwert setze für h einen
> > sehr kleinen Wert ein, 0,00001 ist da denke ich schon ganz
> > gut, dann setze aber auch bei f(a+h) diesen Wert für h
> > ein.
>
> [mm]\lim_{h=0,00001}\frac{f(a+0,00001)-f(a)}{0,00001}[/mm]
>
> So richtig?
>
> Ich würde aber [mm]f'(a)=\lim_{h\to0}\frac[/mm] nur für die exakte
> Steig., wie du es auch sagst, benutzten. Ich soll aber
> einen Näherungswert finden u. bei dem stelle ich mir dann
> doch immer noch ein
> winzigkleines Steigs.dreieck (Sekante, mittlere Steig.)
> vor, aber keine Tangentensteig.
Das ist dann die anschauliche Darstellung des Näherungswertes.
> Ich würde statt des lim da vorne deswegen doch besser den
> Differenzen-Quot. nehmen.
Mit dem Grenzübergang [mm] h\to0 [/mm] macht man aus der Sekante ja eine Tangente.
> Ich komme da immer noch durcheinander, weil eine sehr gute
> Näherung doch ein Zwischending zwischen Differenzen-Quot.
> u. Differential-Quot. ist.
Nein, die Näherung ist der Differenzenquotient für sehr kleine h (also für Punkte, deren x-Werte sehr nach beiinanderliegen)
> Was ist richtig, wie muss ich es schreiben?
> Für nochmalige Antw. im voraus vielen DANK
> Gruß
> Sabine
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 So 10.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hey Marius,
also so
wobei [mm] {\Delta x}=h=0,00001
[/mm]
$ [mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(a+0,00001)-f(a)}{0,00001} [/mm] $
oder darf ich gleich schreiben
$ [mm] \bruch{\Delta y}{h} =\frac{f(a+0,00001)-f(a)}{0,00001} [/mm] $
Wenn ja, wäre a) erledigt.
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Probleme macht noch Aufg. e)
Zit.: "Warum stimmt bei einer lin. Fkt. die Ableitgs.-Fkt. mit der Sekantensteigs.-Fkt. überein?
allg. lin. Fkt. f(x)=mx+b
Ableitgs.Fkt. f ´(x)=m das soll jetzt gleichzeitig die Sekant.steig.-Fkt. sein?
Ich habe irgendeine lin.Fkt. gezeichnet u. die Ableitg.Fkt. (konst.Fkt.=Waagerechte). Diese konst.Fkt. soll jetzt msek(x) sein?
Kapiere ich nicht, weil doch jede Ableitgs.-Fkt. die Steig. in einem gewünschten Pkt beschreibt, was hat da hier eine Sekante(Sekantensteig.-Fkt.) zu tun?
Dafür könnte ich besser erklären, warum jede lin. Fkt. identisch mit ihrer Sekantensteig.-Fkt. ist.
Entweder ist die Aufg. falsch oder ich stehe noch auf der Leitg.
Für Hilfe vielen DANK
Gruß
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 So 10.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Gerade ist immer selbst ihre Sekante und ihre Tangente in jedem Punkt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo leduart,
> eine Gerade ist immer selbst ihre Sekante und ihre
> Tangente in jedem Punkt.
Zuerst war ich damit einverstanden, trotzdem kann ich die Frage: "Warum stimmt bei einer lin. Fkt. die Ableitgs.-Fkt. mit der Sekantensteigs.-Fkt. überein?"
(kurz: Warum sind konst. Fkt. mit Sekantensteigs.-Fkt. gleich?)
nicht beantworten.
