Verständnisfrage:Wurzel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hi Matheraum!
Ich habe, in letzter Zeit, des öftern in Beweisen die Begründung laut "Monotonie der Wurzel" gehört. Bei mir stellt sich jetzt die Frage was das genau bedeutet. Vielleicht ist es gar nicht so kompliziert.
Ich selbst, habe mir an einem einfachen selbst konstruierten Beispiel, Gedanke dazu gemacht.
Mein Bsp.: Gegeben die Abbildung [mm] f:\IR_+ \to \IR_+ [/mm] , [mm] x\mapsto f(x):=\wurzel{x}
[/mm]
Seien [mm] x_1, x_2 \in \IR_+ [/mm] , es gilt [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 \Rightarrow f(x):=\wurzel{x_1} [/mm] < [mm] f(x):=\wurzel{x_2} [/mm] , da ja alles positive reelle Werte sind kann ich doch einfach Wurzel ziehen (oder nicht?): [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 \gdw \wurzel{x_1} [/mm] < [mm] \wurzel{x_2} \gdw f(x_1)< f(x_2) [/mm] , also ist f streng monoton wachsend.
Bedeutet dies ganz einfach die "Monotonie der Wurzel"? Oder gibts da noch was ausschlaggebendes das man wissen sollte?
Gruß
Tito
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tito,
> Hi Matheraum!
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> Ich habe, in letzter Zeit, des öftern in Beweisen die
> Begründung laut "Monotonie der Wurzel" gehört.
> Bei mir
> stellt sich jetzt die Frage was das genau bedeutet.
> Vielleicht ist es gar nicht so kompliziert.
> Ich selbst, habe mir an einem einfachen selbst
> konstruierten Beispiel, Gedanke dazu gemacht.
>
> Mein Bsp.: Gegeben die Abbildung [mm]f:\IR_+ \to \IR_+[/mm] ,
> [mm]x\mapsto f(x):=\wurzel{x}
[/mm]
> Seien [mm]x_1, x_2 \in \IR_+[/mm] , es gilt [mm]x_1[/mm] < [mm]x_2 \Rightarrow f(x):=\wurzel{x_1}[/mm]
> < [mm]f(x):=\wurzel{x_2}[/mm] , da ja alles positive reelle Werte
> sind kann ich doch einfach Wurzel ziehen (oder nicht?):
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]x_1[/mm] < [mm]x_2 \gdw \wurzel{x_1}[/mm] < [mm]\wurzel{x_2} \gdw f(x_1)< f(x_2)[/mm]
> , also ist f streng monoton wachsend.
(Es ist natürlich wichtig, dass ihr das hier (im Falle [mm] $x_1,x_2 \in \IR_+$):
[/mm]
[mm]x_1 < x_2 \gdw \wurzel{x_1} < \wurzel{x_2}[/mm] schonmal bewiesen habt; sonst ist das ja nur eine Behauptung von dir! 
Ich gehe aber mal davon aus, dass das in eurer Vorlesung gezeigt wurde)
> Bedeutet dies ganz einfach die "Monotonie der Wurzel"?
Wenn man unter Wurzel nur die "Quadratwurzel" versteht, dann ist genau das gemeint. Du kannst dir ja mal Gedanken machen, wie das bei der 3en, 4en, 5en Wurzel etc. aussieht (wobei dann aber z.B. die 3e Wurzel so betrachtet werden soll:
[m]\wurzel[3]{\;\;}:\IR \to \IR[/m], [m]x \mapsto \wurzel[3]{x}[/m]; also bei der dritten Wurzel ist der Definitionsbereich [mm] $\IR$ [/mm] möglich (und nicht nur [mm] $\IR_+$)).
[/mm]
> Oder
> gibts da noch was ausschlaggebendes das man wissen
> sollte?
Nein, ansonsten wüßt ich nix! 
Also: Alles !
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo Marcel!
Danke erstmal, hab verstanden was du geschrieben hast.
