Verschiebungssatz < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:14 Di 25.03.2014 | | Autor: | Himalia |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe des Verschiebungssatzes und den gegebenen Laplace-Transformationen die Bildfunktionen zu:
f(t) = t+4, (Hinweis: [mm] L\left\{t\right\}=\frac{1}{p^2}) [/mm] |
Hi,
hoffe ihr könnt mir helfen diese Aufgabe zu lösen.
Idee:
2.Verschiebungssatz (Verschiebung nach links)
[mm] L\left\{f(t+a)\right\}=e^{as}*\left[ F(s)-\int_0^a \! f(t)*e^{-st} \, dt \right] [/mm] (a>0)
F(s)= [mm] L\left\{t\right\}=\frac{1}{p^2} [/mm] ???
f(t) = t+4
[mm] L\left\{f(t+a)\right\}=e^{as}*\left[ \frac{1}{p^2}-\int_0^a \! (t+4)*e^{-st} \, dt \right]
[/mm]
Habe sonst leider keine Idee.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:05 Di 25.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Verschiebungssatzes und den
> gegebenen Laplace-Transformationen die Bildfunktionen zu:
>
>
> f(t) = t+4, (Hinweis: [mm]L\left\{t\right\}=\frac{1}{p^2})[/mm]
Merkwürdige Bezeichnung .....
> Hi,
> hoffe ihr könnt mir helfen diese Aufgabe zu lösen.
>
>
> Idee:
> 2.Verschiebungssatz (Verschiebung nach links)
> [mm]L\left\{f(t+a)\right\}=e^{as}*\left[ F(s)-\int_0^a \! f(t)*e^{-st} \, dt \right][/mm]
> (a>0)
Ja, das stimmt. Es ist also f(t)=t und a =4, also
[mm]L\left\{f(t+4)\right\}=e^{4s}*\left[ F(s)-\int_0^4 \! f(t)*e^{-st} \, dt\right] =e^{4s}*\left[ \frac{1}{s^2}-\int_0^4 \! t*e^{-st} \, dt \right][/mm]
>
> F(s)= [mm]L\left\{t\right\}=\frac{1}{p^2}[/mm] ???
Wo kommt das bescheuerte p eigentlich her ????
Es ist hier [mm] F(s)=\frac{1}{s^2}
[/mm]
FRED
> f(t) = t+4
>
> [mm]L\left\{f(t+a)\right\}=e^{as}*\left[ \frac{1}{p^2}-\int_0^a \! (t+4)*e^{-st} \, dt \right][/mm]
>
>
> Habe sonst leider keine Idee.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Di 25.03.2014 | | Autor: | Himalia |
[mm] L\left\{f(t+4)\right\}=e^{4s}*\left[ \frac{1}{s^2}-\int_0^4 \! t*e^{-st} \, dt \right] [/mm]
Partielle Integration:
[mm] \int_a^b \! [/mm] u*v' [mm] =[u*v]_a^b-\int_a^b \! [/mm] u'*v
u=t
u'=1
[mm] v=-\frac{1}{s}*e^{-st}
[/mm]
[mm] v'=e^{-st}
[/mm]
[mm] =[-t*\frac{1}{s}*e^{-st}]_0^4+\int_0^4 \! \frac{1}{s}*e^{-st} \, [/mm] dt
[mm] =[-t*\frac{1}{s}*e^{-st}]_0^4+\frac{1}{s}\int_0^4 \! e^{-st} \, [/mm] dt
[mm] =[-4*\frac{1}{s}*e^{-4s}]-[0]+\frac{1}{s}[(-\frac{1}{s}*e^{-4s})-(-\frac{1}{s})]
[/mm]
[mm] =-\frac{4}{s}*e^{-4s}+\frac{1}{s}(-\frac{1}{s}*e^{-4s}+\frac{1}{s})
[/mm]
[mm] =-\frac{4}{s}*e^{-4s}-\frac{1}{s^2}*e^{-4s}+\frac{1}{s^2}
[/mm]
[mm] =e^{-4s}*(-\frac{4}{s}-\frac{1}{s^2})+\frac{1}{s^2}
[/mm]
s durch p ersetzen:
[mm] L\left\{f(t+4)\right\}=e^{-4p}*(-\frac{4}{p}-\frac{1}{p^2})+\frac{1}{p^2}
[/mm]
Stimmt meine Lösung ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Mi 26.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich habe mich ja nur mal ganz am Rand mit der Laplace-Transformation befasst, aber ich glaube nicht, dass Du einfach einiges unter den Tisch fallen lassen kannst.
Die gesuchte Funktion lautet:
> [mm]L\left\{f(t+4)\right\}=e^{4s}*\left[ \frac{1}{s^2}-\int_0^4 \! t*e^{-st} \, dt \right][/mm]
Ich wundere mich über die Integrationsgrenze. Wieso steht da a und nicht [mm] $\infty$?
[/mm]
Ich finde den Verschiebungssatz anders dargestellt, mit [mm] $e^{-as}F(s)$ [/mm] als Transformierte.
>
Da fehlt ein Text von Dir, das wirst Du merken, wie wichtig der war.
"Das Integral wird mit
> Partielle Integration:
gelöst"
> [mm]\int_a^b \![/mm] u*v' [mm]=[u*v]_a^b-\int_a^b \![/mm] u'*v
>
> u=t
> u'=1
> [mm]v=-\frac{1}{s}*e^{-st}[/mm]
> [mm]v'=e^{-st}[/mm]
>
Hier fehlt nun "damit wird aus" [mm] $\int_0^4 \! t*e^{-st} \, [/mm] dt$
> [mm]=[-t*\frac{1}{s}*e^{-st}]_0^4+\int_0^4 \! \frac{1}{s}*e^{-st} \,dt[/mm]
>
> [mm]=[-t*\frac{1}{s}*e^{-st}]_0^4+\frac{1}{s}\int_0^4 \! e^{-st} \,dt[/mm]
>
> [mm]=[-4*\frac{1}{s}*e^{-4s}]-[0]+\frac{1}{s}[(-\frac{1}{s}*e^{-4s})-(-\frac{1}{s})][/mm]
>
> [mm]=-\frac{4}{s}*e^{-4s}+\frac{1}{s}(-\frac{1}{s}*e^{-4s}+\frac{1}{s})[/mm]
>
> [mm]=-\frac{4}{s}*e^{-4s}-\frac{1}{s^2}*e^{-4s}+\frac{1}{s^2}[/mm]
>
> [mm]=e^{-4s}*(-\frac{4}{s}-\frac{1}{s^2})+\frac{1}{s^2}[/mm]
>
> s durch p ersetzen:
Abgesehen von dem mysteriösen p (Du darfst die Variablen umbenennen, aber warum machst Du es), bis hier hast Du Dich auf das Integral beschränkt. Nun musst Du das Ergebnis oben einsetzen
Allerdings lese ich beim Verschiebungsatz,
>
> [mm]L\left\{f(t+4)\right\}=e^{-4p}*(-\frac{4}{p}-\frac{1}{p^2})+\frac{1}{p^2}[/mm]
>
> Stimmt meine Lösung ?
so noch nicht.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Mi 26.03.2014 | | Autor: | Himalia |
Habe jetzt folgendes heraus bekommen:
[mm] L\left\{ f(t+4)\right\}=\frac{4}{p}+\frac{1}{p^2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:37 Do 27.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Als Ergebnis der Rechnung, ja. Ob das mit dem Verschiebungssatz so stimmt, musst Du selbst herausfinden.
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