Sekantensteigs.Fkt. wurde bezeichnet mit msek(x)
Mit der Def. von Wiki
Das Wort Sekante (lateinisch: secare = „schneiden“) bezeichnet eine Gerade, die durch zwei verschiedene Punkte einer Kurve geht.
finde ich nicht mehr, dass
> eine Gerade immer selbst ihre Sekante ist
Demnach wäre dann ja
Gerade=Sekante
Mir ist klar, dass eine Gerade auch eine Kurve ist u. trotzdem sehe ich nicht, wo die Waagerechte 2 Punkte schneidet.
nur zum Schmunzeln nebenbei:
"Meine Lieblingslinie ist die Kurve und die Gerade, weil die so schön schief sind." (Emil, 8 Jahre)
Für erneute Antw. vielen DANK
Gruß
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 Mo 11.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die waagerechte ist doch die Sekantesteigung, warum soll sie die Kurve schneiden? die Gerade ist ihre eigene Sekante, wenn du 2 verschiedene Punkte der Kurve=Gerade verbindest-das ist die Definition von dekante, dann ist das die Gerade. dass die überall dieselbe steigung hat kann man durch die Ableitungs oder die Sekantensteigung als waagerechte veranschaulichen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:09 Di 12.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Nabend,
e) ist jetzt abgeschlossen.
Fehlt nur noch
f)
An welchen Stellen existiert bei der Fkt. f(x)= [mm] \begin{vmatrix}
x^2 - 1 \\
\end{vmatrix} [/mm] kein GW des Differenzen-Quot.?
Was bedeutet das? Dass die y-Werte kein Vorzeichen haben, d.h. weder plus noch minus sind? Aber dann kann man sie ja gar nicht zeichnen.
Ich mache trotzdem mal ne Wertetab.
x -2 -1 0 1 2
y 3 0 1 0 3
Der Graph ist ein W, aber ich habe alle Fkt.werte pos. betrachtet; das ist falsch oder? Wie geht es dann? Wie komme ich zu dem richtigen Graph einer Betrags-fkt.?
Wenn ich das habe versuche ich mich der Frage f) zu widmen.
Echt abgefahren, dass man rund um die Uhr hier Hilfe bekommen kann.
Wirklich super! Und das alles ohne Nachtzuschläge oder Expresszuschläge.
Ich danke euch!!!
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Di 12.06.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sabine!
Wertetabelle ist eine gute Idee.
Anderenfalls zeichnest Du die Funktion zunächst ohne Beachtung der Betragsstriche.
Und dann "klappst" Du alles, was unterhalb der x-Achse ist nach oben (= Spiegelung an der x-Achse).
Deine Beispielfunktion sollte so aussehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:57 Di 12.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Loddar,
x -2 -1 0 1 2
y 3 0 1 0 3
Der Graph ist ein W, aber ich habe alle Fkt.werte pos. betrachtet u. nicht als Betrag. Dennoch ist sie identisch mit dem schönen Graphen von dir.
Ja, und das Zeichnen der Fkt. ohne Betragstriche u. dann den unteren Teil nach oben klappen ergibt dasselbe. Lustig, was alles so geht.
Die Betrags-Fkt. ist also ein W
Dann sind die kritischen Stellen der Differenzierbarkeit die Füße von dem W, also die Spitzen. Warum? Keine Ahnung, aber ich tippe mal:
Es liegt an der Spitze, an der Ecke. Bei einer Rundung kann man differenzieren. Aber was, wenn der Graph plötzl. "aufhört", bzw. plötzlich (das ist das kantige) wieder rückwärts verläuft. Wie soll es da zu einem GW kommen? Das geht nicht.
Bei einer Rundung kann man immer weiter reinzoomen, bis die Rundung weg ist, bzw. gerade, dann ist der GW erreicht.
Reicht das als Antw. für 10.te Gym.?
Oder muss ich das jetzt noch mathematisch fundiert begründen?
Gruß
Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:12 Di 12.06.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Sabine,
das ist sehr anschaulich erklärt. Für die 10. Kl. Gym ist das auch fast ausreichend, aber Du hast sicher schon mehr Methoden zur Verfügung und kannst es genauer formulieren.
Wenn dazu bis morgen Mittag noch niemand anderes reagiert hat, mache ich Dir gern noch einen Vorschlag, aber jetzt muss ich erst mal fünf Stunden oder so schlafen... Du hoffentlich auch.