Nun habe ich eine Frage zu [mm] \wurzel[3]{x}:
[/mm]
Mir ist klar, dass die Abbildung von [mm] \IR \to \IR [/mm] geht,
aber ich habe nun diese Wurzel einfach mal umgestellt:
[mm] \wurzel[3]{x}=(x)^{\bruch{1}{3}}=(x)^{\bruch{2}{6}}=(x)^{\bruch{1}{6}}*(x)^{\bruch{1}{6}}=\wurzel[6]{x}*\wurzel[6]{x}
[/mm]
und hierfür kann ich doch wieder nur von [mm] \IR_+ \to \IR_+ [/mm] abbilden.
Wo liegt mein Fehler, oder ist da kein Fehler(?), dann würd ich gern wissen woran dies liegt, danke.
Gruß
Tito
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tito,
> Hallo Marcel!
>
> Danke erstmal, hab verstanden was du geschrieben hast.
>
> Nun habe ich eine Frage zu [mm]\wurzel[3]{x}:
[/mm]
>
> Mir ist klar, dass die Abbildung von [mm]\IR \to \IR[/mm] geht,
> aber ich habe nun diese Wurzel einfach mal umgestellt:
>
>
> [mm]\wurzel[3]{x}=(x)^{\bruch{1}{3}}=(x)^{\bruch{2}{6}}=(x)^{\bruch{1}{6}}*(x)^{\bruch{1}{6}}=\wurzel[6]{x}*\wurzel[6]{x}
[/mm]
>
> und hierfür kann ich doch wieder nur von [mm]\IR_+ \to \IR_+[/mm]
> abbilden.
> Wo liegt mein Fehler, oder ist da kein Fehler(?), dann
> würd ich gern wissen woran dies liegt, danke.
Jetzt habe ich gerade nochmal nachgeguckt, ob das eigentlich stimmt, dass man [mm] $\wurzel[3]{\;}:\IR \to \IR$ [/mm] auffassen darf.
Das ist zunächst nicht so klar:
![[]](/images/popup.gif) Skript zur Analysis, S. 29 (skriptinterne Zählung), Bemerkung und Definition 3.22
Und weiter gehts jetzt hier (![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") ): https://matheraum.de/read?i=36377 und dann gucke mal, wie du damit rechnen mußt, falls bei dir $x < 0$.
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tito,
jetzt habe ich gerade woanders nachgelesen, dass:
Im Falle $c < 0$ definiert man für ungerade $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $\wurzel[n]{c}:=-\wurzel[n]{-c}$ [/mm] (beachte: $-c > 0$).
(editiert) Hm, dann hatte ich wohl zuerst doch Recht. Ich glaube, ich bin gerade irgendwie verwirrt ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") . Also, lasse ich meine ursprüngliche Antwort mal stehen und ändere wieder die letzte. Sorry!
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tito,
ich hoffe, ich habe dich nicht allzusehr verwirrt.
Jedenfalls zu deiner Rechnung:
> [mm]\wurzel[3]{x}=(x)^{\bruch{1}{3}}=(x)^{\bruch{2}{6}}=(x)^{\bruch{1}{6}}*(x)^{\bruch{1}{6}}=\wurzel[6]{x}*\wurzel[6]{x}
[/mm]
Ich habe dir ja jetzt gesagt, was du tun musst. So, wie du gerechnet hast, geht das nur für $x [mm] \ge [/mm] 0$.
Ist $x<0$, so ist aber $-x > 0$; und dann gilt:
[m]\wurzel[3]{x}\stackrel{nach\;Definition}{=}-\wurzel[3]{-x}=-(-x)^{\bruch{1}{3}}=-(-x)^{\bruch{2}{6}}=-(-x)^{\bruch{1}{6}}*(-x)^{\bruch{1}{6}}=-\wurzel[6]{-x}*(-\wurzel[6]{-x})[/m] (falls $x < 0$)
Du siehst, jetzt ist das Problem behoben.
Ich hoffe, dass ich jetzt alle Verwirrtheit wieder beseitigen konnte (falls ich welche geschaffen habe, weil ich sebst verwirrt war; du hattest mich aber auch schon so gut wie überzeugt, dass ich mich da vertan hatte ).
Viele Grüße,
Marcel
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![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
