Verständnisfragen Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Di 05.02.2008 | | Autor: | Sutoppu |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich wiederhole grade das Thema Folgen und Reihen, und ich bin auf ein paar Verständnisfragen gestoßen :(
zum Beispiel hab ich die Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}
[/mm]
in der Lösung steht: Die Reihe divergiert, weil man mit dem Majorantenkriterium wie folgt abschätzen kann:
[mm] \bruch{1}{2n+1}\ge\bruch{1}{2n+2}, [/mm] die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n+2} [/mm] divergiert, weil [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n+1} [/mm] ebenfalls divergiert. Soweit so gut...
(An der Stelle fällt mir ein, dass ich auch nicht weiss warum ich das so abschätze, ich hätte jetzt [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] versucht)
Aber warum rechnet man hier nicht mit dem quotientenkriterium:
[mm] \bruch{1}{2(n+1)+1} [/mm] * [mm] \bruch{2n+1}{1} [/mm] = [mm] \bruch{2n+1}{2n+3} [/mm] < 1 und damit wär die Reihe doch konvergent, oder hab ich mich da vertan?
Ich hoffe mir kann jemand helfen!
|
|
| |
|
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich wiederhole grade das Thema Folgen und Reihen, und ich
> bin auf ein paar Verständnisfragen gestoßen :(
>
> zum Beispiel hab ich die Reihe:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> in der Lösung steht: Die Reihe divergiert, weil man mit dem
> Majorantenkriterium wie folgt abschätzen kann:
>
> [mm]\bruch{1}{2n+1}\ge\bruch{1}{2n+2},[/mm] die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n+2}[/mm] divergiert, weil
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n+1}[/mm] ebenfalls divergiert.
> Soweit so gut...
>
> (An der Stelle fällt mir ein, dass ich auch nicht weiss
> warum ich das so abschätze, ich hätte jetzt [mm]\bruch{1}{2n}[/mm]
> versucht)
Nein, das geht nicht: damit Du Divergenz nachweisen kannst, brauchst Du eine divergente Minorante. Du musst also Dein Reihenglied [mm] $\frac{1}{2n+1}$ [/mm] von unten durch das Reihenglied einer divergenten Reihe beschränken. Dies geht mit [mm] $\frac{1}{2n+2}$ [/mm] da eben [mm] $\frac{1}{2n+2}<\frac{1}{2n+1}$ [/mm] ist (wenn man den Nenner eines Bruches vergrössert verkleinert sich sein Betrag). Es geht aber mit [mm] $\frac{1}{2n}$ [/mm] nicht, denn es gilt, im Gegenteil, dass [mm] $\frac{1}{2n+1}< \frac{1}{2n}$. [/mm] Damit könntest Du nur eine "divergente Majorante[!]" Deiner Reihe nachweisen: das bringt Dir für die Frage der Divergenz Deiner Reihe überhaupt nichts.
Merke: Divergente Majoranten und konvergente Minoranten sind, zwecks Diskussion von Reihenkonvergenz, absolut wertlos. Was man braucht sind divergente Minoranten oder konvergente Majoranten.
> Aber warum rechnet man hier nicht mit dem
> quotientenkriterium:
> [mm]\bruch{1}{2(n+1)+1}[/mm] * [mm]\bruch{2n+1}{1}[/mm] = [mm]\bruch{2n+1}{2n+3}[/mm]
> < 1 und damit wär die Reihe doch konvergent, oder hab ich
> mich da vertan?
Nein, das genügt nicht: auch für die divergente harmonische Reihe würde gelten, dass [mm] $\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=\frac{n}{n+1}<1$ [/mm] ist, für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm]
Das Quotientenkriterum verlangt, dass Du zum Nachweis der Konvergenz einer Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] mit positiven Gliedern ein $q<1$ nachweist, so dass [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq [/mm] q$ gilt. Ein solches $q$ gibt es für Deine Reihe nicht, da ja [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n+1}{2n+3}=1$ [/mm] ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 05.02.2008 | | Autor: | Sutoppu |
Dankeschön :)
|
|
|
|