Gute Nacht
rev
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Hallo Sabine,
> Hallo Loddar,
> x -2 -1 0 1 2
> y 3 0 1 0 3
>
> Der Graph ist ein W, aber ich habe alle Fkt.werte pos.
> betrachtet u. nicht als Betrag. Dennoch ist sie identisch
> mit dem schönen Graphen von dir.
> Ja, und das Zeichnen der Fkt. ohne Betragstriche u. dann
> den unteren Teil nach oben klappen ergibt dasselbe. Lustig,
> was alles so geht.
> Die Betrags-Fkt. ist also ein W
>
> Dann sind die kritischen Stellen der Differenzierbarkeit
> die Füße von dem W, also die Spitzen. Warum? Keine
> Ahnung, aber ich tippe mal:
>
> Es liegt an der Spitze, an der Ecke. Bei einer Rundung kann
> man differenzieren. Aber was, wenn der Graph plötzl.
> "aufhört", bzw. plötzlich (das ist das kantige) wieder
> rückwärts verläuft. Wie soll es da zu einem GW kommen?
> Das geht nicht.
> Bei einer Rundung kann man immer weiter reinzoomen, bis
> die Rundung weg ist, bzw. gerade, dann ist der GW erreicht.
>
> Reicht das als Antw. für 10.te Gym.?
Nein, das reicht eindeutig nicht.
> Oder muss ich das jetzt noch mathematisch fundiert
> begründen?
Man muss in der Schule sicherlich nicht so fundiert und exakt formulieren, aber die wesentlichen Dinge müssen erfasst werden.
Wenn wir uns auf elementare Funktionen vom Typ [mm] \IR\mapsto\IR [/mm] beschränken, so wie man das in der Schule für gewöhnlich tut, dann können wir uns zunächst einmal die betrachteten Funktionen als Schaubilder in einem x-y-Koordinatensystem veranschaulichen, was keinesfalls selbstverständlich ist. Die überwiegende Anzahl der in der Schule betrachteten Funktionen ist außerdem auf seinem Definitionsbereich stetig. Das bedeutet, dass man das Schaubild mit einem Stift ohne Absetzen zeichnen kann, so lange man dabei auf der x-Achse den Definitionsbereich nicht verlässt.
Allgemein ist nun die Ableitung einer Funktion ein Grenzwert, der uns sagt, wie sich eine Funktion an einer bestimmten Stelle ändert, wenn man sich entlang der Funktion in eine andere Richtung bewegen möchte (ob es im Gebirge steil ist oder flach merkst du auch erst, wenn du läufst, nicht solange du an einem Punkt stehst). Wenn wir uns wieder auf die o.g. elementaren Funktionen aus der Schulmathematik beschränken, dann kann man die Ableitung mit der Tangentensteigung des Schaubilds gleichsetzen. Und jetzt kommt der springende Punkt: ein Grenzwert ist etwas eindeutiges (anderenfalls spricht man von einseitigen Grenzwerten, aber das ist eine andere Geschichte). Da die Ableitung ein Grenzwert ist, muss diese Tangentensteigung an jeder Stelle, wo man eine Funktion differenzierbar nennt, eindeutig bestimmbar sein. Und das ist sie nur, wenn folgende zwei Kriterien erfüllt sind:
- die Tangente darf nicht senkrecht sein, da man der senkrechten Richtung im Koordinatensystem keinen Zahlenwert zuordnen kann
- das Schubild darf keinen Knick haben, da an einem solchen Knick die Tangentenrichtung unterschiedlich wäre, je nachdem ob man sich dem Knick von links oder von rechts nähert.
Letzteres ist bei der von dir betrachteten Funktion an den Nullstellen der Fall, und Loddar hat schön erklärt, was da passiert: die Bertagsfunktion wirkt ja nur auf diejenigen Werte der inneren Funktion, die negativ sind. Bei diesen Werten wird das Vorzeichen umgekehrt, was eine Spiegelung an der x-Achse bewirkt. So entstehen die Knickstellen an den Nullstellen und aus den o.g. Gründen ist diese Funktion genau dort nicht differenzierbar.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:47 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Diophant,
vielen vielen DANK für deine schöne Antw., die in Bezug auf die Ausgangsfrage keine Frage mehr offen lässt, weil du das alles so gut u. ausführlich erklärt hast.
Das ist gut nä!?
Ich hätte nur etwas "Anderes", ein Aspekt daraus.
Beim Lesen, von
Wenn ein GW existiert, dann ist er auch eindeutig bestimmbar, wenn die Tangentensteig. an der Stelle NICHT senkrecht ist.
a)
habe ich mich gefragt, was Tangens mit Tangente zu tun hat.
Zu dem Wortstamm weiß ich nichts zu sagen. Weiß nur, dass es beim Tangens auch keine Senkrechte gibt, wenn Ankathete null wäre. Liegt es daran, dass sich hier das Gesetz "Div. durch Null ist verboten" erfüllt;
0[mm] \ne [/mm]Ankathete->0
b)
Und eine senkrechte Tangente lässt sich nicht als Fkt. def., da einem x viele y zugeordnet werden.
Welches von beiden a) oder b) hat mehr zu tun mit
Wenn ein GW existiert, dann ist er auch eindeutig bestimmbar, wenn die Tangentensteig. an der Stelle NICHT senkrecht ist.
Naja u. marginal frage ich mich noch, ob man nur Funktionen differenzieren kann? Oder kann man auch was anderes noch differenzieren?
Wenn das jetzt wieder tiefgehende Fragen ist, darf ich mir dann eine Antw. angepasst auf mein Niveau wünschen?
LG
Sabine
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> Ich hätte nur etwas "Anderes", ein Aspekt daraus.
> Beim Lesen, von
> Wenn ein GW existiert, dann ist er auch eindeutig
> bestimmbar, wenn die Tangentensteig. an der Stelle NICHT
> senkrecht ist.
>
> a)
> habe ich mich gefragt, was Tangens mit Tangente zu tun
> hat.
Hallo,
schau Dir mal irgendwo die Definition des Tangens am Einheitskreis an.
Du siehst dann, daß hier der Tangens des jeweiligen Winkels der Länge des Abschnittes der Tangente an den Einheitskreis entspricht.
> Zu dem Wortstamm weiß ich nichts zu sagen.
tangere = berühren
> Weiß nur,
> dass es beim Tangens auch keine Senkrechte gibt, wenn
> Ankathete null wäre. Liegt es daran, dass sich hier das
> Gesetz "Div. durch Null ist verboten" erfüllt;
> 0[mm] \ne [/mm]Ankathete->0
Wenn Du den tangens definierst durch [mm] tan(x):=\bruch{sin(x)}{cos(x)}, [/mm] dann hat man natürlich anden Stellen, an welchen cos(x)=0 ist, Definitionslücken.
Diese Stellen sind Polstellen der Tangensfunktion.
>
> b)
> Und eine senkrechte Tangente lässt sich nicht als Fkt.
> def., da einem x viele y zugeordnet werden.
Genau.
>
> Welches von beiden a) oder b) hat mehr zu tun mit
> Wenn ein GW existiert, dann ist er auch eindeutig
> bestimmbar, wenn die Tangentensteig. an der Stelle NICHT
> senkrecht ist.
Eher b): wenn die Tangente senkrecht ist, kannst Du ihre Steigung nicht mit einer Zahl angeben. Wenn die Steigung mit einer Zahl anzugeben wäre, wäre die Tangente ja nicht senkrecht.
>
> Naja u. marginal frage ich mich noch, ob man nur
> Funktionen differenzieren kann? Oder kann man auch was
> anderes noch differenzieren?
Ansichten, Urteile, beim Einteilen von Schülergruppen...
In der Mathematik ist Differenzierbarkeit eine Eigenschaft von Funktionen.
LG Angela
>
> Wenn das jetzt wieder tiefgehende Fragen ist, darf ich mir
> dann eine Antw. angepasst auf mein Niveau wünschen?
>
> LG
> Sabine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Angela,
Def. des tan am Einh.kreis
Ich finde dort nicht den Längenabschnitt der Tangente, von der du sprichst.
Ich habe GK, AK u. Hypothenuse, aber keiner dieser Strecken ist eine Tangente. Selbst da, wo Hypthenuse u. Gegenkathete auf dem Kreisradius sich treffen, selbst, wenn ich dort eine Tangente anlegen würde, dann wäre ihre Länge unbestimmt. Du aber sprichst von einem scheinbar best. Längenabschnitt.
Wo finde ich diese Tangente?
Gruß
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Fr 15.06.2012 | | Autor: | chrisno |
Zeichne die Verlängerung des Radius. Zeichne eine Tangente an den Einheitskreis, dort wo er die x-Achse schneidet. Die Verlängerung und die Tangente schneiden sich. Der Abstand des Schnittpunktes zur x-Achse ist der Tangens des Winkels.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hi Chrisno,
ich habe leider keine fertige Vorstellung bilden können u. deinen Satz komplett bei google eingegeben. So stieß ich auf ein Bild, mit dem es
jetzt klar ist. Danke schön!
Was ich aber nicht verstehe:
Bislang lagen Berechnungen für den Tan immer im Kreis, bzw. die Katheten.
Nach deiner Beschreibg. nun ist die Tangente die GK u. liegt außerhalb des Kreises.
Warum? Was soll das? Das Ergebnis des Quotienten ist doch dasselbe, weil das Verhältnis dasselbe ist, eben nur verlängert.
LG
Sabine
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Hallo,
> Warum? Was soll das? Das Ergebnis des Quotienten ist doch
> dasselbe, weil das Verhältnis dasselbe ist, eben nur
> verlängert.
Es dient einfach nur der Anschauung. Der Abschnitt auf der auf der x-Achse senkrecht stehenden Tangente zwischen x-Achse und der Halbgeraden, auf welcher der zum Winkel [mm] \phi [/mm] gehörende Radius liegt, hat eben genau die Länge [mm] tan(\phi). [/mm] Und die beiden Katheten im Kreis haben die Länge [mm] cos(\phi) [/mm] bzw. [mm] sin(\phi).
[/mm]
Diese Darstellung der Tangensfunktion hat auch einen entscheidenden Haken, daher würde ich sie mir gar nicht so doll zu Gemüte führen: sie funktioniert nämlich nur im 1. und im 4. Quadranten so wie das bei Sinus und beim Kosinus ist. Bei letzteren kann man ja an der Richtung der Kathete vom Ursprung bzw. der x-Achse weg gleich noch das Vorzeichen der entsprechenden Winkelfunktion ablesen. Beim Tangens funktioniert das nicht. In der Darstellung am Einheitskreis, wie du sie besprochen haben möchtest, hätte der Tangens in den Quadranten I und II positive, in den Quadranten III und IV negative Werte. Dem ist aber bekanntlich nicht so, sondern in den ungeraden Quadranten ist die Tangensfunktion positiv und in den geraden negativ.
Besser ist es allemal, sich den Tangens zu definieren als
[mm] tan(\phi)=\bruch{sin(\phi)}{cos(\phi)}
[/mm]
dann treten o.g. Vorzeichenprobleme erst gar nicht auf.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Diophant,
ich bin beeindruckt, was es alles zu wissen gibt.
Könntest du bitte kurz zwischen der ersten u. zweiten Zeilen ein Wort der Lagebeschreibg. oder was auch immer ergänzen?
> Es dient einfach nur der Anschauung. Der Abschnitt
> auf der x-Achse senkrecht stehenden Tangente zwischen
> x-Achse und der Halbgeraden, auf welcher der zum Winkel
> [mm]\phi[/mm] gehörende Radius liegt, hat eben genau die Länge
> [mm]tan(\phi).[/mm] Und die beiden Katheten im Kreis haben die
> Länge [mm]cos(\phi)[/mm] bzw. [mm]sin(\phi).[/mm]
> Besser ist es allemal, sich den Tangens zu definieren als
>
> [mm]tan(\phi)=\bruch{sin(\phi)}{cos(\phi)}[/mm]
>
> dann treten o.g. Vorzeichenprobleme erst gar nicht auf.
Das mache ich sofort.
Allerdings bin ich nochmal zurück zu meiner Ausgangsfrage "Was hat Tangens mit Tangente zu tun, die Wörter klingen ähnlich u. müssen etwas miteinander zu tun haben.
Ging es bei der Beschreibg. von chrisno, (u. zuvor Angela) nur darum, die Tangente außen, die der Gegenkathete innen im Kreis entspricht, zu entdecken?
LG
SAbine
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Hallo,
> Hallo Diophant,
> ich bin beeindruckt, was es alles zu wissen gibt.
>
> Könntest du bitte kurz zwischen der ersten u. zweiten
> Zeilen ein Wort der Lagebeschreibg. oder was auch immer
> ergänzen?
Ich verstehe hier nicht, was du meinst.
> Allerdings bin ich nochmal zurück zu meiner Ausgangsfrage
> "Was hat Tangens mit Tangente zu tun, die Wörter klingen
> ähnlich u. müssen etwas miteinander zu tun haben.
> Ging es bei der Beschreibg. von chrisno, (u. zuvor Angela)
> nur darum, die Tangente außen, die der Gegenkathete innen
> im Kreis entspricht, zu entdecken?
Also ich sehe das so: der Wortursprung ist, wie schon erwähnt wurde, das lateinische tangere:=berühren. Der Begriff Tangente ist somit selbsterklärend, da ja die Tangente historisch genau so definiert wurde, als Gerade, die eine Kurve berührt, indem sie nämlich mit dieser zwar einen gemeinsamen Punkt besitzt, nicht jedoch mit der Kurve die Seiten wechselt, wie dies bei einem Schnittpunkt der Fall wäre.
Kleiner Einschub: da du dich derzeit mit Analysis beschäftigst, möchte ich noch darauf hinweisen, dass man in der Analsyis die Tangente definiert als eine Gerade, die mit einer Kurve einen gemeinsamen Punkt besitzt und in diesem Punkt die gleiche Steigung hat wied die Kurve. Das ist eine etwas andere Definition, da sie nämlich im Fall von Wendetangenten auch zulässt, dass Gerade und Kurve 'die Seiten wechseln'.
Die Namensgebungen der Winkelfunktionen sind eine ziemlich sagenumwobene Geschichte. So geht man davon aus, dass der Name Sinus auf einen Übersetzungsfehler eines römischen Schreibers zurückgeht, der ein mathematisches Werk aus dem Arabischen ins Lateinische übersetzen sollte. Der Name Kosinus macht dann ja eigentlich Sinn, es ist sozusagen der 'Kollege' vom Sinus. Beim Tangens bin ich mir gar nicht sicher, seit wann der Name verwendet wird. Der Einheitskreis hängt ja eng mit der Geschichte der Entdeckung der Potenzreihen zusammen, von daher würde ich die Entstehung des Namens so grob auf das 17./18. Jahrhundert legen, aber ich weiß es ehrlich gesagt nicht.
Und lass dich nicht so arg verwirren: wirklich viel zu tun bis auf den gemeinsamen Namensursprung haben sie nicht direkt, der Tangens und die Tangente.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 So 17.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
> Es dient einfach nur der Anschauung. Der Abschnitt
> auf der x-Achse senkrecht stehenden Tangente zwischen
> x-Achse und der Halbgeraden, auf welcher der zum Winkel
> $ [mm] \phi [/mm] $ gehörende Radius liegt, hat eben genau die Länge
> $ [mm] tan(\phi) [/mm] $. Und die beiden Katheten im Kreis haben die
> Länge $ [mm] cos(\phi) [/mm] $ bzw. $ [mm] sin(\phi) [/mm] $
gemeint ist eine senkrecht auf der x-Achse stehende Tangente
am Einheitskreis
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